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第十章 统计与成对数据的统计分析
专题1：随机抽样、统计图表
1.理解随机抽样的必要性和重要性.
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法.
3.理解统计图表的含义．
1．简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，除非特殊说明，所学的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(1)抽取方式：逐个不放回抽取；
(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；
(3)常用方法：抽签法和随机数法．
2．总体平均数与样本平均数
名称 定义
总体均 值(总体 平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi
样本均 值(样本 平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋.
我们可以用样本平均数估计总体平均数.
4．统计图表
(1)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
(2)频率分布折线图
频率分布折线图：用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的中点，就得到频率分布折线图．
(3)其他常见统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图 和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
考点一 简单随机抽样
1．（2023·全国·高三专题练习）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623 B．328 C．253 D．007
【答案】A
【分析】根据随机数表法依次读数即可.
【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
2．（2022·全国·高一课时练习）下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【分析】由抽签法适用于总体和样本容量少即可判断.
【详解】解：对于选项A、D：由于总体的个体数较多，不适合抽签法，故选项A、D错误；
对于选项C：由于甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，也不适合抽签法，故选项C错误；
对于选项B：总体容量和样本容量都较小，适合抽签法，故选项B正确．
故选：B．
3．（2022·全国·高一单元测试）已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是（ ）
A．1，2，…，106 B．0，1，2，…，105
C．00，01，…，105 D．000，001，…，105
【答案】D
【分析】根据随机数表法的抽取原则判断即可.
【详解】由随机数表法抽取原则可知对总体的编号为000，001，…，105.
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列抽样方法不是简单随机抽样的是（ ）
A．在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
C．箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止
D．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
【答案】ABD
【分析】根据简单随机抽样的概念即得.
【详解】A不是，因为传送带上的产品数量不确定；
B不是，因为个体的数量无限；
C是，因为满足简单随机抽样的定义；
D不是，因为它不是逐个抽取的．
故选：ABD.
5．（2022·全国·高一课时练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．要求被抽取样本的总体的个体数有限 B．从总体中逐个进行抽取
C．一种有放回抽样 D．一种等可能抽样
【答案】ABD
【分析】由简单随机抽样的概念及特征判断.
【详解】解：由简单随机抽样的概念及特征可知ABD正确．
故选：ABD
简单随机抽样的适用范围
简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
考点二　分层随机抽样
求总体或样本容量
1．（2022·全国·高一单元测试）某学校高一年级有1802人，高二年级有1600人，高三年级有1499人，现采用分层抽样从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ）
A．33，33，30 B．36，32，30 C．36，33，29 D．35，32，31
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义结合题意计算即可.
【详解】先将每个年级的人数凑整，得高一年级有1800人，高二年级有1600人，高三年级有1500人，三个年级的总人数为.
则每个年级人数占总人数的比例分别为，，，
因此，各年级抽取的人数分别为，，，
故选：B.
2．（2022·江苏·金沙中学高一期末）某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成，现要抽取一个容量为45的样本进行调查．已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员与后勤职工人数之比为，则该科研机构后勤职工人数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．135
【答案】C
【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易求得.
【详解】不妨设行政人员有人；后勤职工有人，
根据分层抽样等比例抽取的性质，，解得.
故后勤人员有人.
故选：
3．（2021·吉林·长春市实验中学高二开学考试）从红岭中学高一年级的理科素质考试中，随机抽取70名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请补全频率分布直方图并估计该校高一学生本次考试的平均分；
(2)若用分层抽样的方法从分数在，，中共抽取26人，则，，各抽取多少人？
【答案】(1)频率分布直方图见解析，平均约为67；
(2)，，分别抽取人数为16，6，4．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求出分数在上的频率，然后可补全频率分布直方图，由每组数据中点值乘以相应频率再求和得平均分；
（2）由三个区间上的频率按比例计算可得．
（1）由已知分数在的频率为，，
频率分布直方图如下：
平均分约为．
（2）由频率分布直方图知分数在，，的频率分别是，，，
所以分数在上的人数为，
分数在上的人数为
分数在上的人数为．
分层随机抽样及均值
（2023.全国练习题）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
【答案】50　1 015　
【解析】由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
（2022·全国·专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为________cm.(结果保留一位有效数字)
【答案】166.4
【解析】由题意可知，＝170.2，＝162.0，且M＝320，N＝280，
所以样本平均数＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)
分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比=＝.
