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空间几何体的外接球
边长为的正方体，内切球半径，棱切球半径，外接球半径。
边长为，，的长方体外接球半径，外接球表面积。
三条棱两两垂直且棱长分别为，，的三棱锥，外接球半径。
对棱相等的三棱锥，三组对棱长分别为，，，则外接球半径。
边长为的正四面体，高，外接球半径，内切球半径。
底面边长为，侧棱长为的正三棱锥的高，外接球半径；
底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的高，外接球半径。
三棱锥中，有两个直角三角形，且这两个三角形有公共的斜边，则斜边的中点即为三棱锥外
接球的球心，斜边长的一半即为外接球的半径。
球心到面的距离为，截面外接圆半径为，则外接球半径满足
已知棱垂直于面，棱长为，底面外接圆半径为，则外接球半径满足。
已知两面垂直，为两面外接圆半径，为交线长，则外接球半径满足
9：平面图形外接圆半径公式：
①等边三角形： ②直角三角形： ③矩形：
④顶角腰长为的等腰三角形： ⑤边长为的正六边形：
⑥正弦定理
类型一：正方体
1．若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正方体的外接球的直径公式，代值计算即可.
【详解】解：因为正方体的外接球的直径，
所以棱长为2的正方体外接球的直径，
所以该球的表面积.
故选：A.
【点睛】几何体的外接球、内切球问题：
（1）几何体的外接球：
一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径；
（2）几何体的内切球：
求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.
2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先根据题意得正方体的边长为，进而由正方体外接球的直径为体对角线即可得答案
【详解】解：设正方体边长为a，则，
所以正方体外接球直径为，
.
故选：C.
3．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果.
【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，
，
：：2
故选：D
【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.
4．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由三视图得出几何体的直观图，然后由直观图将几何体补成正方体，由正方体可求其外接球的半径，从而可得答案.
【详解】原三视图可还原成三棱锥，
可把三棱锥还原成正方体如图，则正方体棱长为，
则三棱锥的外接球的半径等于此正方体的半径，
则，
故选：C.
5．如图是某个四面体的三视图，该四面体的外接球的表面积为_____．
【答案】
【分析】通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出外接球的表面积，可得答案．
【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，棱锥的一条侧棱垂直底面等腰直角三角形的直角顶点，其中等腰直角三角形底边长为2，高为1，棱锥的高为，如图所示：
所以其外接球相当于一个棱长为为的正方体的外接球，其直径为正方体的体对角线；
故外接球的半径满足： ，
所以外接球的表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，球的表面积公式，根据已知，求出球的直径（半径）是解答的关键．
类型二：长方体
1．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为4，则这个球的表面积为________.
【答案】
【分析】由已知可求出球心到底面的距离，底面外接圆半径，代入求出球的半径，进而可得球的表面积.
【详解】已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，
故球心到底面的距离，
又因为棱柱的体积为4，故底面积为1，
则底面正方形边长为1，外接圆半径，
故这个球的半径
则这个球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了球的表面积的求解，关键是根据题意求出球的半径，属于中档题.
2．已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）
【答案】
【分析】先由体对角线求得外接球半径，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为，则，则外接球的表面积为.
故答案为：.
3．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题，得三棱锥的外接球，即长宽高分别为的长方体的外接球，求出长方体外接球的表面积，即可得到本题答案.
【详解】由题，得三棱锥的外接球即长宽高分别为的长方体的外接球，又长方体的体对角线长为外接球的直径，所以球的半径，球的表面积
.
故选：A
【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，转化为求长方体外接球的表面积，是解决此题的关键.
4．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．
【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．
故选：C．
【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．
5．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于已知三棱锥的相对棱长相等，可考虑补形为长方体求解．
【详解】解：如图，
把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，
则，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥外接球的表面积为．
故选C．
【点睛】本题考查多面体外接球的求法，关键是补形思想的应用，是中档题．
6．在三棱锥中，侧棱两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】由已知面积可求三条侧棱的长，根据侧棱两两垂直，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，由三条棱的长可求出球的半径，进而可求球的表面积.
【详解】解：由题意知， ，解得.由侧棱两两垂直可知，
三棱锥和以为棱的长方体的外接球相同，球心为长方体体对角线的中点.
则三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为: .
【点睛】本题考查了球表面积的求解，考查了几何体外接球问题.在求几何体的外接球时，通常有三个做题思路，一是转化为长方体的外接球，求体对角线即为直径，但此种思路局限性较大；二是根据几何性质，设出球心和半径，列出关于半径的方程求解即可；三是建立坐标系.
类型三：正四面体
1．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．
由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.
考点：球内接多面体
2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图可得原几何体为正四面体，且棱长为，求出外接球的半径后可得外接球的体积.
