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集合的基本关系及运算
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，
记作：补集的Venn图表示：
4.集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 若集合，则（ C ）.
A. B. C. = D.
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有
{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共23=8个子集.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
举一反三：
【变式1】 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【变式2】设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
例4．已知若M=N，
则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立，若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、集合的运算
例5.已知集合，，则M∩N＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】集合M中的代表元素是x，集合N的代表元素是y，表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={x|x∈R}，N={y|y≥0}，所以M∩N={x|x≥0}．
例6.已知全集U=R，集合A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，B={x∈R｜2a＜x＜4+a，a∈R}
（1）当a=1时，求；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围．
【解析】A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，
（1）当a=1时，B={x∈R｜2＜x＜5}，∴
（2）由已知A∪B=A，得；
①当时2a≥4+a，即a≥4，满足；
②当时，即时，满足；
综上所述a的取值范围为或a≥4．
举一反三：
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3 a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1} A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3 a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}，符合条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，
所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，
求集合A，B.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在BN中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得:A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围；
（2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围．
【解析】（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C【解析】｛︱｝又，∴，∴
例9.已知集合，若,求实数的取值范围.
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
【变式2】设全集，集合，若CuA，
求实数的取值范围.
【解析】 CuA=，.
CuA，，即.实数的取值范围是.

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