(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为.　
考点三 统计图表
扇形图、条形图
1．（2022·全国·高一专题练习）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙遥三十八运载火箭，成功发射高分三号星．某高中三个年级学生人数的比例如图所示，现采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取人参加“高分三号星”知识竞赛，则应从高二年级抽取高二学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将高二学生所占的比例乘以三个年级抽取的总人数，可得结果.
【详解】由题图可知，高二学生所占的比例为，所以应从高二年级抽取的人数为．
故选：B．
2．（2022·河南安阳·高一期末）郑州市某家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多
B．不低于54周岁客户参保总费用最多
C．丁险种人均参保费用最低
D．戊险种参保人都是42-53周岁的客户
【答案】A
【分析】根据条形统计图、扇形统计图和拆线统计图中所反应的数据逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A，观察参保人年龄分布的扇形图，42-53周岁客户人数占比33%，不低于54周岁的客户人数占比8%，42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多，故A正确；
对于B，统计图显示的是人均参保费用，由于人数未知，故不能确定哪个年龄段参保总费用最多，故B错误；
对于C，由参保险种比例，丁险种参保比例最高，但统计图看不出丁险种的人均参保费用，故C错误；
对于D，戊险种的参保人占比33%，42-53周岁客户人数占比33%，但统计图看不出两者相同，故D错误.
故选：A.
3．（2022·全国·高一单元测试）经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”．小明统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（单位：万人次）的变化情况（如图），从一个侧面展示了黔东南州的魅力所在．根据这个统计图，下列给出的黔东南州2010～2017年的旅游总人数的判断中正确的有（ ）
A．旅游总人数逐年增加
B．2017年的旅游总人数超过2015年和2016年的旅游总人数的和
C．从2010年到2013年旅游总人数增长缓慢
D．从2014年起旅游总人数增长加快
【答案】ACD
【分析】根据给定的统计图表，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据统计图表，可得旅游总人数逐年增加，故A符合题意；
对于B中，2017年的旅游总人数没有超过2015年和2016年的旅游总人数的和，故B不符合题意；
对于C中，从2010年至2013年旅游总人数增长缓慢，故C符合题意；
对于D中，从2014年起旅游总人数增长加快，故D符合题意．
故选：ACD
4．（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）某商场为调查商场内某品牌家电的受欢迎程度，对商场内的顾客进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢” “比较喜欢” “感觉一般” “不太喜欢”四个等级，分别记作A B C D.根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整，并标明数据；
(2)若选择“不太喜欢”的人中有一位女士，三位男士，从这四个人中挑选两个人体验使用最新型的家电产品，请用画树状图或列表法，求该女士被选中的概率；
(3)已知选择A B等级的人数需要达到，商场才评定该品牌家电为“优质品牌”.若有四人体验了该品牌在商场展示的最新型的家电产品后，又提交了4份等级为的调查问卷，与之前的调查结果合并在一起，问该品牌家电在此次调查中是否获得商场“优质品牌”评定？
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.
【分析】（1）补全图形即得解；
（2）列表，再利用古典概型的概率计算得解；
（3）计算<80%即得解.
（1）解：补全图形如下所示.
（2）解：列表如下：
女 男1 男2 男3
女 （女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （女，男1） （男1，男2） （男1，男3）
男2 （女，男2） （男1，男2） (男2，男3）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中挑选的人中包含了女士的有6种结果，
∴.
（3）解：由于<80%，
所以该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.
折线图
1．（2021·四川·双流中学高二开学考试（文））我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，给出下列四个结论：
①第3天至第11天复工复产指数均超过80%；
②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；
③第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；
④第1天至第3天复工指数的方差大于第2天至第4天复工指数的方差.
其中所有正确结论的序号是（ ）.
A．①③ B．①②③ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】由折线图结合方差的概念依次判断即可.
【详解】根据折线图知，第3天至11天复工复产指数均超过80%，11天期间，复工指数增量大于复产指数增量，故①正确，②错误；
第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量，故③正确；
对于复工指数来说，第1天至第3天数据波动比第2天至第4天的小，即方差更小，故④错误；
综上所述，①③正确，
故选：A.
