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资阳市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的灶名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦擦净后，再选涂其它答案．
3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小愿给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1. ﹣3的绝对值是（　　）
A ﹣3 B. 3 C. - D.
2. 如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是( )
A. 文 B. 明 C. 城 D. 市
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的展检体温（单位：）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 36.0、36.2 B. 36.2、36.2 C. 35.8．36.2 D. 35.8．36.1
5. 将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是( )
A. B. C. D.
6. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A. 点A B. 点N C. 点P D. 点Q
7. 如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9. 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分面积是( )
A. B. C. D.
10. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数3.46亿用科学记数法表示为___________．
12. 小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是___________．（填一种即可）
13. 投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是___________．
14. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
15. 如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．
16. 女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离x（千米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前___________分钟到达终点．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值．，其中．
18. 某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
19. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
20. 如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
（3）将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
22. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道的长度．（结果保留根号）
23. 如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．
（1）求证：；
（2）当点E为的中点时，求的长；
（3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
24. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
（1）求二次函数表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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资阳市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的灶名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦擦净后，再选涂其它答案．
3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小愿给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．
1. ﹣3的绝对值是（　　）
A. ﹣3 B. 3 C. - D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案．
【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2. 如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是( )
A. 文 B. 明 C. 城 D. 市
【答案】D
【解析】
【分析】先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．
【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置是解题的关键．
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】A. 2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；
B. ，故选项B不合题意；
C. a2×a=a3，故选项C符合题意；
D. （a2 ）3=a6，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公式，是解题的关键．
4. 按疫情防控要求，学校严格执行“一日三检”．小明记录某周周一至周五的展检体温（单位：）结果分别为：36.2，36.0，35.8，36.2，36.3．则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 36.0、36.2 B. 36.2、36.2 C. 35.8．36.2 D. 35.8．36.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的概念即可得出正确选项．
【详解】解：将小明周一至周五的体温数据从小到大排列为：35.8，36.0，36.2，36.2，36.3，
所以这组数据的中位数为：36.2，
众数为：36.2，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是解题的关键．
5. 将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解．
【详解】如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行，
∴，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
6. 如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是( )
A. 点A B. 点N C. 点P D. 点Q
【答案】C
【解析】
【分析】由，再结合数轴即可求解．
【详解】∵，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．
7. 如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；
第四步：过点M作于点N．
下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．
【详解】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
8. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，
∵A与关于BC对称，
∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。
9. 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
10. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；
②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数3.46亿用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学计数法表示为的形式，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此换算即可．
【详解】将数据3.46亿用科学计数法表示为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用科学计数法表示较大的数，正确理解科学计数法的形式并运用是解题的关键．
12. 小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是___________．（填一种即可）
【答案】4或6或12
【解析】
【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是，
∵，
∴正四边形可以，
正六边形的每个内角是，
∵，
∴正六边形可以，
正十二边形的每个内角是，
∵，
∴正十二边形可以，
故答案为：4或6或12．
【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13. 投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比求解即可．
【详解】在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6；骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题时牢记公式是关键．
14. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
15. 如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．
【答案】35
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
16. 女子10千米越野滑雪比赛中，甲、乙两位选手同时出发后离起点的距离x（千米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则甲比乙提前___________分钟到达终点．
【答案】1
【解析】
【分析】根据图像求出20分钟后甲的速度，进而求出32分钟，甲和乙所处的交点位置，再根据速度公式求出20分钟后乙的速度，进而求出达到终点时乙所需的时间，即可求出答案．
【详解】解：由图像可知，甲20~35分钟的速度为：（千米/分钟），
∴在32分钟时，甲和乙所处的位置：（千米），
∴乙20分钟后的速度为：（千米/分钟），
∴乙到达终点的时间为：（分钟），
∴甲比乙提前：（分钟），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了函数图像应用，从图中获取所需信息是本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 先化简，再求值．，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的四则混合运算是本题的关键．
18. 某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【答案】（1）调查学生人数200人，补图见解析
（2）愿意参加劳动社团的学生人数900人
（3）作图见解析，P（同一社团）
【解析】
【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；
（2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解．
【小问1详解】
解：调查学生人数：人，
科普类人数：人，
补全条形统计图，如图：
【小问2详解】
解：愿意参加劳动社团的学生人数：人；
【小问3详解】
解：根据题意，画出树状图，如下图：
共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．
∴恰好选中同一社团的概率为．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【答案】（1）甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
（2）最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个
【解析】
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【小问1详解】
设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元．
【小问2详解】
设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．
20. 如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积．
【小问1详解】
证明：∵
∴
又∵
∴；
【小问2详解】
由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
（3）将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
【答案】（1）一次函数的表达式为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：由图像可知，当时，
一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
【小问3详解】
解：一次函数的图像平移后为，
函数图像经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
22. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）点D与点A的距离为300米
（2）隧道的长为米
【解析】
【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；
（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长
【小问1详解】
由题意可知：，
在中，
∴（米）
答：点D与点A的距离为300米．
【小问2详解】
过点D作于点E．
∵是东西走向
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴（米）
答：隧道的长为米
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
23. 如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．
（1）求证：；
（2）当点E为的中点时，求的长；
（3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）解析式为，当时，y有最大值为
【解析】
【分析】（1）利用AA证明，即可；
（2）过点E作于点N，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出BM=3，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解；
（3）延长交的延长线于点G．根据，可得，再证得，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：过点E作于点N，
在平行四边形中，，
又∵是边上的高，
∴AM⊥AD，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
在中，；
；
【小问3详解】
解：延长交的延长线于点G．
∵，
∴，
∴，
∵ABCD，
∴，∠EGC=∠BFE=90°，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴当时，y有最大值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．
24. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（或）
（2）①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；
（2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案．
【小问1详解】
∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
【小问2详解】
①∵点P在x轴正半轴上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴，
过点作轴于点E，
∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；
②由题可得点与点C关于点成中心对称，
∴，
∵点M在直线上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以为边时，平行四边形为，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、当以为边时，平行四边形为，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、当以为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
得：，
∴，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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