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(共29张PPT)
2.1　等式性质与不等式性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)会用不等式组表示不等关系．(2)能够用作差法比较两个数或式的大小．(3)掌握不等式的有关性质．(4)能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题．
教 材 要 点
要点一　不等式与不等关系
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号＜、≤ 、＞、≥ 或≠.
(2)所表示的关系是__________．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符号 语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
不等关系
要点二　实数大小比较的基本事实
a>b ________；a＝b ________；a要点三　重要不等式
a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
≥
a＝b
要点四　等式性质与不等式性质的比较
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a a>b ________
a＝b，b＝c a＝c a>b，b>c ________
a＝b a＋c＝b＋c a>b ________
a＝b ac＝bc a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________
a＝b，c＝d a＋c＝b＋d a>b，c>d __________
a＝b，c＝d ac＝bd a>b>0，c>d>0 ________
a＝b≥0 an＝bn a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
助 学 批 注
批注 　不等符号“≤”是指“<”或者“＝”．
批注 　不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”．
批注 　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
批注 　要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的．
批注 　同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．(　　)
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　　)
(4)若a>b，则<. (　　)
×
×
×
×
2．某路段竖立的 的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A. v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
答案：C
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A. M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
答案：A
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么______；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么______.
＜
＜
解析：(1)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，∴0＜＜，
又c＞0，∴＜.
题型探究·课堂解透
题型 1　实数(式)的比较大小
例1　已知a＞0，试比较a与的大小．
解析：因为a－＝＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；当0＜a＜1时，a＜.
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
巩固训练1　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
答案：C
解析：由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
解析：作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
题型 2　利用不等式的性质判断命题的真假
例2　(1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则下述一定正确的是(　　)
A．ae＞be B．c2＜d2
C．＞0 D．(d－c)e＞
答案：C
解析：因为a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，所以ae＜be，c2＞d2，故A，B错误；
－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以＜，所以＞，即＞0，故C正确；
对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－，e＝－1时，
则(d－c)e＝2＝，故D错误．
(2)(多选)下列命题为真命题的有(　　)
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＞b＞0，c＜0则＞
解析： 选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；
选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；
选项C：＝，由a＜b＜0，可知ab＞0，b－a＞0，则＞0，即＞.判断错误；选项D：＝由a＞b＞0，可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0则＞0，即＞，判断正确．
答案：BD
方法归纳
判断与不等式有关命题真假的3种常用方法
巩固训练2　(1)已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．ab＞b2
C．＞ D．b＞
答案：B
解析：当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误．
因为a＞b＞0，所以ab＞b2，＞＞b，B正确，C，D错误．
(2)(多选)下列命题正确的是(　　)
A．＜且c＞0 a＞b
B．a＞b且c＞d ac＞bd
C．a＞b＞0且c＞d＞0 ＞
D．＞ a＞b
答案：CD
解析：A， ＜；当a＜0，b＞0时，满足已知条件，但推不出a＞b，∴A错误；B，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，∴B错误；
C， ＞＞0 ＞ 成立，∴C正确；
D，显然c2＞0，∴两边同乘以c2得a＞b，∴D正确．
题型 3　利用不等式的性质证明不等式
例3　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
方法二：∵＝＝≤0，
∴.
方法归纳
利用不等式的性质证明不等式的策略
巩固训练3　若a＜b＜0，求证：＜.
证明：由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
题型 4　利用不等式的性质求范围
例4　已知1解析：∵1∴8<2a＋3b<32.
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故8<2a＋3b<32，－7方法归纳
利用不等式的性质求范围的策略
巩固训练4　已知1解析：∵3∴1－4又＜＜，∴＜＜，
即＜＜2.2.1　等式性质与不等式性质
课程标准
(1)会用不等式组表示不等关系．(2)能够用作差法比较两个数或式的大小．(3)掌握不等式的有关性质．(4)能利用不等式的性质证明不等式或解决范围问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　不等式与不等关系
1．不等式的定义所含的两个要点
(1)不等符号＜、≤ 、＞、≥ 或≠.