2．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期末（理））某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温与最低气温的平均数据，绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．从2020年1月至8月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值一直在上升
C．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个
D．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
【答案】ACD
【分析】观察绘制出的折线图逐项判断即可.
【详解】由绘制出的折线图知，对于A项，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；
对于B项，1月到2月的最低气温平均值下降，故B不正确；
对于C项，全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5月，6月，7月，8月，9月共5个，故C正确；
对于D项，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故D正确．
故答案为:ACD.
3．（2023·全国·高三专题练习）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲 乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲 乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲 乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.
【答案】(1)甲厂平均数195，乙厂平均数194
(2)乙厂的轮胎会被选择
【分析】(1)根据提供的数据甲 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数即可；
(2)先找出是甲 乙两厂标准轮胎的数据，分别计算出他们的平均数和方差，选择方差较小的厂即可.
（1）甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数.
乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数.
（2）甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为，
方差为
乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为.
方差为
由于甲 乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择.
4．（2023·全国·高三专题练习）某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：
(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在[80,90)的概率.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据折线图可得体育成绩大于或等于70分的学生人数，即得答案；
（2）确定体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生人数，列举出随机抽取2人，所有的基本事件，确定2人体育成绩都在[80,90)的的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
（1）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为，
所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：.
（2）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为,
若随机抽取2人，则所有的基本事件为：，
故基本事件的总数为10,其中2人体育成绩都在[80,90)的基本事件的个数有共3个，
设A为：“2人体育成绩都在[80,90)”，则.
频率分布直方图
1．（2022·全国·高一课时练习）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩不小于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在分内，其频率直方图如图所示，则下列结果中正确的有（ ）
A．初赛成绩在分内的频率为0.015 B．初赛成绩在110分以下的频率为0.65
C．初赛成绩在130分以下的频率为0.9 D．初赛成绩的80百分位数的估计值是122
【答案】BCD
【分析】根据频率和为1可判断A，B，C选项，根据百分位数的定义，可判断D选项
【详解】解：对于A，初赛成绩在分内的频率为，故不正确；
对于B，初赛成绩在110分以下的频率为，故正确；
对于C，初赛成绩在130分以下的频率为，故正确；
对于D，假设初赛成绩的80百分位数为，所以，解得，故正确，
故选：BCD
2．（2022·云南昆明·高三开学考试）为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为______cm.
【答案】78
【分析】根据频率分布直方图，利用分位数的概念求解.
【详解】由图可知，从左到右矩形的面积为：0.2，0.4，0.25，
因为0.2+0.4+0.25=0.85>0.8，所以80%分位数位于第3个矩形，
设80%分位数为x，所以.
故答案为：78.
3．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组:[20，30），[30，40）…，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图中a的值；
(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为4：3，求总体中男生人数和女生人数.
【答案】(1)
(2)总体中男生人，女生人
【分析】（1）利用频率之和为求得.
（2）结合分层抽样的知识求得正确答案.
（1）依题意，，
解得.
（2）样本中，分数不低于的人数为人，
其中男生人，女生人.
所以，样本中男生人数为人，女生为人.
所以总体中，男生人数为人，女生人数为人.
4．（2022·全国·高一单元测试）为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图（如图），则_____________；估计被抽取的学生跳绳次数的中位数是_____________．
【答案】 0.015 122
【分析】根据频率之和等于1即可求出，根据在频率分布直方图中中位数得计算方法计算即可求出中位数.
【详解】解：，解得，
因为，，
所以中位数在区间中，
设中位数为y，
则，解得，
即中位数为122.
故答案为：0.015；122
几种统计图表的特点及使用方法
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
1．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.
【详解】志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12．
故选：B.
3．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.
【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
5．（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.
一、单选题
1．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．较为合理的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样　
B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样　
D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
【答案】D　
【解析】①中个体数量较少，且个体间无明显差异，故采用简单随机抽样；
②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层随机抽样．故选D．
2．目前正开展新冠疫苗接种，接种重点人群是年龄在18－59岁的健康人员．某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取(　　)
A．6人 B．9人
C．15人 D．20人
【答案】C　
【解析】根据题意可知，40岁以下年龄段应抽取30×50%＝15人．故选C．
3．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8,16,24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B　
【解析】根据分层随机抽样特点可知，抽样比为＝，则应抽取的中型城市数为16×＝4.
