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2.6.2　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2022河北张家口期末)圆C1:x2+y2+2x-2y+1=0与圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.外切　　B.内切　　C.相交　　D.外离
2.(2022湖南娄底期中)已知集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(　　)
A.(0,-1)　　　　B.(0,1]
C.(0,2-]　　　　D.(0,2]
3.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)
A.5　　B.7　　C.9　　D.11
4.(2022安徽宣城期末)已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.(2022山东聊城期末)已知圆C1:(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)与圆C2:x2+y2-2x-2y=0没有公共点,则实数a的取值范围为　　　　　　.
6.求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
题组二　圆与圆位置关系的综合应用
7.(2022湖南株洲调研)已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为(　　)
A.(3,6)　　　　B.(-6,3)
C.(-3,-6)　　　　D.(6,3)
8.设两圆C1,C2都与两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆的圆心距|C1C2|为(　　)
A.4　　B.4　　C.8　　D.8
9.(2022江西九江期末)在平面直角坐标系xOy中,已知两个圆C1:(x-a)2+(y-1)2=4,C2:(x-1)2+(y-a)2=2相交于A,B两点,若|OA|=|OB|,则实数a的值为(　　 )
A.0　　　　B.1
C.2　　　　D.-1
10.(2022湖南岳阳期末)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为　　　　　　.
11.(2021重庆八中月考)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2022湖南郴州月考)已知Rt△PAB的直角顶点P在圆C:(x+)2+(y-1)2=1上,若点A(-t,0),B(t,0)(t>0),则t的取值范围为(　　)
A.(0,2]　　　　B.[1,2]
C.[2,3]　　　　D.[1,3]
2.(2022湖南常德一中期中)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线有(　　)
A.1条　　　　B.2条
C.3条　　　　D.4条
3.(2022湖南怀化一中期中)以圆C1:x2+y2+4x+1=0与圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.+=　　　　
D.+=
4.(多选)(2020江苏南通一中月考)已知两圆方程分别为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若两圆外切,则r=1
B.若两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2
C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3
D.若两圆有3条公切线,则r=2
5.(2022江西师大附中月考)已知圆O1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆O2:x2+y2-4x-4y-2=0.
(1)试判断圆O1与圆O2的位置关系;
(2)在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数 若存在,请求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
题组二　圆与圆位置关系的综合应用
6.已知平面内一点M(3,4),若圆C上存在点P,使|PM|=3,则称该圆为点M(3,4)的“3价圆”.下列圆中不是点M(3,4)的“3价圆”的是(　　)
A.x2+y2=1　　　　B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4　　　　D.(x-4)2+(y-3)2=9
7.(2021湖南长郡中学月考)已知圆C:(x+1)2+(y-4)2=m(m>0)和两点A(-2,0),B(1,0),若圆C上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则m的取值范围是(　　)
A.[8,64]　　　　B.[9,64]
C.[8,49]　　　　D.[9,49]
8.已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.3
9.(2022江西景德镇一中期末)2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图,Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O,点L,S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d,则d=　　　　.
10.(2022北京八十中期中)已知圆O的圆心为坐标原点,且与直线x+y+4=0相切,则圆O的方程为　　　　　　.若点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过定点　　　　.
11.已知圆C与圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于直线2x-3y-1=0,若圆C过点(-2,3),(1,4),求圆C的方程.
12.(2022湖南师大附中月考)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点(O为坐标原点),且|BC|=2,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足“圆M上存在两点P,Q,使得+=”,求实数t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　圆C1:x2+y2+2x-2y+1=0的圆心为C1(-1,1),半径r1=1;圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圆心为C2(3,4),半径r2=4.两圆的圆心距|C1C2|=5=r1+r2,∴两圆外切,故选A.
2.C　由M∩N=N得N M,∴圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含于圆x2+y2=4,∴2-r≥,∴03.C　由题意知圆C1的圆心为C1(-3,1),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(1,-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.
