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直线与双曲线的位置关系
要点一、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化
【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
例1.设F1、F2是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若，且，其中，求双曲线的离心率．
【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
又，∴2ac＝2b2，
∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝，
即双曲线的离心率为.
举一反三：
【变式1】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程 .
【答案】
【解析】设点和的坐标为、，则有
又因为的渐近线方程为，故设的方程为，
把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即
【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为(　　)
A．5 B. C. D.
【答案】C
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，
故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈时，直线与双曲线无公共点.
举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线=－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－x·|x|+y2=1的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和。
举一反三：
【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数m取值范围。
【答案】（1）
（2）
类型三：双曲线的弦
例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，
它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则
∴，且，
∴，
，得：或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即， 即（图象的一部分）
举一反三：
【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程
【答案】
【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【变式3】双曲线C的一条渐近线方程是：x―2y=0，且曲线C过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值。
【答案】（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x2―4y2=k，把代入可得k=4，
所以双曲线方程为。
（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值。
由上可得A1（―2，0），A2（2，0），根据双曲线方程可得，
所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2（k1、k2＞0），
则。PA1的方程为y=k1(x+2)，令x=1，解得M（1，3k1），
PA2的方程为y=k2(x―2)，令x=1，解得N（1，―k2），
所以。
当且仅当3k1=k2，即时等号成立。
类型四：双曲线的综合问题
例5.已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|=2，动点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程；
(Ⅱ)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.
【解析】(Ⅰ) 根据双曲线的定义可得：W的方程为.
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为()，()，当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为，与W的方程联立：
消去y得
故, 所以
又因为所以从而
当轴时，从而
综上，当AB⊥x轴时， 取得最小值2.
举一反三：
【变式1】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.
【答案】直线方程；
双曲线方程
【巩固练习】
1、选择题
1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为(　　)
A．双曲线 B．线段
C．射线 D．不存在
1.答案：　D
解析：设两定点为A、B，则平面内到两定点A、B的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离
2．双曲线的一个焦点坐标为（3,0），则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C.3 D.
2．答案：　B解析：双曲线的一个焦点坐标为（3,0），
，则 即，则 则双曲线的离心率
3．若实数k满足0＜k＜9，则曲线＝1与曲线＝1的(　　)
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
3. 答案：A解析：当0＜k＜9，则0＜9－k＜9，16＜25－k＜25，
即曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25，b2＝9－k，c2＝34－k，
曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25－k，b2＝9，c2＝34－k，
即两个双曲线的焦距相等，
4. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，
且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是(　　)
A. B. C. D．
4. 答案：　C解析：　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，
且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.答案：　D解析：设双曲线方程为，如图所示，
|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，
在Rt△BMN中，|BN|=a，，故点M的坐标为，
代入双曲线方程得a2=b2=c2－a2，即c2=2a2，所以
6.双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于(　　)
A．8 B．4 C．2 D．8
6. 答案：　A 解析：　∵＝，2b＝4，∴a2＝8，a＝2，
|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝8，
又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴|AB|＝8.
二、填空题
7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则此直线斜率的取值范围是________．
7．答案： 解析：由题知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，可知该直线斜率的取值范围是
8．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．
8．答案：3 解析：已知双曲线方程为，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
9．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
9. 答案：解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2| 得：|PF2|＝，又|PF2|≥c－a，
所以≥c－a，c≤，∴e＝≤，即e的最大值为.
10．设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．
10．答案： 解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，
则y0＝＝4.代入双曲线方程得，所以，
故|PO|＝＝.
三、解答题
11．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率e的取值范围.
11.解析：由C与t相交于两个不同的点，故知方程组：
有两个不同的实数解.消去y并整理得：（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.
双曲线的离心率：
12．设双曲线=1（012. 解析：由已知，的方程为ay+bx-ab=0,
原点到的距离为，则有,
又c2=a2+b2, ∴，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.
两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，∴e2=4或.
∵ 0∴e2=4，故e=2.
13.两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
13．解析：证明：双曲线的离心率；
双曲线的离心率.
∴.
14. 如图所示，已知F1，F2为双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
14. 解析：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15．圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线C1：＝1过点P且离心率为．
(Ⅰ)求C1的方程；
(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
15. 解析：(Ⅰ)设切点P(x0，y0)，(x0＞0，y0＞0)，则切线的斜率为，
可得切线的方程为，化为x0x＋y0y＝4
令x＝0，可得；令y＝0，可得
∴围成一个三角形的面积S＝
∵4＝，当且仅当时取等号，
∴，此时P
由题意可得，，解得a2＝1，b2＝2
故双曲线C1的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±，0)，即为椭圆C2的焦点．
可设椭圆C2的方程为 (b1＞0)．
把P()代入可得，解得＝3，
因此椭圆C2的方程为．
由题意可设直线l的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，化为，
∴，．
∴x1＋x2＝，
x1x2＝．
，，
∵，∴＝0，
∴，
∴，解得m＝或m＝－（），
因此直线l的方程为：或．

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