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考点11 函数的奇偶性与周期性
【命题解读】
关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．
2、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
3、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
5、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1、下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
2、若函数为奇函数，则=
(A) (B) (C) (D)1
3、设是定义在上的奇函数，当时，，
则=
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)
A．fB．fC．fD．f6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－3)为偶函数
7、(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
考向一　奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
　变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
（4）f(x)＝
变式2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝.
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（　　）
A．2019 B．2 C．0 D．﹣2
变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝___．
变式3、设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ．
变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等．
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
变式1、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式2、（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 ．
变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为的函数
C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为
变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数
方法总结：　1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2020全国Ⅱ文10）设函数，则 （ ）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
2、（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3、(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．
若，则
A． B．0 C．2 D．50
3、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=
A． 2 B． 1 C．0 D．2
4、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
6、（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则= ．
7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．考点11 函数的奇偶性与周期性
【命题解读】
关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；
【基础知识回顾】
1、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．
2、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
3、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
5、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
6、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1、下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除A；因为为偶函数，所以排除B；因为为偶函数，所以排除C；因为，，所以为奇函数．
2、若函数为奇函数，则=
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】∵为奇函数，∴，得．
3、设是定义在上的奇函数，当时，，
则=
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】因为是定义在R上的奇函数，且当时，，∴，选A．
4、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
【答案】B
【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B．
5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有(　　)
A．fB．fC．fD．f【答案】C
【解析】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图(如图)，由图可知f6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－3)为偶函数
【答案】BC　
【解析】偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，即为f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(x＋2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(－x－3)＝f(x＋3)，若f(x－3)为偶函数，则有f(－x－3)＝f(x－3)，可得f(x＋3)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误．故选B、C.
7、(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以
考向一　奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝
【解析】：(1)∵由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
　变式1、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
（4）f(x)＝
【解析】(1)由得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)由得－1∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
变式2、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝.
【解析】：(1)由 x2＝1 x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)因为f(x)有意义，则满足≥0，
所以－1所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．
(3)因为所以－2≤x≤2且x≠0，
所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝，
所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.
【答案】-2
【解析】
因为图像关于对称，则，
，
故是以8为周期的周期函数，
故答案为：.
变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（　　）
A．2019 B．2 C．0 D．﹣2
【答案】D
【解析】∵f（x+3）＝﹣f（x），
∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
∴f（2019）＝f（3），
又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，
∴f（2019）＝﹣2．
故选：D．
变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝___．
【答案】338
【解析】　由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，∴在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋336×1＝1＋2＋(－1)＋336＝338.
变式3、设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ．
【答案】
【解析】．
变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
【解析】(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2，4]，
∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 015)＝0．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝f(0)＝0．
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等．
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，
所以，即.
故答案为：.
变式1、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
变式2、（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．
变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为的函数
C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为
【答案】A
【解析】
函数是上的奇函数，，由题意可得，
当时，，，A选项正确；
当时，，则，，，
则函数不是上周期为的函数，B选项错误；
若为奇数时，，
若为偶数，则，即当时，，
当时，，若，且当时，，
，
当时，则，，
当时，，则，
所以，函数在上的值域为，
由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，
由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，
当或时，，此时，函数与函数没有交点，
则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数
【答案】ABC
【解析】
因为，所以，即，故A正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；
又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.
故选：ABC.
方法总结：　1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．
2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．
1、（2020全国Ⅱ文10）设函数，则 （ ）
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
【答案】A
【解析】∵函数定义域为，其关于原点对称，而，
∴函数为奇函数．
又∵函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递增．故选A．
2、（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．
3、(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．
若，则
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
【解析】∵是定义域为的奇函数，．且．∵，∴，，∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，， =，∴，故选C．
3、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=
A． 2 B． 1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．
4、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.
对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.
对于C选项，为奇函数，不符合题意.
对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.
故选：AD.
5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
6、（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则= ．
【答案】12
【解析】∵是奇函数，所以．
7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，
则不等式等价为不等式，
即，
即不等式的解集为，
故答案为：.

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