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3.1.3椭圆综合
类型一：椭圆的方程与性质
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】由题知所以，选D
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
例3. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【解析】(1)依题意知，求得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为＝1．
(2)当过点P的直线斜率不存在时，P的坐标为(±3，±2)时符合题意，
设过点P(x0，y0)的切线为y＝k(x－x0)＋y0，＝1，
整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，
△＝[18k(y0－kx0)]2－4(9k2＋4)×9[(y0－kx0)2－4]，
∴(x02－9)k2－2x0×y0×k＋(y02－4)＝0，
∴－1＝k1 k2，＝－1，∴x02＋y02＝13．把点(±3，±2)代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】（1）把直线方程代入椭圆方程得
，即．
，
解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得
，．
根据弦长公式得： ．
解得．
因此，所求直线的方程为．
举一反三：
【变式1】椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】设关于直线的对称点A（m,n）,则，
代入椭圆方程可得，化简可得，
【变式2】已知：直线 y＝1-x与椭圆 mx2+ny2＝1交于M、N两点，O为坐标原点，
（1）若点P为线段MN的中点，OP的斜率为，求：的值；
（2）若OM⊥ON，且，求：椭圆的方程．
【答案】设令M(x1,y1)， N(x2,y2)，
把y=1-x代入mx2+ny2=1中消y有：(m+n)x2-2nx+n-1=0，
由已知：Δ>0，，，
（1）,
∴ ,
∴．
（2）∵OM⊥ON， ∴x1x2+y1y2=0
又y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=
∴即m+n=2,
又∵，
∴
∴或，
∴所求为或．
【变式3】已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
【答案】利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，
从而直线方程为：．
由直线方程与椭圆方程联立得：．
设，为方程两根，所以，，，
从而．
类型三：椭圆中的最值问题
例5如图，P是椭圆上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是________．
【答案】∵，∴
延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，
且M为F2M的中点，可得OM是△PF1F2的中位线
∵a－c＜|PF2|＜a+c，∴
∴|OM|的取值范围是（0，3）
举一反三：
【变式1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到的距离等于的点的坐标．
【解析】设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定．
由可得
，即．
设椭圆上的点到点的距离是，则
其中．
如果，则当时，（从而）有最大值．
由题设得，由此得，与矛盾．
因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值．
由题设得，可得，．
∴所求椭圆方程是．
由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是．
1、【巩固练习】
2、选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（ ）
A．3 B． C． D．6
1．答案：C解析： ∵c=2，，∴a=3，∴b2=a2―c2=9―4=5，∴，∴短轴长为
2.椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，
则的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 答案：A解析：联立椭圆方程与直线方程，得
A（x1,y1），B(x2,y2)，
AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率
3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
3．答案：D解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.
∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
4.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AF⊥BF，
设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率e的取值范围为______________．
4．解析： 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，则连接AF，AN，BN，BF，所以四边形AFNB为长方形。
由椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.
所以2a=2ccosα+2csinα，利用，
所以，则：，所以取值范围为
5. 若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
5.解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，
两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0
6.设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值
6.依题意可设，则，∵Q在椭圆上，∴
==
∵则
当时，去最大值
若，则当时，取最大值2.
7. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
7.解析：(1)∵且c＝，∴a＝，b＝1.∴椭圆c的方程为.
(2)由题意知点P(0，t)(－1由得，∴圆P的半径为，
又∵圆P与x轴相切，∴，解得，
故P点坐标为.
8．已知椭圆的离心率为,点在C上.
（I）求C的方程；
（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M，
证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
8．（Ⅰ）由题意有，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2－8=0.
故，于是直线OM的斜率，
即，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
9．已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与轴交于点N．
求证：|AN|·|BM|为定值．
9．(1)由题意得解得a＝2，b＝1．
所以椭圆C的方程为．
(2)由(Ⅰ)知，A(2，0)，B(0，1)，
设P(x0，y0)，则．
当x0≠0时，直线PA的方程为．
令x＝0，得．从而．
直线PB的方程为．
令y＝0，得．从而．
所以
．
当x0＝0时，y0＝-1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4．
综上，|AN|·|BM|为定值．
10．已知椭圆C：x2＋2y2＝4，
(1)求椭圆C的离心率
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
10.解析：(1)由x2＋2y2＝4，得椭圆C的标准方程为．
∴a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率；
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0．
∵OA⊥OB，∴，即tx0＋2y0＝0，解得．
当x0＝t时，，代入椭圆C的方程，得．
故直线AB的方程为，圆心O到直线AB的距离．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．
圆心O到直线AB的距离．
又．
故．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

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