4.B　圆A的方程x2+y2-2x-4y-4=0可化为(x-1)2+(y-2)2=9,可得其圆心为A(1,2),半径R=3,
圆B的方程x2+y2+2x+2y-2=0可化为(x+1)2+(y+1)2=4,可得其圆心为B(-1,-1),半径r=2,
则圆心距|AB|==,
又因为R+r=5,R-r=1,所以R-r<|AB|5.答案　04
解析　圆C1的圆心为C1(a,a),半径r1=2,
圆C2的圆心为C2(1,1),半径r2=,
圆心距|C1C2|==|a-1|,因为两圆没有公共点,所以两圆外离或内含,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|3或|a-1|<,又因为a>0,所以04.
6.解析　解法一:解方程组
得或
所以两圆的交点坐标分别为(0,2),(-4,0).
设所求圆的圆心坐标为(a,-a),半径为r,
则有==r,
解得a=-3,r=,
因此,所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
解法二:同解法一,得两圆的交点坐标分别为(0,2),(-4,0),
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
因此,所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
解法三:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,
因为这个圆的圆心在直线x+y=0上,
所以--=0,解得λ=-2,
因此,所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
7.A　设点M的坐标为(a,b),
圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为,
由圆M的半径为2,且圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),
得所以
所以点M的坐标为(3,6).故选A.
8.C　∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
∴两圆圆心均在第一象限且两圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a,a)(a>0),(b,b)(b>0),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的两个不相等的实数根,
∴a+b=10,ab=17,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|===8.
9.D　圆C1的圆心为C1(a,1),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(1,a),半径r2=,易知AB的垂直平分线为直线C1C2,
又因为|OA|=|OB|,所以O,C1,C2三点共线,所以=,所以a2=1,解得a=±1.
当a=1时,两圆圆心重合,两圆为同心圆,不符合题意;当a=-1时,C1(-1,1),C2(1,-1),∴|C1C2|==2,∴r1-r2<|C1C2|10.答案　x=-1
解析　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为1;
圆C2:(x-4)2+y2=25的圆心为C2(4,0),半径为5.
易知两圆内切,切点为(-1,0),
又因为两圆圆心都在x轴上,
所以两圆公切线的方程为x=-1.
11.解析　(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为=,即y=x-1,
因为圆C1与y轴相切于点(0,3),
所以圆心在直线y=3上,
联立解得可得圆心坐标为(4,3),
故圆C1的半径为4,
故圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,
圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离
d==,
所以两圆的公共弦长为2=2.
能力提升练
1.D　由题意得P在以AB为直径的圆M:x2+y2=t2上(去掉A,B两点).又因为点P在圆C:+(y-1)2=1上,所以圆C与圆M有交点,
因为|CM|==2,所以|t-1|≤2≤|t+1|,所以1≤t≤3.故选D.
2.C　以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,
∵|AB|=3=1+2,∴圆A与圆B外切,
∴两圆的公切线有3条,即满足题意的直线有3条,故选C.
3.B　两圆的方程相减可得公共弦方程为2x-2y=0,即x-y=0,∵圆C1:x2+y2+4x+1=0的圆心C1的坐标为(-2,0),半径为,圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的圆心C2的坐标为(-1,-1),半径为1,∴直线C1C2的方程为x+y+2=0,∴联立解得可得以公共弦为直径的圆的圆心坐标为(-1,-1).∵(-2,0)到公共弦的距离d==,∴以公共弦为直径的圆的半径r==1,∴以公共弦为直径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1,故选B.
4.ABC　两圆圆心分别为(0,0),(4,-3),半径分别为4,r,所以圆心距为5.
若两圆外切,则4+r=5,解得r=1,此时两圆有3条公切线,故A正确,D错误;
当两圆相交时,两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-41+r2=0,若-41+r2=-37,则r=2(负值舍去),故B正确;
若两圆在交点处的切线互相垂直,则一个圆在此处的切线必过另一个圆的圆心,所以两圆的圆心的连线及该交点与两圆圆心的连线组成一个直角三角形,故52=42+r2,解得r=3(负值舍去),故C正确.故选ABC.