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，…，[94,98)，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是(　　)
A．20 B．40
C．64 D．80
【答案】D　
【解析】由频率分布直方图知，评分在区间[82,86)内的影视作品的频率为(86－82)×0.05＝0.2，故评分在区间[82,86)内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选D．
5. 某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中不正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
【答案】C　
【解析】由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．由于比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确，故应选C．
6．据2020年8月12日国家邮政局网站消息，1～7月份邮政行业业务总量完成10 497.9亿元，同比增长23.79%；业务收入完成5 909.5亿元，增长11.77%.其中，快递业务量完成408.2亿件，同比增长23.66%，超过2017年全年业务量400.6亿件；快递业务收入完成4 547.1亿元，增长13.53%.某省邮政局统计了该省1～7月份快递业务量，并绘制了如图所示的统计图，根据此图，下列结论不正确的是(　　)
A．2月份城市地区和农村地区快递业务总量比1月份有明显下降
B．从2月份起，农村地区快递业务量逐月增长
C．3～7月份，城市地区快递业务量平均增长量高于农村地区
D．从2月份起，农村地区快递业务量增长幅度最大的是3月份
【答案】C　
【解析】对于A,2月份快递业务总量显然低于1月份的，所以A正确；
对于B，从2月份起，农村地区快递业务量逐月增长，所以B正确；
对于C,3～7月份，农村地区快递业务量平均增长量要高于城市地区，所以C错误；
对于D，从2月份起，3月份农村地区快递业务量增长幅度几乎为100%，而其他月份的增长幅度均比3月份的增长幅度要小很多，所以D正确．故选C．
二、多选题
7．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨)．根据统计图分析，下列结论正确的是(　　)
A．当x∈[0,2)时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当x∈[2,4)时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当x∈[4,6)时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2,4)时增长了30%
D．当x∈[6,8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0,2)时减少了0.6吨
【答案】AB　
【解析】由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项A正确；
当x∈[2,4)时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；
当x∈[4,6)时增长数量比当x∈[2,4)时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；
当x∈[0,2)时共增长2.4吨，当x∈[6,8]时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D错误．故选AB．
8．下表是某电器销售公司2021年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类 冰箱类 小家电类 其他类
营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%
净利润占比 95.80% －0.48% 3.82% 0.86%
则下列判断中正确的是(　　)
A．该公司2021年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2021年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2021年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2021年度空调类电器销售净利润占比将会降低
【答案】ACD　
【解析】根据表中数据知，该公司2021年度冰箱类电器销售净利润占比为－0.48%，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入占比和净利润占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2021年度空调类电器净利润占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2021年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选ACD．
9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
分组(单 位：毫米) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]
频数 100 100 m 350 150 n
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90，100]上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为30
【答案】ACD　
【解析】因为[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95，100]分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，则m＝1 000－100－100－350－150－50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90，100]上的频率为＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内，C正确；由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80，90)上的概率P＝＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数为X，
则X服从二项分布，即X～B，
则E＝50×0.6＝30，D正确，故选ACD．
10．校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．下列说法正确的有(　　)
A．抽取的100名学生中获奖的人数为30人
B．用样本估计总体，若所有参赛学生中获得一等奖的同学有720人，则参赛学生总数约为16 000人
C．从样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
D．用频率代替概率，若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行座读，设其中竞赛成绩在70分以上的学生数为ξ，则随机变量ξ的方差为
【答案】ACD　
【解析】由频率分布直方图可知，得分在[70,80)的频率为0.016×10＝0.16，得分在[80,90)的频率为0.008×10＝0.08，得分在[90,100]的频率为0.006×10＝0.06，故获奖的频率为0.16＋0.08＋0.06＝0.3，所以抽取的100名学生中获奖的人数为100×0.3＝30人，故A正确；
对于B：样本中获得一等奖的频率为0.06，所以参赛学生总数720÷0.06＝12 000(人)，故B错误；
对于C：从样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，这两名学生中恰有一名学生获奖的概率P＝＝，故C正确；对于D：依题意ξ～B，所以D＝3×0.3×＝，故D正确．故选ACD．
三、填空题
11．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1.现在按照分层随机抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车有________辆．
【答案】24　
【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则＝，解得x＝24.
