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1.5全称量词与存在量词
【要点梳理】
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对中任意一个，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，
例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；
（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；
（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“”表示，读作“存在”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
一般形式：“存在中一个元素，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：
（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.
对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.
(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个
否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个
要点四、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.
【典型例题】
类型一：量词与全称命题、特称命题
例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题：
（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；
（2）等边三角形的三边相等；
（3）存在实数，使。
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题
【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）xR，x2+1≥1；
（2）所有素数都是奇数；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（4）有些整数只有两个正因数.
【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；
（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
类型二：判断全称命题、特称命题的真假
例2.判断下列命题的真假：
（1）；
（2）.
【解析】（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；
（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.
举一反三：
【变式1】试判断下列命题的真假
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）；
【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题
【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例3.写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）； （2）所有的正方形都是矩形；
（3）； （4）至少有一个实数x0，使得.
【答案】（1）：（假命题）；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）；
（4）：（真命题）.
【变式1】(2015 湖北文)命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故选C.
类型四：含有量词的命题的应用
例4．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】
q:x2-2x+1-m2≤0 [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0
又∵m>0， ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m
∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”
∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.
∴实数m的取值范围是
举一反三：
【变式1】(2015 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。
【答案】1 【解析】若“，”是真命题
则，其中
函数 的最大值为1
即的最小值为1，所以答案应填1.
【变式2】若函数，g（x）=a（x－a+3）同时满足以下两条件：
①，f（x）＜0或g（x）＜0；②，f（x）g（x）＜0.
则实数a的取值范围为________。
【答案】∵已知函数，g（x）=a（x－a+3），
根据①，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值，
由f（x）≥0，求得x≤－1，
即当x≤－1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；
根据②，使f（x）·g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1－a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），
【变式3】已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当时，函数恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.
【解析】由命题p知：0＜c＜1.
由命题q知：，要使此式恒成立，则，即.
又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，c的取值范围为.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为.
类型五　由命题的真假求参数的取值范围
例5．已知命题p：“ x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“ x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.
若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)
【解析】C 由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，
则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
举一反三：
【变式1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，
则实数m的取值范围是________.
【解析】　当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
【变式2】已知命题p： x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.
【解析】　由命题p： x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，
即Δ＝m2－4<0，可得－2－1.
【变式3】已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________.
【解析】　依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋在上是减函数，∴f(x)max＝f ＝.
又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥.
【变式4】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【解析】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥

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