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3.2.2双曲线的简单几何性质
要点一、双曲线的简单几何性质
1.双曲线的定义：
平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹叫双曲线.
双曲线 标准方程（焦点在轴） 标准方程（焦点在轴）
定义 第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
范围 ， ，
对称轴 轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心 原点
焦点坐标
焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标 （,0） (,0) (0, ,) (0，)
离心率
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离 顶点（）到准线（）的距离为顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离 焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为
渐近线方程
共渐近线的双曲线系方程 （） （）
2.弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则
k为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长.
3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解
3.等轴双曲线
（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双曲线
1.； 2.离心率； 3.两渐近线互相垂直，分别为y=；
4.等轴双曲线的方程，；
4.直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5.双曲线与切线方程
1、双曲线上一点处的切线方程是。
2、过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。
3、双曲线与直线相切的条件是。
6.双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
7. 离心率与渐近线之间的关系
1.
2. 3.
8.面积公式
双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，
解：在中，设，，，由余弦定理得：
∴，即，
∴．
9.双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
要点二、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，
c＞a＞0，且c2=b2+a2。
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：；
（3）顶点到焦点的距离：，；
（4）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.
【典型例题】
类型一：双曲线的简单几何性质
例1．求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.
【解析】 把方程化为标准方程，
由此可知实半轴长，虚半轴长，∴
∴双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标，
离心率，渐近线方程为
举一反三：
【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A． B．－4 C．4 D.
【答案】A
【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（ ）
A．－2 B．1 C．－1 D．
【答案】C
例2．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
【解析】由题意得或或
。
∴实数m的取值范围为。
举一反三：
【变式1】设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【变式2】双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________．
【答案】∵ OABC是正方形，∴ ∠AOB＝45°，即直线OA方程为y＝x，此为双曲线的渐近线，
因此a=b，又由题意，∴ ．故填2．
类型二：双曲线的渐近线
例3. 根据下列条件，求双曲线方程。
（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）一渐近线方程为，且双曲线过点
【解析】（1）解法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得，解得，，所以双曲线的方程为
当焦点在y轴上时，设方程为，得，解得，（舍去）
综上所得，双曲线的方程为
解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，
所以双曲线方程为即
（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是. 故设双曲线方程为，
∵点在双曲线上，∴ ，解得，∴所求双曲线方程为.
举一反三：
【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【变式2】与双曲线有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】设双曲线方程为，因为双曲线过点（2,2），所以k=3
【变式3】双曲线与有相同的（ ）
A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对
【答案】C
类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围
例4. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。
【解析】∵，是正三角形，∴，
∴，∴
举一反三：【变式1】
(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.
【答案】
(2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程.
【答案】
【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0，b)，
且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【变式3】 过双曲线=1 (a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 .
【答案】【解析】双曲线的右焦点为（c，0），设所作直线与双曲线的行，其方程为，代入求得点P的横坐标为，由，得，解之得（舍去，因为离心率），故离心率为.
例5.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，
且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
【解析】由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：|PF2|＝，又|PF2|≥c－a，
所以，，
∴，即e的最大值为.
举一反三：
【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．1C．1【答案】D
【变式2】已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
【答案】　(1，)
类型五：双曲线的焦点三角形
例6．若F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【解析】　由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由双曲线的定义得，||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式两边平方得，|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，
由余弦定理得，
，
所以∠F1PF2＝90°.
举一反三：
【变式】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。
【答案】
【巩固练习】
1、选择题
1．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是(　　)
A. B. C． D．
1．【答案】：　C【解析】：∵椭圆的焦点为(0，±4)，离心率e＝，
∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为，∴双曲线方程为：.
2.双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
2．【答案】：D【解析】：设，∵焦点∴又,
3．过双曲线=1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若 PF1Q=90 ，
则双曲线的离心率是（ ）
A. B.1+ C.2+ D.
3. 【答案】：B【解析】：因为|PF2|=|F2F1|， P点满足=1，∴,
∴，即 2ac=b2=c2-a2，∴,故e=1+.
4. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x
4. 【答案】：　B【解析】：如图，分别过双曲线的右顶点A，
右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则△OBA∽△OCF，
∴，∴，∴，故渐近线方程为：.
5．与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(-3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A.8 B.4 C.2 D.1
5. 【答案】：C【解析】：设所求方程为,代入(-3,2)得, ,
∵双曲线的渐近线为，∴焦点到渐近线的距离d=2.
6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6. 【答案】：D【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x，y)，
∴
∴ ，故双曲线的方程为
二、填空题
7．双曲线的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．
7. 【答案】：　－128．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线=1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B．若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是　　 ．
8．【答案】：　【解析】双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与直线x－3y＋m＝0联立，
可得A(，)，B(－，)，∴AB中点坐标为(，)，
∵点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，∴，∴a＝2b，∴＝b，∴e＝
9．双曲线以椭圆的焦点为焦点，离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程为 ．
9．【答案】：　【解析】：　椭圆焦点为(0，±4)，离心率，
∴双曲线的离心率e1＝2e＝，∴，∴a1＝，∴b＝c－a＝16－＝
10．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，
当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
10. 【答案】：【解析】，∴a2=1，b2=8，c2=9，∴F（3，0）
设左焦点为F1（－3，0），∵，当A，P，F1三点共线时，△APF周长最小，此时
三、解答题
11.设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
11. 【解析】：过F2作F2A⊥PF1于A，由题意知＝2a，＝2c，则＝2b，
∴＝4b，而－＝2a，
∴4b－2c＝2a，c＝2b－a，c2＝(2b－a)2，
a2＋b2＝4b2－4ab＋a2，解得，
∴双曲线的渐近线方程为:.
12．设双曲线=1（0已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.
12.【解析】： 由已知，的方程为ay+bx-ab=0,
原点到的距离为，则有,
又c2=a2+b2, ∴，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.
两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，∴e2=4或.
∵ 0∴e2=4，故e=2.
13．已知双曲线(a>0，b>0)过点，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程．
13.【解析】：　双曲线的两渐近线的方程为bx±ay＝0.
点A到两渐近线的距离分别为:，
已知d1d2＝，故 (ⅰ)
又A在双曲线上，则
14b2－5a2＝a2b2(ⅱ)
(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a2b2＝4a2＋4b2(ⅲ)
联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2＝2，a2＝4.
故所求双曲线方程为.
14．已知双曲线的两个焦点分别为，点P在双曲线上且满足，求的面积.
14. 解法一： 由双曲线的方程知a=2, b=1, ∴.因此.
由于双曲线是对称图形，如图所示，设P点坐标为(x,)，
由已知F1P⊥F2P，∴, 即，
得，∴
解法二：∵(|PF1|-|PF2|)2=4a2=16,
又由勾股定理得|PF1|2+|PF1|2=(2c)2=20,
∴|PF1||PF2|=[|PF1|2+|PF2|2-(|PF1|-|PF2|)2]=(20-16)=2,
∴.
15．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。
(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率.
15. 【解析】(1)设A(xA，yA)．由题意，F2(c，0)，，
因为△F1AB是等边三角形，所以，
即，解得b2＝2．
故双曲线的渐近线方程为．
(2)由已知，F1(-2，0)，F2(2，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l:y＝k(x-2)．显然k≠0．
由，得．
因为l与双曲线交于两点，所以k2-3≠0，且△＝36(1+k2)＞0．
设AB的中点为M(xM，yM)．
由即，知F1M⊥AB，故．
而，
所以，得，故l的斜率为．

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