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直线与圆的方程的应用
类型一：直线与圆的方程在平面几何中的应用
例1．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点．
证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，
如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．
令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），
∴P（―x0，―y0―2r）．
∴直线CP的方程为 ．
即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．
∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．
举一反三：
【变式1】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D交于E、F，求证：EF平分CD．
证明：令圆O方程为x2+y2=1． ①
EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程
(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0． ②
①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0． ③
③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，
将H＇代入③式，得．
即H＇在EF上，∴EF平分CD．
类型二：直线与圆的方程在代数中的应用
例2．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．
【解析】（1）如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．
令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．
过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，
∴kAQ≤kQM≤kQB．
又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得：
，即．
∴的最大值为，最小值为．
举一反三：
【变式1】已知点A（―3，0），B（0，3），若点P在圆上运动，则△PAB面积的最小值为________．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心C（1，0），半径r=1，
当过P的直线和AB平行时，△PAB的面积最小，
∵A（－3，0），B（0，3），∴AB的方程为，即x－y+3=0，
此时圆心C到直线AB的距离，
则△PAB的边长，
AB边上的高，
则△PAB面积，
故答案为：
【变式2】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．
【解析】因为，所以，
即，分别画出和的草图，
利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，
由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．
类型三：直线与圆的方程的综合应用
例3．已知圆C关于y轴对称，圆心在x轴上方，且经过点，被x轴分成两段弧长之比为1∶2，求圆C的标准方程．
【解析】设圆心C（0，a），a＞0，则半径为CA，根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2，
可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为，故有，解得a=1，
半径，故圆的方程为．
举一反三：
【变式1】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．
【解析】 由得代入，
化简得：5y2-20y+12+m=0， y1+y2=4，
设的坐标分别为，，由可得：
=
=
=0
解得：
例4．已知：以点（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（1）当t=2时，求圆C的方程；
（2）求证：△OAB的面积为定值；
（3）设直线y=－2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
【解析】（1）当t=2时，圆心为C（2，1），
∴圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5；
（2）由题设知，圆C的方程为，
化简得．
当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；
当x=0时，y=0或，则，
∴为定值．
（3）∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，KMN=－2，则直线OC的斜率，
∴t=2或t=－2．
∴圆心为C（2，1）或C（―2，―1），
∴圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5．
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2x+y―4=0到圆心的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴所求的圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5．
【巩固练习】
1．自点A（－1，4）作圆(x－2)2+(y－3)2=1的切线，则切线长为（ ）．
A． B．3 C． D．5
1．【答案】B 【解析】 圆心C（2，3），，∴切线长．
2．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）．
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时
2．【答案】B 【解析】A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，
则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，
则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，
则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）
3．已知点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2－2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是（ ）．
A．6 B．8 C． D．
3．【答案】D 【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，d的最大值是，△ABC面积的最大值是
4．设圆C：，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．【答案】D【解析】由圆C的方程：，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2
若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1
直线l的一般方程为：x－y+b=0，∴，解得
5．已知圆的方程为x2+y2－6x－8y=0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）．
A． B． C． D．
5．【答案】B 【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为 ．
6．已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）．
A．(x+1)2+(y－1)2=2 B．(x－1)2+(y+1)2=2
C．(x－1)2+(y－1)2=2 D．(x+1)2+(y+1)2=2
6.【答案】B 【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，故，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，故，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2
7．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则k+m=（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
7．【答案】B【解析】由题可知：直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得，解之得k=2，
所以圆方程为x2+y2+2x+mh－4=0，圆心坐标为，
将代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．
8．以直线2x+y－4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为________．
8．【解析】令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴直线与两轴交点坐标为A（0，4）和B（2，0），
以A为圆心过B的圆的半径为，∴以A为圆心过B的圆的方程为；
以B为圆心过A的圆的半径为，∴以B为圆心过A的圆方程为，
故过另一个交点的圆的方程为：或．
9．若不同两点P、Q的坐标分别为（a，b）、（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为________；圆(x－2)2+(y－3)2=1关于直线对称的圆的方程为________．
9．【答案】―1 x2+(y―1)2=1 【解析】由题可知，又k1kPQ=―1k1=―1，
圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1
10．过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
10．【答案】2x―y=0 【解析】设所求直线方程为y=kx，故圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．
11．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= ．
11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2，由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．
12．已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线l：x－my－1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y－m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．
12．【解析】（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，
整理得x2+y2－4x+1=0，即(x－2)2+y2=3，∴曲线E的方程为(x－2)2+y2=3．
（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），
设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，
则直线EP：y=x－2，设直线CD：y=－x+t，由，解得点，
由圆的几何性质，，
而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，
∴直线CD的方程为y=―x，或y=―x+3．
13．已知点P（x，y）在圆x2+y2－6x－6y+14=0上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
（3）求x+y的最大值与最小值．
13．【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．
（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．
（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，
所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，
显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，
又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．
（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值．
圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，
则，即，解得，
所以x+y的最大值为，最小值为．

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