【详解】由三视图可得该几何体是棱长为3的正四面体，
如图，为顶点在底面上的投影，为外接球的球心，
故，，，
所以，故，所以，
故选C．
【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．
类型四：正三棱锥、正四棱锥
1．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意作出图形，分别计算出棱锥的高、底面对角线长，然后构造直角三角形，求出结果
【详解】
如图，设正方形的中点为，正四棱锥的外接球心为
底面正方形的边长为，
正四棱锥的体积为
则
在中由勾股定理可得：
解得
故选
【点睛】本题考查了正四棱锥的外接球问题，关键是要找出球心所在位置，然后计算，在计算过程中注意图形的构造，由勾股定理求出结果，较为基础
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先判断球心必在高上，利用球心到各个顶点距离相等，列方程组，解得半径，求出外接球的表面积.
【详解】
如图示：正四棱锥中，高，底面正方形边长,
设正四棱锥的外接球半径为，底面正四边形外接圆半径为则，
由得：，解得：，
∴.
故选：B.
【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若该正四棱锥所有顶点都在同一个球的球面上，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作正四棱柱P－ABCD，O为底面中心，则外接球球心在高OP上，设球心为E，在Rt△EOC内，根据勾股定理得外接球半径．
【详解】如图，作正四棱柱P－ABCD，连结，，交于点，连结，
则平面，则，，
根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高OP上，设为E，连接EC，则球的半径r＝|EP|＝|EC|，|EO|＝2－r，
则在Rt△EOC内，根据勾股定理得，，
∴外接球的表面积﹒
故选：D．
4．若三棱锥的各顶点都在球的表面上，，，则球的表面积为___________.
【答案】
【分析】由已知条件可知三棱锥是正三棱锥，设的中心为，则外接球的球心在所在直线上，在在中，由勾股定理求得外接球半径，再由球的表面积公式即可求解.
【详解】因为三棱锥中，，
所以此三棱锥为正三棱锥，
设底面的中心为，连接并延长交于点，则为的中点，
外接球球心在所在直线上，
因为，所以，
因为，所以，
设球的半径为，在中，，，，
由可得，解得，
所以即为球心，球的半径，所以球的表面积为.
故答案为：.
5．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合几何关系首先确定球心的位置，求得球的半径，然后结合球的表面积公式计算表面积即可.
【详解】如图所示，连结，交点为，连结，易知球心在直线上，
设球的半径，在中，由勾股定理有：
，即：，
解得：，则该球的表面积.
本题选择D选项.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
类型五：球心到面的距离
1．已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为(　　)
A． B． C．4π D．
【答案】A
【详解】如图,设球的半径为r,O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，
则OO′⊥面ABC.AB=BC=2,∠B=120°，
在Rt△OO′B中,则sin∠OBO′=.
在△ABC中,由正弦定理得,R=2,即O′B=2.
在Rt△OBO′中,由题意得,得.
球的表面积.
本题选择A选项.
2．球面上有三点组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，，，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设所求球的球心为，半径为，根据已知是以为斜边的直角三角形，设中点为，则是截面圆的圆心，从而有平面，在中，建立的方程，求解即可.
【详解】设所求球的球心为，半径为中点为，
连，，，，
，
为过三点截面圆的圆心，
平面，
在中，，
解得，球的表面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查球的表面积，利用球的性质是解题的关键，属于中档题.
3．球面上有三点,,组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中,,，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理判断出为直角三角形，可以求出其外接圆半径，利用球心到截面的距离为球半径的一半，求得球的半径，代入球的表面积公式计算即可求出答案
【详解】，
为直角三角形，其外接圆半径为，即截面的圆的半径为，
又球心到截面的距离为，
，，
故选
【点睛】本题主要考查了球的表面积公式以及球心到截面的距离与截面圆的半径之间的数量关系，解题的关键是求出为直角三角形，其外接圆半径，属于中档题．
4．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.
【详解】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，
在中，，，
球的半径，球的体积．
故选：B.
5．球面上有不同的三点A、B、C，且AB＝BC＝AC＝3，球心到A，B，C所在截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为________．
【答案】
【详解】设球的球心为O，△ABC的中心为O′，在等边△ABC中，边长AB＝3，则O′A＝×3＝.依题意，R2＝＋，得R＝2，所以S球＝4πR2＝16π.
6．一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离为，则该球的体积是______，表面积是______．
【答案】
【解析】由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积.
【详解】由于直径是的圆面，球心到这个平面的距离为，
所以球的半径为，
球的体积为，表面积为
故答案为，.
【点睛】本题考查球的体积公式，注意球心距，圆的半径，球的半径，三条线段构成直角三角形，可用勾股定理，属于基础题.

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