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直线与抛物线的位置关系
类型一：抛物线的方程与性质
例1．若抛物线通过直线与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
【解析】由得，或，
根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，
则在抛物线上，∴m＝，p＝，
∴方程为或
【变式2】顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的
抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】因为圆C：的圆心是
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，
设标准方程为，因为点在抛物线上，所以，
所以p=1，所以所求抛物线方程为：
类型二：直线与抛物线的位置关系
例2．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
【答案】3
【解析】如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：
二条切线、一条与x轴平行的直线．
举一反三：
【变式】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【答案】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为
类型三：抛物线的弦
例3.若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
【解析】把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝|x2－x1|＝·＝2.
类型四：抛物线的综合问题
例4．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，
求证：（1）； （2）为定值。
证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为
（1）当直线PQ斜率存在时，过焦点的直线方程可设为，
由，消去x得：ky2―2py―kp2=0 （※）
当k=0时，方程（※）只有一解，∴k≠0，由韦达定理得：y1·y2=－p2
当直线PQ斜率不存在时，得两交点坐标为，，∴y1·y2=―p2
综上两种情况：总有y1y2=―p2
（2）由 得 ，∴，
∴
为定值
举一反三：
【变式】抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】选A，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b，
由余弦定理得：|AB|2=a2+b2―2ab cos120°=a2+b2+ab
配方得：|AB|2=(a+b)2－ab，又∵，
∴
得到，所以，即的最大值为
例5．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
【解析】 设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,
又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+，|BF|=|BB/|=x2+，∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─) (|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3，
∴k2=1/2， 此时x=(x1+x2)==
∴y= ±即M(,)，N(,─)
例6．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，点M的轨迹为C．
(Ⅰ)求轨迹C的方程；
(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【解析】(Ⅰ)设M(x，y)，依题意得：|MF|＝|x|＋1，即，
化简得，y2＝2|x|＋2x．∴点M的轨迹C的方程为；
(Ⅱ)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)
由方程组，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．
①当k＝0时，此时y＝1，把y＝1代入轨迹C的方程，得．
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点()
②当k≠0时，方程ky2－4y＋4(2k＋1)＝0的判别式为△＝－16(2k2＋k－1)．
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，取y＝0得
若，解得k＜－1或k＞；即当k∈时，
直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若或，解得k＝－1或k＝或．
即当k＝－1或k＝时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．
故当k＝－1或k＝或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若，解得－1＜k＜－或0＜k＜．
即当－1＜k＜－或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．
【巩固练习】
1、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A. B. C．|a| D．
1.【答案】 B 【解析】　∵y2＝ax，∴p＝，即焦点到准线的距离为.
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B．3 C. D.
2.【答案】　A【解析】　记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(，0)，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，问题可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，故相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，
点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
3．【答案】C【解析】　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥
4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是(　　)
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
4. 【答案】　C【解析】　y′＝4x＝4，∴x＝1，y＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y－2＝4(x－1)
5．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。
A. 3 B.6 C. 9 D. 12
5. 【答案】B【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2，∴椭圆E中 c=2
，a=4，∴b2=12，∴椭圆E的方程为
设A（－2，y0），，∴y02=9，∴|y0|=3，∴|AB|=2y0=6
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
6.【答案】　B【解析】　抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1
二、填空题
7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．
7．【答案】　x＝1或y＝4x－2【解析】　当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
8．【答案】　2【解析】　设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px得，y2－2px－p2＝0，∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2.
9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．
9. 【答案】　0则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值，而|PA|有最小值，此时y＝0，故010．平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线
C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为
10．【解析】得，而抛物线C2的焦点，因为F是△OAB的垂心，kOB·kAF=－1，
三、解答题
11.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
11.【解析】由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3，∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝或m＝，∴A(3, )．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为
12. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．
12. 【解析】　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴QA＝QB，即(x1－6)2＋＝(x2－6)2＋，
又＝2px1，＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p
故8－p＝12－2p，∴p＝4
∴所求抛物线方程是y2＝8x
13.若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．
13. 【解析】　因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
∴＝2x1　①　＝2x2　②
①－②并整理可得，
又因为kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2，
，
∵在直线y＝x＋b上，
∴－1＝＋b，即b＝，∴b的值为.
14.已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
14.【解析】:(1)证明：如图，由方程联立消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，
∴＝－x1，＝－x2，.
∵kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.
∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·＝.
∵S△OAB＝，∴＝，
解得
15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
15．【解析】（1）由题意可得，即p=2
（2）由（1）得抛物线的方程为y2=4x，F（1，0），可设A（t2，2t），t≠0，t≠±1。
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x=sy+1，（s≠0），由消去x得
y2―4sy―4=0，故y1y2=―4，所以。
又直线AB的斜率为，
故直线FN的斜率为，
从而的直线，直线，
所以，
设M（m，0），由A，M，N三点共线得：，
于是，经检验，m＜0或m＞2满足题意。
综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，+∞）。

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