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2022-2023学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之一元二次方程的应用
一．选择题（共13小题）
1．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
3．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
4．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A． B． C． D．
5．要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（分主客场），计划安排90场比赛，应请（　　）个球队参加比赛．
A．7 B．8 C．9 D．10
6．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
7．受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（　　）
A．0.2% B．﹣2.2% C．20% D．220%
8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2+ax＝b2的方程的图解法：画 Rt△ABC．使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（　　）
A．公理化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．函数思想
9．某制药厂生产的某种针剂，每支成本3元，由于连续两次降低成本，现在的成本是2.43元，则平均每次降低成本的百分率是（　　）
A．10% B．20% C．7% D．8%
10．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（　　）米．
A．3 B．30 C．4 D．5
11．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（　　）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
12．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（　　）
A．12% B．2% C．1.2% D．20%
二．填空题（共19小题）
14．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　 　cm．
15．某工厂计划从2012年到2014年，把某种产品的成本周期下降19%，则平均每年下降的百分数为 　 　．
16．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s＝+2，如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是 　 　m/s（精确到0.1）
17．某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是 　 　．
18．某汽车配件公司4月份产值1000万元，到6月份总产值到达了3640万元，则平均每月产值的增长率是　 　．
19．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　 　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）
20．近年来某市政府不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加，从2016年底到2018年底城市绿地的面积变化如图所示，那么该市绿地的面积年平均增长率是 　 　．
21．为了宣传环保，刘红同学写了一篇倡议书，决定用微信的方式传播，她设计了如下的传播规则：将倡议书点对点的发给自己n个微信好友，每位好友收到后，又转发给自己n个与前面n个人互不相同的好友，依此类推，已知经过两轮传播后，共有133人参与了活动，则n＝　 　．
22．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．则平均每年屋顶绿化面积的增长率是　 　．
23．为落实“两免一补”政策，某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元．已知，2013至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则这个增长的百分率为　 　．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利30元，为了促销，商场决定降价销售，经调查发现若每件降价5元，那么商场平均每天可多销10件．若设每件降价x元，则每件利润为　 　元，平均每天能销售衬衫　 　件；每天的利润为　 　元．
25．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 　 　．
26．学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，则有 　 　个队参加了报名．
27．美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 　 　．
28．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，则道路的宽为 　 　m．
29．某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 　 　．
30．某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为　 　．
31．某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有　 　个班级．
32．某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　 　．
三．解答题（共9小题）
33．某商场销售一批名牌服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．如果每件服装每降低1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，问每件服装应降价多少元？
34．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
35．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．
36．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，问它降价多少元时，可获得利润1250元？
37．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为9000平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少米？
38．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 　 　 40
销售量（件） 200 　 　 　 　
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
39．某超市以每件20元的价格新进一批商品，经市场调研发现：该超市每天销售这种商品的数量y（件）与销售价格x（元/件）（40≤x≤55）之间的函数关系的图象如图．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）用含x的代数式表示该超市每天销售该商品获得的利润；（利润＝收入一成本）
（3）该超市销售该商品的一天的利润能否正好是3000元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
40．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
41．开学初，晨光文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低一元，每天就可多售出5个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客．
2022-2023学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之一元二次方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
2．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（　　）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
【解答】解：∵AD＝AC＝，
∴AB＝AD+BD＝+BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（）2+b2＝（+BD）2，
∴+b2＝+aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
3．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′＝xcm，则阴影部分的底长为xcm，高A′D＝（2﹣x）cm
∴x （2﹣x）＝1
∴x＝1
即AA′＝1cm．
故选：B．
4．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），