12．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________．
【答案】6　
【解析】＝×3＋×8＝6.
13．某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将该班70名同学按00,01,02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的10个样本中第8个样本的编号是________．
(注：以下是随机数表的第8行和第9行)
第8行：63　01　63　78　59　16　95　55　67　19　98　10　50　71　75　12　86　73　58　07　44　39　52　38　79
第9行：33　21　12　34　29　78　64　56　07　82　52　 42　07　44　38　15　51　00　13　42　99　66　02　79　54
【答案】38　
【解析】由随机数表知选出的10个样本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51，第8个样本编号是38.
14．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．
【答案】(1)0.04　(2)440　
【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数为0.55×800＝440.
15．垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30,15,15.现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．
(1)应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．
(i)写出这个试验的样本空间；
(ii)设事件M＝“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)设抽取高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为x，y，z，
由分层随机抽样，得＝＝＝＝，
解得x＝2，y＝1，z＝1，
∴应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人．
(2)(i)样本空间为：
Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}，
共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；
(ii)由(1)，不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是A，B，来自高二年级的是C，来自高三年级的是D，
∵M＝{(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}，
∴n(M)＝10，
∴事件M发生的概率P＝＝＝.中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 统计与成对数据的统计分析
专题1：随机抽样、统计图表
1.理解随机抽样的必要性和重要性.
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法.
3.理解统计图表的含义．
1．简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，除非特殊说明，所学的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(1)抽取方式：逐个不放回抽取；
(2)特点：每个个体被抽到的概率 ；
(3)常用方法：抽签法和 ．
2．总体平均数与样本平均数
名称 定义
总体均 值(总体 平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为 ，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi
样本均 值(样本 平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为 ，又称样本平均数
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为 ．
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝ .
我们可以用样本平均数估计总体平均数.
4．统计图表
(1)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
(2)频率分布折线图
频率分布折线图：用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的 ，就得到频率分布折线图．
(3)其他常见统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的
条形图 和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随 的变化趋势
考点一 简单随机抽样
1．（2023·全国·高三专题练习）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623 B．328 C．253 D．007
【答案】A
【分析】根据随机数表法依次读数即可.
【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
2．（2022·全国·高一课时练习）下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】B
【分析】由抽签法适用于总体和样本容量少即可判断.
【详解】解：对于选项A、D：由于总体的个体数较多，不适合抽签法，故选项A、D错误；
对于选项C：由于甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，也不适合抽签法，故选项C错误；
对于选项B：总体容量和样本容量都较小，适合抽签法，故选项B正确．
故选：B．
3．（2022·全国·高一单元测试）已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号正确的是（ ）
A．1，2，…，106 B．0，1，2，…，105
C．00，01，…，105 D．000，001，…，105
【答案】D
【分析】根据随机数表法的抽取原则判断即可.
【详解】由随机数表法抽取原则可知对总体的编号为000，001，…，105.
故选：D.
4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列抽样方法不是简单随机抽样的是（ ）
A．在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
C．箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止
D．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
【答案】ABD
【分析】根据简单随机抽样的概念即得.
【详解】A不是，因为传送带上的产品数量不确定；
B不是，因为个体的数量无限；
C是，因为满足简单随机抽样的定义；
D不是，因为它不是逐个抽取的．
故选：ABD.
5．（2022·全国·高一课时练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．要求被抽取样本的总体的个体数有限 B．从总体中逐个进行抽取
C．一种有放回抽样 D．一种等可能抽样
【答案】ABD
【分析】由简单随机抽样的概念及特征判断.
【详解】解：由简单随机抽样的概念及特征可知ABD正确．
故选：ABD
简单随机抽样的适用范围
简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
考点二　分层随机抽样
求总体或样本容量
1．（2022·全国·高一单元测试）某学校高一年级有1802人，高二年级有1600人，高三年级有1499人，现采用分层抽样从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ）
A．33，33，30 B．36，32，30 C．36，33，29 D．35，32，31
【答案】B
【分析】根据分层抽样的定义结合题意计算即可.
【详解】先将每个年级的人数凑整，得高一年级有1800人，高二年级有1600人，高三年级有1500人，三个年级的总人数为.
