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2022-2023学年鲁教版八年级数学上册《第1章因式分解》优生辅导训练2（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
2．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣2a+4 B．a2+2a﹣1 C．a2+a﹣1 D．a2﹣4a+4
3．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
4．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，△ABC的周长是（　　）
A．12 B．16 C．8 D．6
5．若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（　　）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
6．已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
8．若a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（　　）
A．125 B．120 C．110 D．100
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．因式分解：﹣4y3+4y＝　 　．
10．若x﹣y＝3，xy＝10，则2x2y﹣2y2x＝　 　．
11．已知x2﹣2x﹣1＝0，则x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022＝　 　．
12．因式分解：＝　 　．
13．计算：40372﹣8072×2019＝　 　．
14．若a﹣b＝1，则a2﹣2b﹣b2＝　 　．
15．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝　 　．
16．若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．分解因式：
（1）（m+n）2﹣6（m+n）+9； （2）x3﹣x；
（3）（a﹣b）（5a+2b）﹣（a+6b）（a﹣b）．
18．因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3； （2）（x2+4）2﹣16x2．
19．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝a，则原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）
＝a2+8a+16（第二步）
＝（a+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　.（填“彻底”或“不彻底”）
若彻底，直接跳到第（3）问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
20．教材中写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如；求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
解决下列问题：
（1）若多项式x2+6x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 　 　；
（2）分解因式：x2+6x﹣16＝　 　；
（3）若x＞﹣1，比较：x2+6x+5 　 　0（填“＞，＜或＝”），并说明理由；
（4）求代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大或最小值．
21．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．
（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）填空：①根据图2，写出一个恒等式：　 　．
②利用①中的结论分解因式：x2+5x+6＝　 　
（2）类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为a的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
2．解：A．根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，那么a2﹣2a+4不能用完全平方公式进行因式分解，故A不符合题意．
B．根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，那么a2+2a﹣1不能用完全平方公式进行因式分解，故B不符合题意．
C．根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，那么a2+a﹣1不能用完全平方公式进行因式分解，故C不符合题意．
D．根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，那么a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，即a2﹣4a+4能用完全平方公式进行因式分解，故D符合题意．
故选：D．
3．解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
4．解：∵a2+2ab+b2＝c2+24，
∴（a+b）2﹣c2＝24．
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝24．
∵a+b﹣c＝4．
∴a+b+c＝24÷4＝6．
故选：D．
5．解：设k是正整数，
∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
∴除1以外，所有的奇数都是完美数，
∴B，D选项都是完美数，不符合题意；
∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数，
∴C选项是完美数，不符合题意，
∵2022既不是奇数也不能被4整除，
∴2022不是完美数，符合题意．
故选：A．
6．解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2
＝1+1+4
＝6，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；
故选：D．
7．解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023
＝x﹣x2﹣2x+2023
＝﹣x2﹣x+2023
＝﹣（x2+x）+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故选：C．
8．解：∵（a﹣2b）2＝a2+4b2﹣4ab．
∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab．
∵a﹣2b＝10，ab＝5．
∴a2+4b2＝102+4×5＝120．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：原式＝﹣4y（y2﹣1）
＝﹣4y（y+1）（y﹣1），
故答案为：﹣4y（y+1）（y﹣1）．
10．解：2x2y﹣2xy2＝2xy（x﹣y），
当x﹣y＝3，xy＝10时，
原式＝2×10×3＝﹣60．
故答案为：60．
11．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x4﹣x3﹣3x2﹣x+2022
＝x4﹣2x3+x3﹣2x2﹣x2﹣x+2022
＝x2（x2﹣2x）+x（x2﹣2x）﹣x2﹣x+2022
＝x2+x﹣x2﹣x+2022
＝2022．
故答案为：2022．
12．解：原式＝2（a2﹣a+）
＝2．
13．解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
14．解：∵a﹣b＝1，
∴a2﹣2b﹣b2
＝a2﹣b2﹣2b
＝（a+b）（a﹣b）﹣2b
＝a+b﹣2b
＝a﹣b
＝1
故答案为：1．
15．解：∵x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，
∴（x﹣1）2+4（y﹣）2＝0，
∴x﹣1＝0，y﹣＝0，即x＝1，y＝，
∴xy＝
则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2
＝（2x﹣3y+3y+2x）（2x﹣3y﹣3y﹣2x）
＝4x （﹣6y）
＝﹣24xy
＝﹣24×
＝﹣12．
故答案是：﹣12．
16．解：∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，
∴m2﹣n2＝n﹣m，
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
∵m2＝n+2022，n2＝m+2022，
∴m2﹣n＝2022，n2﹣m＝2022，
∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2022m+2022n
＝2022（m+n）
＝2022×（﹣1）
＝﹣2022．
故答案为：﹣2022．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）原式＝[（m+n）﹣3]2
＝（m+n﹣3）2；
（2）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（3）原式＝（a﹣b）（5a+2b﹣a﹣6b）
＝（a﹣b）（4a﹣4b）
＝4（a﹣b）2．
18．解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2．
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
19．解：（1）从第二步到第三步是两个数和的完全平方式，故选：C．
（2）分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，而（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
故答案为：不彻底，（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝a，则原式＝a（a+2）+1
＝a2+2a+1
＝（a+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
20．解：（1）∵6x＝2×3 x，且x2+6x+m是一个完全平方式，
所以m的值为9，
故答案为：9．
（2）∵x2+6x﹣16
＝x2+6x+9﹣9﹣16
＝（x+3）2﹣25
＝（x+8）（x﹣2），
故答案为：（x+8）（x﹣2）；
（3）∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，x+5＞4，
∴x2+6x+5＝（x+1）（x+5）＞0．
（4）∵原式＝﹣（x2+6x+9﹣9）﹣5
＝﹣（x+3）2+4≤4，
所以代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大值为4．
21．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）
∵x+y＝7，x﹣y＝5，
∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；
（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
22．解：（1）①图2的面积＝x2+ax+bx+ab，
图2的面积＝（x+a）（x+b），
∴x2+ax+bx+ab＝（x+a）（x+b），
故答案为：x2+ax+bx+ab＝（x+a）（x+b）；
②因式分解：x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
故答案为：（x+2）（x+3）；
（2）图3的体积＝a3﹣4a，
图3的体积＝a（a﹣2）（a+2），
∴a3﹣4a＝a（a﹣2）（a+2），
故答案为：a3﹣4a＝a（a﹣2）（a+2）．

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