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二次函数与一元二次方程、不等式学案
教学目的 1.了解一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系； 2.会解一元二次不等式，含参数一元二次不等式； 4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。
重、难点 含参数一元二次不等式解法
一、一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．
2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．
设一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
要点诠释：
一元二次不等式的步骤：
（1）判断开口方向，
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况
①时，运用因式分解和配方法；
②时，有两个相等实根；
③时，没有根
判断解集是两根之间还是两根之外，能不能取到“=”，写出解集.
例1.解确定的不等式
(1)解不等式：3x2＋2x＞2－3x； (2)解不等式：5－4x＞－x2.
例2. 知解集，求不等式
不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
变式：已知的解为,试求、,并解不等式.
例3.参数（未知量）在一次项上的 求解
解不等式 （含参不等式 求解集）
例4.参数（未知量）在一次项上的 求解
解集是求m范围 （知解集 求参数范围 分参）
例5.参数在二次项上的，分类讨论
解不等式
例6.不等式恒成立问题
【例】已知函数y=x2+ax+6．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式y＜0；
（Ⅱ）若不等式y＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
变式1、已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式x2﹣b（a+3）x﹣c＞0恒成立，则求出c的取值范围．
练习题
1.求下列不等式的解集：
（1）3x2﹣4x+1＜0； （2）﹣x2+4x+5＞0．
（3）﹣x2﹣2x+3≥0； （4）．
2.存在x∈R，ax2+4x+1≤0，则实数a的取值范围是　 　．
3.已知不等式x2+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是　 　．
4.已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=　 　；x2﹣bx﹣a=0时的所有解之和等于　 　．
已知0＜x＜1，﹣1＜y＜1，则x﹣y的取值范围是　 　．
6．（1）解关于x不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
（2）对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式x2﹣2ax﹣1≤0恒成立，试求a的取值范围．
7．若不等式ax 2+5x﹣2＞0的解集是 {x|＜x＜2}，
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
8．已知关于x的不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0
（1）若m=0，求该不等式的解集
（2）若该不等式的解集是R，求m的取值范围．
9．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）
①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；
②若不等式解集是R，求k的取值范围．二次函数与一元二次方程、不等式学案
教学目的 1.了解一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系； 2.会解一元二次不等式，含参数一元二次不等式； 4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。
重、难点 含参数一元二次不等式解法
一、一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．
2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．
设一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
要点诠释：
一元二次不等式的步骤：
（1）判断开口方向，
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况
①时，运用因式分解和配方法；
②时，有两个相等实根；
③时，没有根
判断解集是两根之间还是两根之外，能不能取到“=”，写出解集.
例1.解确定的不等式
(1)解不等式：3x2＋2x＞2－3x； (2)解不等式：5－4x＞－x2.
(1)原不等式整理得3x2＋5x－2＞0，
∵Δ＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
∴方程3x2＋5x－2＝0有两个不等实根x1＝－2，x2＝，由函数y＝3x2＋5x－2的图象，得原不等式的解集为
.
(2)原不等式整理得x2－4x＋5＞0，
∵Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，∴由函数y＝x2－4x＋5的图象，得原不等式的解集为R.
变式：解不等式 x2－2x＋3>0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R.
例2. 知解集，求不等式
不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
变式：已知的解为,试求、,并解不等式.