则每个年级人数占总人数的比例分别为，，，
因此，各年级抽取的人数分别为，，，
故选：B.
2．（2022·江苏·金沙中学高一期末）某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成，现要抽取一个容量为45的样本进行调查．已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员与后勤职工人数之比为，则该科研机构后勤职工人数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．135
【答案】C
【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易求得.
【详解】不妨设行政人员有人；后勤职工有人，
根据分层抽样等比例抽取的性质，，解得.
故后勤人员有人.
故选：
3．（2021·吉林·长春市实验中学高二开学考试）从红岭中学高一年级的理科素质考试中，随机抽取70名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请补全频率分布直方图并估计该校高一学生本次考试的平均分；
(2)若用分层抽样的方法从分数在，，中共抽取26人，则，，各抽取多少人？
【答案】(1)频率分布直方图见解析，平均约为67；
(2)，，分别抽取人数为16，6，4．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求出分数在上的频率，然后可补全频率分布直方图，由每组数据中点值乘以相应频率再求和得平均分；
（2）由三个区间上的频率按比例计算可得．
（1）由已知分数在的频率为，，
频率分布直方图如下：
平均分约为．
（2）由频率分布直方图知分数在，，的频率分别是，，，
所以分数在上的人数为，
分数在上的人数为
分数在上的人数为．
分层随机抽样及均值
（2023.全国练习题）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
【答案】50　1 015　
【解析】由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
（2022·全国·专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为________cm.(结果保留一位有效数字)
【答案】166.4
【解析】由题意可知，＝170.2，＝162.0，且M＝320，N＝280，
所以样本平均数＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)
分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比=＝.
(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为.　
考点三 统计图表
扇形图、条形图
1．（2022·全国·高一专题练习）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号丙遥三十八运载火箭，成功发射高分三号星．某高中三个年级学生人数的比例如图所示，现采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取人参加“高分三号星”知识竞赛，则应从高二年级抽取高二学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将高二学生所占的比例乘以三个年级抽取的总人数，可得结果.
【详解】由题图可知，高二学生所占的比例为，所以应从高二年级抽取的人数为．
故选：B．
2．（2022·河南安阳·高一期末）郑州市某家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下四个说法中正确的是（ ）
A．42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多
B．不低于54周岁客户参保总费用最多
C．丁险种人均参保费用最低
D．戊险种参保人都是42-53周岁的客户
【答案】A
【分析】根据条形统计图、扇形统计图和拆线统计图中所反应的数据逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A，观察参保人年龄分布的扇形图，42-53周岁客户人数占比33%，不低于54周岁的客户人数占比8%，42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多，故A正确；
对于B，统计图显示的是人均参保费用，由于人数未知，故不能确定哪个年龄段参保总费用最多，故B错误；
对于C，由参保险种比例，丁险种参保比例最高，但统计图看不出丁险种的人均参保费用，故C错误；
对于D，戊险种的参保人占比33%，42-53周岁客户人数占比33%，但统计图看不出两者相同，故D错误.
故选：A.
3．（2022·全国·高一单元测试）经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”．小明统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（单位：万人次）的变化情况（如图），从一个侧面展示了黔东南州的魅力所在．根据这个统计图，下列给出的黔东南州2010～2017年的旅游总人数的判断中正确的有（ ）
A．旅游总人数逐年增加
B．2017年的旅游总人数超过2015年和2016年的旅游总人数的和
C．从2010年到2013年旅游总人数增长缓慢
D．从2014年起旅游总人数增长加快
【答案】ACD
【分析】根据给定的统计图表，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据统计图表，可得旅游总人数逐年增加，故A符合题意；
对于B中，2017年的旅游总人数没有超过2015年和2016年的旅游总人数的和，故B不符合题意；
对于C中，从2010年至2013年旅游总人数增长缓慢，故C符合题意；
对于D中，从2014年起旅游总人数增长加快，故D符合题意．
故选：ACD
4．（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）某商场为调查商场内某品牌家电的受欢迎程度，对商场内的顾客进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢” “比较喜欢” “感觉一般” “不太喜欢”四个等级，分别记作A B C D.根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整，并标明数据；
(2)若选择“不太喜欢”的人中有一位女士，三位男士，从这四个人中挑选两个人体验使用最新型的家电产品，请用画树状图或列表法，求该女士被选中的概率；
(3)已知选择A B等级的人数需要达到，商场才评定该品牌家电为“优质品牌”.若有四人体验了该品牌在商场展示的最新型的家电产品后，又提交了4份等级为的调查问卷，与之前的调查结果合并在一起，问该品牌家电在此次调查中是否获得商场“优质品牌”评定？
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.
