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抛物线的方程与性质
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
要点二、抛物线的标准方程
标准方程的推导
如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合
.
将上式两边平方并化简，得 ① 方程①叫抛物线的标准方程，
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是.
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，
要点三、抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）
离心率：.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p；这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。
另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄．
抛物线标准方程几何性质的对比
图形
标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0）
顶点 O（0，0）
范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0，
对称轴 x轴 y轴
焦点
离心率 e=1
准线方程
焦半径
【典型例题】
类型一：抛物线的定义
例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。
【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点，
则由抛物线的定义，得
两边平方，整理得
∴所求抛物线的方程为
举一反三：
【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点(-2，3)；
设y2=2px，以(-2，3)代入，得，∴；
设x2=2py，以(-2，3)代入，得，∴。
（2）焦点在直线3x-4y-12=0上；
【答案】：若焦点为（4，0），则y2=16x
若焦点为（0，-3），则x2=-12y
（3）准线过点(2，3)；
【答案】：准线为x=2，则y2= -8x
准线为y=3，则x2= -12y
（4）焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于5。
【答案】：设抛物线方程为x2=-2py（p>0），则点M(m,-3)到准线的距离为5，
即，
∴p=4，x2=-8y
举一反三：
【变式1】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
（2）经过点A（2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.
1.解：（1）双曲线方程可化为，左顶点是（-3，0）
由题意设抛物线方程为且，∴p=6.
∴方程为
（2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y
解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为或，
代入A点坐标求得m=，n=-，
∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为或。
（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为，A（m，-3），
由抛物线定义得：，
又，∴或，
故所求抛物线方程为或。
例2.平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。
解法一：设P点的坐标为（x，y），则有，
两边平方并化简得y2=2x+2|x|。
∴
即点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）。
解法二：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，
由于点F（1，0）到y轴的距离为1，
故当x＜0时，直线y=0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=―1的距离相等，
故点P在以F为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x。
故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）。
类型二：抛物线的标准方程
例3．求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.
【解析】∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左，
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为（），
∵过点，∴，
∴，∴，
当抛物线开口方向上时，
设所求的抛物线方程为（），
∵过点，∴，
∴，∴，
∴所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是，.
举一反三：
【变式1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程.
【答案】.
【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
【答案】　B
类型三：抛物线的几何性质
例4.（1）写出抛物线的焦点坐标、准线方程；
（2）已知抛物线的焦点为写出其标准方程；
（3）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
【解析】（1）抛物线的标准方程为，
因为2p=4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为.
（2）因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且=2，所以，从而所求抛物线的标准方程为.
（3）由已知得，所以所求抛物线标准方程为，焦点坐标为，准线方程为.
举一反三：
【变式】已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
【答案】因为p=3，所以焦点坐标是准线方程是
例5.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
（1）过点（3，2）的抛物线方程；
（2）焦点在直线x－2y－4=0上
【解析】（1）设过点M（3,2）的抛物线方程是或
若抛物线方程是，把M（3,2）代入可得，求得，
可得抛物线方程是
若抛物线的方程为，把M（3,2）代入可得，求得，
可得抛物线方程是，故抛物线方程是或
（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）
当焦点为（4，0）时，=4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；
焦点为（0，－2）时，=2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，
对应的准线方程分别是x=－4，y=2
举一反三：
【变式1】已知抛物线y2＝4x的内接三角形OAB的一个顶点O在原点，三边上的高都过焦点，
求三角形OAB的外接圆的方程．
【答案】　∵△OAB的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，
∴AB⊥x轴，故A、B关于x轴对称，
设A，则B，
又F(1,0)，由OA⊥BF得，解得＝20，
∴A(5,2)，B(5，－2)，
因外接圆过原点，且圆心在x轴上，故可设方程为：x2＋y2＋Dx＝0，
把A点坐标代入得D＝－9，
故所求圆的方程为x2＋y2－9x＝0.
【变式2】如图过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，
若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B，如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a,则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=2a，故，
在直角三角形ACE中，，
，，从而得
因此抛物线的方程是。
【变式3】已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】选A，设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，
∵，∴，又|MF|=p=4，
∴，∵|NQ|=|QF|，∴。
【巩固练习】
1、选择题
1.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是（ ）
A. B. C. D.
1．【答案】B；【解析】设，根据抛物线定义：，
的中点到y轴的距离是2，，，抛物线方程为
2．将抛物线绕顶点逆时针方向旋转后，所得抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2．【答案】D；【解析】∵ 抛物线的焦点为，旋转后顶点为，准线为
3．抛物线过点，是其焦点，又定点，那么（　 ）
A. B. C. D.
3．【答案】C；【解析】将点的坐标代入，得，
∴抛物线方程为，焦点，已知，∴=
4.如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，
其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
4. 【答案】A 【解析】
5. 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．4
5.【答案】C【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝，由题意知，3＋＝4，p＝2
二、填空题
6．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，
则此抛物线的焦点到准线的距离为 .
6. 【答案】 【解析】　，∴p＝.
7．到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
7．【答案】　y2＝8－8x 【解析】　设动点坐标为(x，y)，
由题意得＝|x－3|，化简得y2＝8－8x.
8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为
8. 【答案】【解析】设|AF|=a，|BF|=b，由定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b，由勾股定理得，
|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=(a+b)2―2ab，又，
∴，
得到，∴，即的最大值为
9．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是________．
9．【答案】【解析】焦点，准线，延长PM交准线于H点，
则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，∴.
∴，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可.
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，
当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，
利用两点间的距离公式求得|FA|=5，则所求为
10．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线的渐近线都相切，
则圆心的坐标是________．
10.【解析】　设圆心坐标为(a，b)，则a>0，b>0.
∵y2＝2x的准线为x＝－，的渐近线方程为3x±4y＝0.
由题意a＋＝1，则a＝.|3a±4b|＝5，解得b＝或b＝，
∴圆心坐标为、.
三、解答题
11．已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程．
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)
11.【解析】(1)由题意可得＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y
(2)将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝20>0
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－4
∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4
∵＝x1x2＋y1y2＝0
∴OC⊥OD
12.如图，已知抛物线，圆C2：x2+(y－1)2=1，过点P(t，0)（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
12. 解析：（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y=k(x－t).
所以，消去y，整理得：x2－4kx+4kt=0.
因为直线PA与抛物线相切，所以Δ=16k2－16kt=0，解得k=t.
所以x=2t，即点A（2t，t2）.
设圆C2的圆心为D（0，1），点B的坐标为（x0，y0），由题意知，点B,O关于直线PD对称，
故有，解得.即点.
(2)由(1)知，，直线AP的方程为tx－y－t2=0，
所以点B到直线PA的距离为.
所以△PAB的面积为.

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