【解析】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
例3.参数（未知量）在一次项上的 求解
解不等式 （含参不等式 求解集）
例1：解不等式 （含参不等式 求解集）
二次式开口向上，有两个根 （根的分布问题）
①当时，有两个相等实根， 解集是空集
②当时，解集为两根之间
③当时，解集为两根之间
例4.参数（未知量）在一次项上的 求解
解集是求m范围 （知解集 求参数范围 分参）
因为，方程两边同除以x，不变号
m要小于右侧的最小值
例5.参数在二次项上的，分类讨论
解不等式
①，解集为
②当时，
开口不定，有两个根 （根的分布问题，如图）
①当时，有两个相等实根， 解集是空集
②当时（）， 开口是向上的，解集为两根之间
③当时（），开口是向上的，解集为两根之间
④当时（）， 开口是向下的，解集为两根之外
②当时，
③当时
④当时，
例6.不等式恒成立问题
【例】已知函数y=x2+ax+6．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式y＜0；
（Ⅱ）若不等式y＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）函数y=x2+ax+6，
a=5时，不等式y＜0化为x2+5x+6＞0，即（x+3）（x+2）＜0，
解得﹣3＜x＜﹣2，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}；
（Ⅱ）不等式y＞0为x2+ax+6＞0，其解集为R，则有△=a2﹣4×6＜0，
解得﹣2＜a＜2，∴实数a的取值范围是（﹣2，2）．
变式1、已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式x2﹣b（a+3）x﹣c＞0恒成立，则求出c的取值范围．
解：（1）由题意知a＞0且1，b是方程ax2﹣3x+2=0的根，
把x=1代入方程得，a=1，又=2，∴b=2；
（2）由（1）知，不等式化为x2﹣2（3+1）x﹣c＞0恒成立，
可知△=64+4c＜0，解得 c＜﹣16．
练习题
1.求下列不等式的解集：
（1）3x2﹣4x+1＜0； （2）﹣x2+4x+5＞0．
（3）﹣x2﹣2x+3≥0； （4）．
2.存在x∈R，ax2+4x+1≤0，则实数a的取值范围是　 　．
【解答】解：命题：存在x∈R，使ax2+4x+1≤0的否定为：任意x∈R，ax2+4x+1＞0恒成立；
求对任意x∈R时，ax2+4x+1＞0恒成立的a的取值范围：
①当a=0时，不等式化为4x+1＞0，解得x＞﹣，不合题意；
②当a≠0时，有，解得a＞4，由①②得a的范围是：a＞4；
所以存在x∈R，使ax2+4x+1≤0时a的取值范围是：a≤4．
3.已知不等式x2+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是　 　．
【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集不是空集
∴一元二次方程x2+ax+4=0有两个不同的根∴△=a2﹣16＞0∴a＜﹣4或a＞4故答案为：{a|a＜﹣4或a＞4}
4.已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a=　 　；x2﹣bx﹣a=0时的所有解之和等于　 　．
【解答】解：∵等式ax2+bx﹣1＞0的解集为（x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个实根，
则3×4=﹣=12，解得a=﹣，而两根之和7=﹣，解得：b=，故函数y=x2﹣bx﹣a的所有零点之和为：
b=，故答案为：，．
已知0＜x＜1，﹣1＜y＜1，则x﹣y的取值范围是　 　．
【解答】解：∵﹣1＜y＜1，∴﹣1＜y＜1，∵0＜x＜1，∴﹣1＜x﹣y＜1．∴x﹣y的取值范围是（﹣1，2）
6．（1）解关于x不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
（2）对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式x2﹣2ax﹣1≤0恒成立，试求a的取值范围．
（1）原不等式变为（ax﹣1）（x﹣1）＜0，因为a＞0，所以．
所以当a＞1，即时，解为；当a=1时，解集为 ；当0＜a＜1，即时，解为．
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为 ；当a＞1时，不等式的解集为．
（2）不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在[0，2]上恒成立即可．
所以，即，解得．则a的取值范围为．
7．若不等式ax 2+5x﹣2＞0的解集是 {x|＜x＜2}，
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．
（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=﹣，解得：a=﹣2；
（2）由（1）不等式ax 2﹣5x+a2﹣1＞0，即2x2+5x﹣3＜0，解得：﹣3＜x＜，故不等式的解集是（﹣3，）．
8．已知关于x的不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0
（1）若m=0，求该不等式的解集
（2）若该不等式的解集是R，求m的取值范围．
（1）当m=0时，可得不等式x2+x﹣2＜0，等价于与（x+2）（x﹣1）＜0，
解得：﹣2＜x＜1，∴不等式的解集为（﹣2，1）．
（2）当m=1时，可得不等式为2，显然成立，
不等式大于0，解集是R，则m＞1，△＜0，即（m﹣1）2﹣8（m+1）＜0，
解得：1＜m＜9， 综上可得：m的取值范围是：{m|1≤m＜9}．
9．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）
①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；
②若不等式解集是R，求k的取值范围．
【解答】解：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}
∴方程kx2﹣2x+6k=0的两个根为﹣3，﹣2∴=﹣3+（﹣2）=﹣5，∴k=﹣
②：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是R∴解得k＜﹣

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