【分析】（1）补全图形即得解；
（2）列表，再利用古典概型的概率计算得解；
（3）计算<80%即得解.
（1）解：补全图形如下所示.
（2）解：列表如下：
女 男1 男2 男3
女 （女，男1） （女，男2） （女，男3）
男1 （女，男1） （男1，男2） （男1，男3）
男2 （女，男2） （男1，男2） (男2，男3）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中挑选的人中包含了女士的有6种结果，
∴.
（3）解：由于<80%，
所以该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.
折线图
1．（2021·四川·双流中学高二开学考试（文））我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，给出下列四个结论：
①第3天至第11天复工复产指数均超过80%；
②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；
③第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；
④第1天至第3天复工指数的方差大于第2天至第4天复工指数的方差.
其中所有正确结论的序号是（ ）.
A．①③ B．①②③ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】由折线图结合方差的概念依次判断即可.
【详解】根据折线图知，第3天至11天复工复产指数均超过80%，11天期间，复工指数增量大于复产指数增量，故①正确，②错误；
第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量，故③正确；
对于复工指数来说，第1天至第3天数据波动比第2天至第4天的小，即方差更小，故④错误；
综上所述，①③正确，
故选：A.
2．（2022·新疆·沙湾县第一中学高一期末（理））某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温与最低气温的平均数据，绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．从2020年1月至8月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值一直在上升
C．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个
D．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
【答案】ACD
【分析】观察绘制出的折线图逐项判断即可.
【详解】由绘制出的折线图知，对于A项，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；
对于B项，1月到2月的最低气温平均值下降，故B不正确；
对于C项，全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5月，6月，7月，8月，9月共5个，故C正确；
对于D项，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故D正确．
故答案为:ACD.
3．（2023·全国·高三专题练习）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲 乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲 乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲 乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.
【答案】(1)甲厂平均数195，乙厂平均数194
(2)乙厂的轮胎会被选择
【分析】(1)根据提供的数据甲 乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数即可；
(2)先找出是甲 乙两厂标准轮胎的数据，分别计算出他们的平均数和方差，选择方差较小的厂即可.
（1）甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数.
乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数.
（2）甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为，
方差为
乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为.
方差为
由于甲 乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择.
4．（2023·全国·高三专题练习）某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：
(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在[80,90)的概率.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据折线图可得体育成绩大于或等于70分的学生人数，即得答案；
（2）确定体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生人数，列举出随机抽取2人，所有的基本事件，确定2人体育成绩都在[80,90)的的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
（1）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为，
所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：.
（2）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为,
若随机抽取2人，则所有的基本事件为：，
故基本事件的总数为10,其中2人体育成绩都在[80,90)的基本事件的个数有共3个，
设A为：“2人体育成绩都在[80,90)”，则.
频率分布直方图
1．（2022·全国·高一课时练习）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩不小于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在分内，其频率直方图如图所示，则下列结果中正确的有（ ）
A．初赛成绩在分内的频率为0.015 B．初赛成绩在110分以下的频率为0.65
C．初赛成绩在130分以下的频率为0.9 D．初赛成绩的80百分位数的估计值是122
【答案】BCD
【分析】根据频率和为1可判断A，B，C选项，根据百分位数的定义，可判断D选项
【详解】解：对于A，初赛成绩在分内的频率为，故不正确；
对于B，初赛成绩在110分以下的频率为，故正确；
对于C，初赛成绩在130分以下的频率为，故正确；
对于D，假设初赛成绩的80百分位数为，所以，解得，故正确，
故选：BCD
2．（2022·云南昆明·高三开学考试）为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为______cm.
【答案】78
【分析】根据频率分布直方图，利用分位数的概念求解.
【详解】由图可知，从左到右矩形的面积为：0.2，0.4，0.25，
因为0.2+0.4+0.25=0.85>0.8，所以80%分位数位于第3个矩形，
设80%分位数为x，所以.