而a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
∴b＝，而b不能为负，
∴b＝．
故选：B．
5．要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（分主客场），计划安排90场比赛，应请（　　）个球队参加比赛．
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设邀请了x个球队参加比赛，则每个队应参赛（x﹣1）场比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
故选：D．
6．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【解答】解：设这两个月销售额的平均增长率是x，则可以得到方程
16（1+x）2＝25，
解得x1＝0.25；x2＝﹣2.25（不合理舍去）．
即商场这两个月销售额的平均增长率是25%，
故选：C．
7．受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（　　）
A．0.2% B．﹣2.2% C．20% D．220%
【解答】解：设第一季度的销售收入月增长率为x，
由题意得2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（不合实际舍去）．
答：第一季度的销售收入月增长率为20%．
故选：C．
8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2+ax＝b2的方程的图解法：画 Rt△ABC．使∠ACB＝90°，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（　　）
A．公理化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．函数思想
【解答】解：由题意可知：设AD＝x，根据勾股定理得：
＝b2+，
整理得：x2+ax＝b2，
则该方程的一个正跟是AD的长，
通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
9．某制药厂生产的某种针剂，每支成本3元，由于连续两次降低成本，现在的成本是2.43元，则平均每次降低成本的百分率是（　　）
A．10% B．20% C．7% D．8%
【解答】解：第一次降价后的价格为：3×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为3×（1﹣x），
所以根据题意可列方程为：3（1﹣x）2＝2.43，
解得：x＝0.1＝10%或x＝1.9（舍去），
故选：A．
10．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（　　）米．
A．3 B．30 C．4 D．5
【解答】解：设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45﹣3x）米，宽为（36﹣2x）米的矩形，
依题意得：（45﹣3x）（36﹣2x）＝1080，
整理得：x2﹣33x+90＝0，
解得：x1＝3，x2＝30（不合题意，舍去）．
∴人行通道的宽为3米，
故选：A．
11．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（　　）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【解答】解：设售价应该定为x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，每天的销售量为500﹣10（x﹣40）＝（900﹣10x）件，
依题意得：（x﹣30）（900﹣10x）＝8000，
整理得：x1＝50，x2＝70．
又∵要尽快出手这批衬衣，
∴x＝50．
故选：A．
12．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故选：A．
13．某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（　　）
A．12% B．2% C．1.2% D．20%
【解答】解：设两个月平均每月增长的百分率为x，
5000（1+x）2＝7200，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
即两个月平均每月增长的百分率为20%，
故选：D．
二．填空题（共19小题）
14．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　2　cm．
【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
15．某工厂计划从2012年到2014年，把某种产品的成本周期下降19%，则平均每年下降的百分数为 　10%　．
【解答】解：设平均每年下降的百分数是x，成本基数为1，根据题意得
（1﹣x）2＝1﹣19%，
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
所以平均每年下降的百分数是10%．
故答案为：10%．
16．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s＝+2，如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是 　19.3　m/s（精确到0.1）
【解答】解：根据题意得40＝+2，
解得v＝19.3或v＝﹣19.3．（舍去）
所以标枪出手时的速度是19.3m/s．
17．某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是 　10%　．
【解答】解：设降价百分率为x，
列方程：40（1﹣x）2＝32.4．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．
故答案为：10%．
18．某汽车配件公司4月份产值1000万元，到6月份总产值到达了3640万元，则平均每月产值的增长率是　20%　．
【解答】解：设平均每月产值的增长率为x．
1000+1000×（1+x）+1000×（1+x）2＝3640
解得：x1＝0.2，x2＝﹣0.3（不合题意，舍去）
答：平均每月产值的增长率是20%．
故答案为：20%．
19．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）
【解答】解：设甲药品成本的年平均下降率为x，由题意得：
5000（1﹣x）2＝3000
化简得：（1﹣x）2＝①
设乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得：
6000（1﹣y）2＝3600
化简得：（1﹣y）2＝②
比较①②得：（1﹣x）2＝（1﹣y）2
∴1﹣x＝1﹣y或1﹣x＝﹣（1﹣y）
\∴x＝y或x+y＝2（不合题意，舍去）
∴x＝y
故答案为：等于．
20．近年来某市政府不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加，从2016年底到2018年底城市绿地的面积变化如图所示，那么该市绿地的面积年平均增长率是 　10%　．
【解答】解：设该市绿地的面积年平均增长率是x，则可以得到方程：
300×（1+x）2＝363，
解得：x1＝0.1；x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以该市绿地的面积年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
21．为了宣传环保，刘红同学写了一篇倡议书，决定用微信的方式传播，她设计了如下的传播规则：将倡议书点对点的发给自己n个微信好友，每位好友收到后，又转发给自己n个与前面n个人互不相同的好友，依此类推，已知经过两轮传播后，共有133人参与了活动，则n＝　11　．
【解答】解：由题意，得
n+n2+1＝133，
解得：n1＝﹣12（舍去），n2＝11，
故答案为：11．
22．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．则平均每年屋顶绿化面积的增长率是　20%　．
【解答】解：设平均每年屋顶绿化面积的增长率为x，
依题意，得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
故答案为：20%．
23．为落实“两免一补”政策，某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元．已知，2013至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则这个增长的百分率为　20%　．
【解答】解：设这个增长的百分率为x，根据题意得：
则2500（1+x）2＝3600，
解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不合题意舍去）．
故答案为：20%．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利30元，为了促销，商场决定降价销售，经调查发现若每件降价5元，那么商场平均每天可多销10件．若设每件降价x元，则每件利润为　（30﹣x）　元，平均每天能销售衬衫　（20+2x）　件；每天的利润为　（600+40x﹣2x2）　元．
【解答】解：∵原来每件的利润是30元，而每件降价了x元，
∴现在每件的利润就是（30﹣x）元．
∵原来每天销售20件，而每降价5元多销售10间，
∴现在每天销售的件数是：20+×10＝（20+2x）件；
∴每天的利润就为：（30﹣x）（20+2x）＝（600+40x﹣2x2）元．
