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3.2.1双曲线及其标准方程
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
要点诠释：
1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
要点二、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程：
1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆 双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0）
，（a＞b＞0） ，（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
标准方程统一为：
要点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
【典型例题】
类型一：双曲线的定义
例1.若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
举一反三：
【变式1】已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　)
A. B. (y>0)
C. 或 D. (x>0)
【答案】　D
【变式2】双曲线方程：，那么k的取值范围是（ ）
A.(5，+∞) B.（2,5） C.（-2,2） D．（-2,2）∪(5，+∞)
【答案】D
【解析】由题意知解得或k>5,故选D。
【变式3】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13）
C．x=0（|y|≥13） D．以上都不对
【答案】C
例2. 已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程.
【解析】易知，由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，
其方程为 （y≠0）
举一反三：
【变式1】已知点P(x,y)的坐标满足，
则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对
【答案】B
【变式2】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
【答案】　A
类型二：双曲线的标准方程
例3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
【解析】由题意得2a=24，2c=26。
∴a=12，c=13，b2=132－122=25。
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。
举一反三：
【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.
（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点.
【答案】（1）
（2）
【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程.
【答案】由已知设, ，则()
依题意，解得.
∴当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为.
【变式3】若以为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为______。
【答案】∵以为焦点的双曲线过点（2，1），
∴设双曲线方程为，a＞0，把（2，1）代入，得：，a＞0，
解得a2=2，或a2=6（舍），∴该双曲线的标准方程为。
故答案为：。
例4．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
解法一：依题意设双曲线方程为－=1，由已知得，
又双曲线过点，∴，∴
故所求双曲线的方程为.
解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得，
所以双曲线方程为.
举一反三：
【变式】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（ ）
A. B. C.4 D.10
【答案】C【解析】由题意，
类型三：双曲线与椭圆
例5.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
【解析】　(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，
此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，所给方程表示双曲线，
此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．
举一反三：
【变式】若双曲线(m>0，n>0)和椭圆(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．
【答案】　a－m 【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得：
|MF1|－|MF2|＝ ① ，|MF1|＋|MF2|＝ ②
②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，
∴|MF1|·|MF2|＝a－m.
例6.求以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝为渐近线的双曲线方程．
【解析】　椭圆可化为，其焦点坐标为(，0)，∴所求双曲线的焦点为(，0)，
设双曲线方程为：(a>0，b>0)，∵双曲线的渐近线为，
∴，∴，∴，，
即所求的双曲线方程为：.
举一反三：
【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A，
且A的纵坐标为4，求双曲线的方程.
【答案】
【变式2】双曲线与椭圆(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【巩固练习】
1、选择题
1．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
1．答案：C 解析： 方程表示双曲线，得或
2．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是(　　)
A. B． C. D.
2. 答案：B 解析：双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为.
3．双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则实数m=( )
A.1 B. C. D.1 或
3. 答案：A 解析：双曲线化为，
实轴上是虚轴上的2倍，化为，解得m=1
4．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
4. 答案：C 解析：　方程即是，因θ∈(，π)，
∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)
A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4
5. 答案：　D解析：　NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，
又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4
6．已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，
若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 答案：A 解析：∵，∴c2=2+1=3，∴，
先找使得的点M坐标，即
∵，∵
联立可得，，∴
法二：设M（x0，y0），则
∵，∴
∴，∵x02=2+2y02，即 3y02＜1 ∴∴
二、填空题
7．设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，
则的值为 .
7.答案：4 解析：设，则，
所以2mn=24-16=8，所以mn=4
8．过原点的直线l与双曲线的左右两支分别相交于A，B两点，是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，.则双曲线C的方程为________．
8．解析：设|FB|=x，则|FA|=4－x，∵过原点的直线l与双曲线
的左右两支分别相交于A，B两点，是双曲线C的左焦点，∴，
∵，∴x2+(4－x)2=12，∴x2－4x+2=0，∴，
∴，∴，
∴，∴b=1，∴双曲线C的方程为
9．如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a＝________.
9．答案：1 解析：　由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1
10．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
10. 答案：　(x≤－2) 解析：设动圆圆心为P(x，y)，由题意得：|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，
由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
三、解答题
11. 若椭圆(m>n>0)和双曲线(a>0，b>0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，求|PF1|·|PF2|的值.
11. 解析：　不妨设点P为双曲线右支上的点，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝，
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝.
∴|PF1|＝，|PF2|＝；
同理可求P为左支上的点时情况，都能得到：|PF1|·|PF2|＝m－a.
12．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，，求双曲线的标准方程．
12. 解析：　设双曲线方程为，∵e＝＝2，∴a＝
由双曲线定义：|PF1|－|PF2|＝2a＝c.
由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2| ，
又＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝，
得|PF1|·|PF2|＝48，即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12，
所求方程为.
13．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系．
求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
13. 解析：解法一：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系．
设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图)
则 解得
设双曲线方程为，将点代入，可得a2＝.
∴所求双曲线方程为.
解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作PA⊥x轴于A点．
设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)
因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，
故，，即，AM＝2y0，
所以，即，又因为S△PMN＝1，所以MN·PA＝1，
即，∴，
而2a＝PM－PN，
∴，
故所求双曲线方程为.

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