故答案为：78.
3．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组:[20，30），[30，40）…，[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图中a的值；
(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为4：3，求总体中男生人数和女生人数.
【答案】(1)
(2)总体中男生人，女生人
【分析】（1）利用频率之和为求得.
（2）结合分层抽样的知识求得正确答案.
（1）依题意，，
解得.
（2）样本中，分数不低于的人数为人，
其中男生人，女生人.
所以，样本中男生人数为人，女生为人.
所以总体中，男生人数为人，女生人数为人.
4．（2022·全国·高一单元测试）为了了解某地高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率直方图（如图），则_____________；估计被抽取的学生跳绳次数的中位数是_____________．
【答案】 0.015 122
【分析】根据频率之和等于1即可求出，根据在频率分布直方图中中位数得计算方法计算即可求出中位数.
【详解】解：，解得，
因为，，
所以中位数在区间中，
设中位数为y，
则，解得，
即中位数为122.
故答案为：0.015；122
几种统计图表的特点及使用方法
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)频率分布直方图的数据特点：
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
1．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
2．（2022·天津·高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
3．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
5．（2020·海南·高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
一、单选题
1．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．较为合理的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样　
B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样　
D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
　
2．目前正开展新冠疫苗接种，接种重点人群是年龄在18－59岁的健康人员．某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取(　　)
A．6人 B．9人
C．15人 D．20人
　
3．为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8,16,24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
　
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，…，[94,98)，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是(　　)
A．20 B．40
C．64 D．80
5. 某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中不正确的有(　　)
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
　
6．据2020年8月12日国家邮政局网站消息，1～7月份邮政行业业务总量完成10 497.9亿元，同比增长23.79%；业务收入完成5 909.5亿元，增长11.77%.其中，快递业务量完成408.2亿件，同比增长23.66%，超过2017年全年业务量400.6亿件；快递业务收入完成4 547.1亿元，增长13.53%.某省邮政局统计了该省1～7月份快递业务量，并绘制了如图所示的统计图，根据此图，下列结论不正确的是(　　)
A．2月份城市地区和农村地区快递业务总量比1月份有明显下降
B．从2月份起，农村地区快递业务量逐月增长
C．3～7月份，城市地区快递业务量平均增长量高于农村地区
D．从2月份起，农村地区快递业务量增长幅度最大的是3月份
二、多选题
7．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨)．根据统计图分析，下列结论正确的是(　　)
A．当x∈[0,2)时有害垃圾错误分类的重量加速增长
B．当x∈[2,4)时有害垃圾错误分类的重量匀速增长
C．当x∈[4,6)时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2,4)时增长了30%
D．当x∈[6,8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0,2)时减少了0.6吨
　
8．下表是某电器销售公司2021年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
空调类 冰箱类 小家电类 其他类
营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%
净利润占比 95.80% －0.48% 3.82% 0.86%
则下列判断中正确的是(　　)
A．该公司2021年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2021年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2021年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2021年度空调类电器销售净利润占比将会降低
　
9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
分组(单 位：毫米) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]
频数 100 100 m 350 150 n
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是(　　)
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90，100]上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为30
　
10．校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．下列说法正确的有(　　)
A．抽取的100名学生中获奖的人数为30人
B．用样本估计总体，若所有参赛学生中获得一等奖的同学有720人，则参赛学生总数约为16 000人
C．从样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
D．用频率代替概率，若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行座读，设其中竞赛成绩在70分以上的学生数为ξ，则随机变量ξ的方差为
三、填空题
11．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1.现在按照分层随机抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车有________辆．
12．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________．
13．某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将该班70名同学按00,01,02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的10个样本中第8个样本的编号是________．
(注：以下是随机数表的第8行和第9行)
第8行：63　01　63　78　59　16　95　55　67　19　98　10　50　71　75　12　86　73　58　07　44　39　52　38　79
第9行：33　21　12　34　29　78　64　56　07　82　52　 42　07　44　38　15　51　00　13　42　99　66　02　79　54
　
14．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．
15．垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30,15,15.现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．
(1)应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的4名同学分别用A，B，C，D表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．
(i)写出这个试验的样本空间；
(ii)设事件M＝“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件M发生的概率．

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