(2)所表示的关系是________________．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
符号语言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
要点二　实数大小比较的基本事实
a>b ________；a＝b ________；a要点三　重要不等式
a，b∈R，a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
要点四　等式性质与不等式性质的比较
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a a>b ________
a＝b，b＝c a＝c a>b，b>c ________
a＝b a＋c＝b＋c a>b ________
a＝b ac＝bc a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________
a＝b，c＝d a＋c＝b＋d a>b，c>d ________
a＝b，c＝d ac＝bd a>b>0，c>d>0 ________
a＝b≥0 an＝bn a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
助学批注
批注 　不等符号“≤”是指“<”或者“＝”．
批注 　不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”．
批注 　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．
批注 　要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的．
批注 　同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．(　　)
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．(　　)
(4)若a>b，则<. (　　)
2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速vkm/h应满足的关系式为(　　)
A.v＜60B．v＞60
C．v≤60D．v≥36
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A.M＞NB．M＝N
C．M＜ND．与x有关
4．用不等号填空．
(1)如果a＞b＞0，那么______；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么______.
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　实数(式)的比较大小
例1　已知a＞0，试比较a与的大小．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的一般步骤
巩固训练1　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p＞qB．p≥q
C．p＜qD．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比较与的大小．
题型 2　利用不等式的性质判断命题的真假
例2　(1)[2022·山东青岛高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则下述一定正确的是(　　)
A．ae＞beB．c2＜d2
C．＞0D．(d－c)e＞
(2)(多选)下列命题为真命题的有(　　)
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则＜
D．若a＞b＞0，c＜0则＞
方法归纳
判断与不等式有关命题真假的3种常用方法
巩固训练2　(1)已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ac2＞bc2B．ab＞b2
C．＞D．b＞
(2)(多选)下列命题正确的是(　　)
A．＜且c＞0 a＞b
B．a＞b且c＞d ac＞bd
C．a＞b＞0且c＞d＞0 ＞
D．＞ a＞b
题型 3　利用不等式的性质证明不等式
例3　若bc－ad≥0，bd＞0，求证：.
方法归纳
利用不等式的性质证明不等式的策略
巩固训练3　若a＜b＜0，求证：＜.
题型 4　利用不等式的性质求范围
例4　已知1方法归纳
利用不等式的性质求范围的策略
巩固训练4　已知12．1　等式性质与不等式性质
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．(2)不等关系
要点二
a－b>0　a－b＝0　a－b<0
要点三
≥　a＝b
要点四
bc　a＋c>b＋c　ac>bc　acb＋d　ac>bd
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：C
3．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.
答案：A
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
答案：(1)＜　(2)＜
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为a－＝＝，a＞0
所以当a＞1时，＞0，
有a＞；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0＜a＜1时，＜0，
有a＜.
综上，当a＞1时，a＞；
当a＝1时，a＝；
当0＜a＜1时，a＜.
巩固训练1　解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C　(2)见解析
例2　解析：(1)因为a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
所以ae＜be，c2＞d2，故A，B错误；
－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以＜，所以＞，
即＞0，故C正确；
对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－，e＝－1时，
则(d－c)e＝2＝，故D错误．
(2)选项A：当c＝0时，ac2＝bc2，判断错误；
选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；
选项C：＝，由a＜b＜0，
可知ab＞0，b－a＞0，则＞0，即＞.判断错误；
选项D：＝由a＞b＞0，
可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0则＞0，即＞，判断正确．
答案：(1)C　(2)BD
巩固训练2　解析：(1)当c＝0时，ac2＞bc2不成立，A错误．
因为a＞b＞0，所以ab＞b2，＞＞b，B正确，C，D错误．
(2)A， ＜；当a＜0，b＞0时，满足已知条件，但推不出a＞b，∴A错误；B，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，∴B错误；
C， ＞＞0 ＞成立，∴C正确；
D，显然c2＞0，∴两边同乘以c2得a＞b，∴D正确．
答案：(1)B　(2)CD
例3　证明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，两边同除以bd，得.
方法二：∵＝＝≤0，
∴.
巩固训练3　证明：由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例4　解析：∵1∴8<2a＋3b<32.
∵2又∵1∴1＋(－8)即－7故8<2a＋3b<32，－7巩固训练4　解析：∵3∴1－4又＜＜，∴＜＜，
即＜＜2.
2

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