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3.3从函数观点看一元二次不等式
专题整理
一、知识梳理
1. 一元二次不等式与一元二次函数的关系
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 两个不同的根 两个相同的根 无实根
ax2+bx+c＞0(a>0) 的解集
ax2+bx+c＜0(a>0) 的解集
ax2+bx+c≥0(a>0) 的解集
ax2+bx+c≤0(a>0) 的解集
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤可以概括为以下几步
①把二次项系数化为正数；
②写出对应的二次方程；
③求二次方程的解；
④画出对应二次函数的图像，根据图像结合二次不等式的要求写出解集.
含参一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式时，一般需对参数进行分类讨论，具体怎么讨论，需要分哪些情况进行讨论是难点所在，根据运算的需要分以下几种情况：
①二次项系数有参数时. 当二次项系数含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系（分成大于0、小于0、等于0三种情况），然后讲不等式转化为一次不等式或二次不等式进行求解；
②根的判别式（）含有参数时.当不等式不能直接因式分解时，可以通过讨论与0的关系判断根的个数，再结合图像进行求解；
③通过因式分解或求根公式求出的根有参数时.求出对应方程的根，并讨论两根的大小，结合图像进行求解.
题型分类
题型一：解二元一次不等式
一元二次不等式的解集为（ ）
A． B． C．D．
解下列不等式.
(1)﹣x2+2x﹣3＜0；
(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.
解不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
题型二：已知解集求参数
若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
若关于的不等式的解集为或，求，的值.
已知函数，若的解集为.
(1)求，的值；
(2)当为何值时，的解集为？
题型三：三个“二次”综合应用
若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
若不等式的解集是，则不等式的解集是（　）
A． B．
C． D．
题型四：二次项系数含参需讨论型不等式求解
解关于的不等式：
解关于x的不等式
题型五：根含参需讨论型不等式的求解
已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
解关于的不等式．
题型六、含参需讨论型不等式的求解
解关于的不等式 ．
解关于的不等式：
3.3从函数观点看一元二次不等式
专题整理
一、知识梳理
1. 一元二次不等式与一元二次函数的关系
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 两个不同的根 两个相同的根 无实根
ax2+bx+c＞0(a>0) 的解集
ax2+bx+c＜0(a>0) 的解集
ax2+bx+c≥0(a>0) 的解集
ax2+bx+c≤0(a>0) 的解集
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤可以概括为以下几步
①把二次项系数化为正数；
②写出对应的二次方程；
③求二次方程的解；
④画出对应二次函数的图像，根据图像结合二次不等式的要求写出解集.
含参一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式时，一般需对参数进行分类讨论，具体怎么讨论，需要分哪些情况进行讨论是难点所在，根据运算的需要分以下几种情况：
①二次项系数有参数时. 当二次项系数含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系（分成大于0、小于0、等于0三种情况），然后讲不等式转化为一次不等式或二次不等式进行求解；
②根的判别式（）含有参数时.当不等式不能直接因式分解时，可以通过讨论与0的关系判断根的个数，再结合图像进行求解；
③通过因式分解或求根公式求出的根有参数时.求出对应方程的根，并讨论两根的大小，结合图像进行求解.
题型分类
题型一：解二元一次不等式
一元二次不等式的解集为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】利用十字相乘因式分解后，即可选出答案.
【详解】因为
所以
所以
所以一元二次不等式的解集
故选：A.
解下列不等式.
(1)﹣x2+2x﹣3＜0；
(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.
【答案】(1)R
(2){x|1}
【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.
（1）
根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0 x2﹣2x+3＞0 （x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；
（2）
根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0 3x2﹣5x+2＜0 （x﹣1）（x）＜0，
解可得：x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}.
解不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)；
(2)或；
(3)R；
(4)或.
【分析】（1）（2）（3）（4）利用一元二次不等式的解法求不等式解集即可.
（1）
由，可得，解集为.
（2）
由，可得或，解集为或；
（3）
由恒成立，故解集为R；
（4）
，可得或，解集为或.
题型二：已知解集求参数
若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】由一元二次不等式的解集，讨论、分别求出满足条件的m范围即可.
【详解】由题设，，
当时，恒成立，满足要求；
当，可得；
综上，.
故选：B
若关于的不等式的解集为或，求，的值.
【答案】，
【分析】由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可
【详解】因为关于的不等式的解集为或，
所以和为方程的两根，
所以，解得
已知函数，若的解集为.
(1)求，的值；
(2)当为何值时，的解集为？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依题意与为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）分和两种情况讨论，当时，需满足，即可求出参数的取值范围；
(1)
解：由题意可知，的解集为，
所以与为方程的两根，
，；
(2)
解：的解集为，
①当时，的解集为，，；
②当时，，
，，
综上所述，的取值范围为.
题型三：三个“二次”综合应用
若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.
【详解】解：由，整理得 ①．
又不等式的解集为，
所以，且，即②．
将①两边同除以得：③．
将②代入③得：，解得．
故选：A
已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得2和3是方程的两个根，根据韦达定理可得，从而转化为，解该一元二次不等式即可.
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴2和3是方程的两个根.
∴，可得.
可化为，即，
即,解得.
故选:A.
若不等式的解集是，则不等式的解集是（　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可.
【详解】解：因为不等式的解集是，
∴和是方程的两个实数根，
由，解得：，，
故不等式即，
即，即，解得：，
所以所求不等式的解集是：.
故选：C．
题型四：二次项系数含参需讨论型不等式求解
解关于的不等式：
解：（1）当时，原不等式的解集为：；
（2）当时，对于方程，
①若，即时，
方程两个解为：，（），
所以原不等式的解集为：；
②若，即时，原不等式的解集为：；
③若，即时，原不等式的解集为：；
（3）当时，一定有，
方程两个解为：；且
原不等式的解集为：。
解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
题型五：根含参需讨论型不等式的求解
已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．
【详解】不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
故选：ABD．
解关于的不等式．
【答案】答案见解析.
【分析】将原不等式化为，再对与分类讨论，分别求出不等式的解集；
【详解】解：原不等式可化为： ，令 可得：
当或时，， ；
当或时， ，不等式无解；
当或 时，，
综上所述，当或时，不等式解集为；
当或时，不等式的解集为；
当或时，不等式解集为．
题型六、含参需讨论型不等式的求解
解关于的不等式 ．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解.
【详解】方程中，
①当即时，不等式的解集是，
②当，即时，不等式的解集是，
③当即时，
由解得：，
时，不等式的解集是或，
综上，时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是或，
解关于的不等式：
解：对于方程，，所以：
（1）当，即：时，方程有两个不等实数解：
，，且，
所以原不等式的解集为：或；
（2）当，即：时，所以：
①当时，原不等式的解集为：；
②当时，原不等式的解集为：；
（3）当，即：时，方程没有实数解，
所以原不等式的解集为：。

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