5.解析　(1)解法一:由x2+y2+2x+8y-8=0得(x+1)2+(y+4)2=25,则圆O1的圆心为O1(-1,-4),半径r1=5;
由x2+y2-4x-4y-2=0得(x-2)2+(y-2)2=10,则圆O2的圆心为O2(2,2),半径r2=,
所以两圆的圆心距|O1O2|==3,又因为5-<3<5+,所以两圆相交.
解法二:由
得或所以两圆相交.
(2)存在.易得直线O1O2的方程为y=2x-2,设A(a,2a-2)(a≠-1),P(x,y),结合题意,设==λ(λ>0,λ≠1),化简得x2+y2+x+y+=0,
显然上式与圆O2的方程为同一方程,
所以所以
故点A的坐标为.
6.A　因为|PM|=3,所以点P在以M为圆心、3为半径的圆上,又因为P为圆C上一点,所以P为圆M与圆C的公共点.问题转化为判断圆M与圆C的位置关系.x2+y2=1表示以(0,0)为圆心、1为半径的圆,该圆与圆M的圆心距d==5>3+1=4,所以两圆相离,所以x2+y2=1表示的圆不是点M(3,4)的“3价圆”.
同理可判断圆M与选项B、C、D中的圆都相交.
故选项B、C、D中的圆均是点M(3,4)的“3价圆”.
故选A.
7.D　设P的坐标为(x,y),因为|PA|=2|PB|,A(-2,0),B(1,0),所以=2,
化简得(x-2)2+y2=4,又因为点P在圆C:(x+1)2+(y-4)2=m(m>0)上,所以|-2|≤≤+2且m>0,解得9≤m≤49,故选D.
8.D　圆C1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,圆心C1(2,2),半径r1=1,
圆C2的方程可化为(x-1)2+y2=1,圆心C2(1,0),半径r2=1.
设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心C'2(a,b).
依题意得解得
∴C'2(-1,-2).∴|C1C'2|==5,
∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-1-1=3,故选D.
9.答案　
解析　由题意知圆L与圆S关于原点对称,设S(a,0)(a>0),则=2+3,∴a=4,
∴S(4,0),L(-4,0).
设直线l的方程为y=kx(k≠0),则圆心S,L,Q到该直线的距离分别为d1=,d2=,d3=,则d2=4(4-)=4(4-)=4(9-),
即4-=4-=9-,
解得k2=,
则d2=4×=,即d=.
10.答案　x2+y2=16;(2,0)
解析　根据题意得圆心(0,0)到直线x+y+4=0的距离d等于半径r,∴r=d==4,∴圆O的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,∵PA,PB是圆O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴A,B在以OP的中点为圆心、|OP|为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,
∴以|OP|为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+,化简得x2+y2-8x-by=0,∵AB为圆x2+y2=16和x2+y2-8x-by=0的公共弦,∴直线AB的方程为8x+by=16,即8(x-2)+by=0,由得∴直线AB恒过定点(2,0).
11.解析　由题意可得公共弦所在直线的斜率为,所以两圆圆心所在直线的斜率为-.又因为圆x2+y2-7y+10=0的圆心坐标为,故两圆圆心所在直线的方程为y-=-x,即3x+2y-7=0.
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆C的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.
12.解析　(1)圆M的方程可化为(x-6)2+(y-7)2=25,
∴圆M的圆心为M(6,7),半径为5,
由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0),
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,
∴圆N的半径为y0,且7-y0=5+y0,解得y0=1,
∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直线l平行于OA,∴直线l的斜率为=2,
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d==,
∵|BC|=2,且|MC|2=d2+,
∴25=+5,解得m=5或m=-15,
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∵A(2,4),T(t,0),+=,
∴①
∵点Q在圆M上,∴(x2-6)2+(y2-7)2=25,②
将①代入②得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆(x-t-4)2+(y-3)2=25上,
∴圆M与圆(x-t-4)2+(y-3)2=25有公共点,
∴5-5≤≤5+5,
解得2-2≤t≤2+2,
∴实数t的取值范围为[2-2,2+2].
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