故答案为：（30﹣x）、（20+2x）、（600+40x﹣2x2）．
25．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 　　．
【解答】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了（7t﹣10）步，
依题意得：102+（3t）2＝（7t﹣10）2，
整理得：40t2﹣140t＝0，
解得：t1＝，t2＝0（不合题意，舍去），
∴7t＝7×＝．
故甲走的步数是．
故答案为：．
26．学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛采取单循环制（每两个队要比赛一场），一共比了66场，则有 　12　个队参加了报名．
【解答】解：设有x个队参加了报名，
依题意得：x（x﹣1）＝66，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故答案为：12．
27．美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 　9人　．
【解答】解：设每轮传染中，平均一个人感染x人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝100，
整理得：（1+x）2＝100，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
∴每轮传染中，平均一个人感染9人．
故答案为：9人．
28．如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，则道路的宽为 　2　m．
【解答】解：设道路的宽为xm，则余下的部分可合成长（20﹣x）m，宽（12﹣x）m的矩形，
依题意得：（20﹣x）（12﹣x）＝×20×12，
整理得：x2﹣32x+60＝0，
解得：x1＝2，x2＝30．
当x＝2时，12﹣x＝12﹣2＝10＞0，符合题意；
当x＝30时，12﹣x＝12﹣30＝﹣18＜0，不合题意，舍去．
故答案为：2．
29．某果园2019年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 　20%　．
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意，得
100（1+x）2＝144，
解方程得x1＝0.2，x2＝﹣2.2．x2＝﹣2.2不符合题意，舍去．
故答案为20%．
30．某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为　20%　．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得：
250（1﹣x）2＝160，
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
31．某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有　4　个班级．
【解答】解：设共有x个班级参加比赛，
根据题意得：＝6，
整理得：x2﹣x﹣12＝0，即（x﹣4）（x+3）＝0，
解得：x＝4或x＝﹣3（舍去）．
则共有4个班级球队参加比赛．
故答案为：4．
32．某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　20%　．
【解答】解：设这个商店营业额的月增长率为x，依题意有
100×（1+x）2＝144，
（1+x）2＝1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x＝1.2，
x＝0.2＝20%．
故答案为：20%．
三．解答题（共9小题）
33．某商场销售一批名牌服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．如果每件服装每降低1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，问每件服装应降价多少元？
【解答】解：设每件服装应降价x元，
根据题意可得：（20+2x）（40﹣x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝20，x2＝10，
答：每件服装应降价10元或20元．
34．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
t1＝0（舍弃），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
△＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
35．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（32﹣2x+1）x＝130，
2x2﹣33x+130＝0，
（x﹣10）（2x﹣13）＝0，
∴x1＝10或x2＝6.5，
当x1＝10时，32﹣2x+1＝13＜16；
当x2＝6.5时，32﹣2x+1＝20＞16，不合题意舍去．
答：仓库的长和宽分别为13m，10m．
36．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，市场每天可多售2件，问它降价多少元时，可获得利润1250元？
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得x1＝x2＝15．
答：当每件衬衫降价15元时，每天可获得利润1250元．
37．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为9000平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少米？
【解答】解：设宽为x米，则长为（x+10）米，
依题意列方程：x（x+10）＝9000，
解方程得：x1＝90，x2＝﹣100（舍去）．
∴x+10＝100
答：绿地的长和宽各是100米，90米．
38．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 　　 40
销售量（件） 200 　　 　　
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【解答】解：（1）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80﹣x 40
销售量（件） 200 200+10x 800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）＝9000
整理得10x2﹣200x+1000＝0，
即x2﹣20x+100＝0，
解得x1＝x2＝10
当x＝10时，80﹣x＝70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
39．某超市以每件20元的价格新进一批商品，经市场调研发现：该超市每天销售这种商品的数量y（件）与销售价格x（元/件）（40≤x≤55）之间的函数关系的图象如图．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）用含x的代数式表示该超市每天销售该商品获得的利润；（利润＝收入一成本）
（3）该超市销售该商品的一天的利润能否正好是3000元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，200），（55，50）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣10x+600．
（2）该超市每天销售该商品获得的利润为xy﹣20y＝x（﹣10x+600）﹣20（﹣10x+600）＝﹣10x2+800x﹣12000．
（3）依题意，得：﹣10x2+800x﹣12000＝3000，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30（不合题意，舍去），x2＝50，
∴当x＝50时，该超市销售该商品的一天的利润正好是3000元．
40．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝1是方程的根，
∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0，
∴a+b﹣2c+a﹣b＝0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，
∴4c2﹣4a2+4b2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，可整理为：
2ax2﹣2ax＝0，
∴x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
41．开学初，晨光文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低一元，每天就可多售出5个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客．
【解答】解：设销售单价为x元时，每天的销售利润达到4000元，由题意得，
（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，
解得x1＝70，x2＝90，
∵晨光文具店销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客，
∴x＝70，
答：销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
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