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考点14 指数函数
【命题解读】
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。
【基础知识回顾】
．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C　
【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.
2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.0【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. 1B. －C. 1D. 【答案】C
【解析】　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得04、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为 ．
【答案】(3，3)
【解析】　由a0＝1知，当x－3＝0，即x＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)．
5、函数的值域为（　　）
A． B． C．（0，] D．（0，2]
【答案】A
【解析】令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1
∵单调递减
∴即y
故选：A．
考向一　指数函数的性质与应用
例1、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c．
（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或．
（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【解析】（1）．B 由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，
即f(x)＝2|x|－1，其图象过原点，且关于y轴对称，
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又a＝f(log0．53)＝f(－log23)＝f(log23)，b＝f(log25)，
c＝f(0)，且0＜log23＜log25，所以c＜a＜b．
（2）．D 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2．
当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝－2＝14，
解得a＝(负值舍去)．
综上知a＝3或a＝．
（3）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
变式1、（1）函数f(x)＝的单调减区间为 ．
（2）(一题两空)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．
【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞)　f(－4)＞f(1)（3）或3
【解析】（1）设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．
（2）因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
（3）令t＝ax(a>0，且a≠1)，
则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①当0此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝－2＝14.
所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.
②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或3.
变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式的解集为_______.
【答案】(﹣1，2)
【解析】由题则，故
故填(﹣1，2)
变式3、设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是 ；
【答案】(－3，1)
【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，
∴a>－3.
又a<0，∴－3综上，a的取值范围为(－3，1)．
变式4、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
【答案】.
【解析】(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立.故a的值为.
方法总结：　指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．
(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解
考向二 指数函数的图像与性质
例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
【答案】(1,2)．
【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B三点共线，所以＝，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．
变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是
【答案】
【解析】根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入，
可得，即，由于在线段上，故，即，解得
.
变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在同一直角坐标系内，作出函数，，，的图像如下：
因为，，，
所以是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；是与交点的横坐标；
由图像可得：.
故选：C.
变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
【答案】D
【解析】当a>1时，y＝ax－是增函数．
当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足．
当0当x＝0时，y＝1－<0，C错，D项满足．
变式4、　已知f(x)＝|2x－1|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；
(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．
【解析】　(1)由f(x)＝|2x－1|＝
可作出函数的图像如图所示．
因此函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)上，单调增区间是(0，＋∞)．
(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图像如图所示．
由图像知，当－1＝1－，即x0＝log2时，两图像相交，
当x<时，f(x)>f(x＋1)；
当x＝时，f(x)＝f(x＋1)；
当x>时，f(x)(3)将g(x)＝f(x)－x2的零点个数问题转化为函数f(x)与y＝x2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点．
方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．
考向三 指数函数的综合运用
例3、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　 )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
【答案】　ACD
【解析】　函数f (x)＝的定义域为R，所以A正确；
因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f (x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；
因为f (x＋1)＋f (－x)＝＋
＝＋＝，
∴f (x)关于对称，所以D正确．
变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数，若，则实数 _____．
【答案】
【解析】∵函数,,
∴当时,,
,解得 ,不合题意．
当时, ,
当时,,解得,
当时,,解得,不合题意．
综上,实数．
故答案为：．
变式2、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【解析】　(1) ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即＝0 b＝1，∴f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，得＝－ a＝2.
经检验知，a＝2，b＝1为所求．
(2)(方法1)由(1)得f(x)＝＝－＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)．
∴t2－2t>k－2t2，即对一切t有3t2－2t－k>0.
∴Δ＝4＋12k<0 k<－.
(方法2)由(1)知f(x)＝，
∴＋<0，
即(＋2)(1－)＋(＋2)(1－<0，即1，故3t2－2t－k>0.
上式对一切t∈R均成立，从而Δ＝4＋12k<0 k<－.
变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；
(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．
【证明】　(1)设x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－=＝.
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1∴<，即<0.
又由2x>0，得＋1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∵此结论与a的取值无关，∴对于a取任意实数，
f(x)均为增函数．
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－，
变形得2a＝＋＝＝2，解得a＝1.
方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若01、(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为
【答案】B
【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B．
2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题,因为单调递减,则；
因为单调递减,则；
因为单调递增,则,
所以,
故选：A
3、（2017北京）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，得为奇函数，
，所以在R上是增函数．选A．
4、（2012山东）若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝ ．
【答案】
【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意．若，则，故，检验知符合题意．
5、已知函数f(x)＝3x－．
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．
【解析】：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，不满足f(x)＝2．
当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2．
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±．
∵3x>1，∴3x＝1＋．
∴x＝log3(1＋)．
.
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0．
∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3t＋m≥0，
即3t＋m≥0，即m≥－32t－1．
令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，
∴g(x)max＝－4．
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．考点14 指数函数
【命题解读】
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。重点考查与此有关的性质。
【基础知识回顾】
．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 (5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
1、 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
2、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.03、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. 1B. －C. 1D. 4、已知函数f(x)＝ax－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为 ．
5、函数的值域为（　　）
A． B． C．（0，] D．（0，2]
考向一　指数函数的性质与应用
例1、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c．
（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或．
（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
变式1、（1）函数f(x)＝的单调减区间为 ．
（2）(一题两空)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．
变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式的解集为_______.
变式4、(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.
方法总结：　指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．
(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解
考向二 指数函数的图像与性质
例2、如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．
变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是
变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
变式4、　已知f(x)＝|2x－1|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；
(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数．
方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．
考向三 指数函数的综合运用
例3、关于函数f (x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　 )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数，若，则实数 _____．
变式2、已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
变式3、设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1) 试证明对于任意a，f(x)都为增函数；
(2) 试确定a的值，使f(x)为奇函数．
方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若01、(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为
2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3、（2017北京）已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
4、（2012山东）若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝ ．
5、已知函数f(x)＝3x－．
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．

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