资源简介

考 前 必 背
一、数列
等差数列 等比数列
定义 an+1-an=d(n∈N+) =q(n∈N+)
通项 公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0)
判定 方法 (1)定义法; (2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+) {an}为等差数列; (3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,p≠0) {an}为等差数列; (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数且A≠0) {an}为等差数列 (1)定义法; (2)等比中项法:=an-1·an+1(n≥2,n∈N+,an≠0) {an}为等比数列; (3)通项公式法:an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N+) {an}为等比数列
性质 (1)若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak; (2)an=am+(n-m)d; (3)ak,ak+m,ak+2m,…仍为等差数列 (1)若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q=2k,则aman=apaq=; (2)an=amqn-m; (3)ak,ak+m,ak+2m,…仍为等比数列
前n项 和公式 Sn==na1+d q=1时,Sn=na1; q≠1时,Sn==
前n项 和公式 的性质 (1)若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=(bn≠0,T2n-1≠0); (2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列 当k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列; 当q≠-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列
二、平面解析几何初步
1.直线的斜率
直线l的倾斜角为α(α∈[0,π)),若A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上两个不同的点,则直线l的斜率k=tan α=.
2.直线的方程
名称 方程 适用条件
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不垂直于x轴的直线
斜截式 y=kx+b
两点式 = 不平行于x轴和y轴的直线
截距式 方程 +=1 不平行于x轴和y轴,且不过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 任何位置的直线
3.两条直线的位置关系(l1,l2不重合)
l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0
平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)
垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
4.两条直线的交点坐标
设两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则
方程组 的解的情况 一组解 无解 无数 组解
直线l1,l2的公共点个数 一个 零个 无数个
直线l1,l2的位置关系 相交 平行 重合
5.距离公式
(1)平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离|AB|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.
6.圆的方程
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
7.直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
①几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;
②代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.
位置关系 公共点个数 几何法 代数法
相交 2 d0
相切 1 d=r Δ=0
相离 0 d>r Δ<0
(2)圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置 关系 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的组数进行判断
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
三、圆锥曲线与方程
1.椭圆及其简单几何性质
定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长; 短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=,e∈(0,1)
a,b,c的关系 a2=b2+c2
2.双曲线及其简单几何性质
定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
轴 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长
a,b,c的关系 c2=a2+b2
3.抛物线及其简单几何性质
定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹
图形
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0,0)
对称 轴 x轴 y轴
焦点 坐标
离心 率 e=1
准线 方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
4.曲线的方程与方程的曲线
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,
此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
5.圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.
当0当e>1时,它表示双曲线;
当e=1时,它表示抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.
四、计数原理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理:N=m1+m2+…+mn.
(2)分步乘法计数原理:N=m1×m2×…×mn.
2.排列与组合
(1)排列数公式:=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=.
(2)组合数公式:===.
3.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(0≤r≤n,r∈N,n∈N+).
(2)通项:Tr+1=an-rbr.
(3)二项式系数的性质
①=.
②当r<时,>;当r>时,<,即当n为偶数时,二项式系数中最大;当n为奇数时,二项式系数中和相等且最大.
③+++…+=2n.
④+++…=+++…=2n-1.

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