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九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
1、学会结合一元二次方程中根的判别式来解决二次函数图象与x轴的交点问题
2、学会根据二次函数的图象，分析不等式的解集在x轴的上方还是下方
重点：结合一元二次方程中根的判别式来解决二次函数图象与x轴的交点问题；
结合二次函数的图象，分析不等式的解集在x轴的上方还是下方
难点：结合第22章第一小节的内容，综合考查二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
1、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根。
当＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；二次函数的图象与x轴有2个不同的交点；
当＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；二次函数的图象与x轴有1个的交点；
当＝b2－4ac＜0，无实根；二次函数的图象与x轴没有交点。
2、二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
1、（2020·湖北省中考真题）若抛物线经过第四象限的点（1，-1），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】∵
∴抛物线开口向上
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1
故选：C
2、（2021·浙江省初三二模）二次函数的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的解为（ ）
A.， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解答】解：时，；时，
抛物线的对称轴为直线
或时，
关于的一元二次方程的解为，
故选：C
3、（2020·南通市八一中学初二月考）已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )
A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1 C．k=2 D．k=2或1
【答案】D
【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点
当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知
∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0
解得k=2
综上可知k的值为1或2
故选D
4、（2020·贵州省中考真题）已知二次函数的图象经过（-3，0）与（1，0）两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3。则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【答案】B
【解答】解：二次函数的图象经过（-3，0）与（1，0）两点，即方程的两个根是﹣3和1， 可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
5、（2020·浙江省初三其他）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
【答案】（1）m＝3；y＝﹣x2+2x+3；（2）△OAB的面积＝；（3）x＜0或x＞1．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3）
∴m＝3
∴直线为y＝x+3
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1
∴
解得
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）解得或
∴B（1，4）
∴△OAB的面积＝＝
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值
6、（2020·浙江省初三其他）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）求线段AB的长；
（3）抛物线与轴交于点C（点C不与原点重合），若的面积始终小于的面积，求的取值范围．
【答案】（1）（2m，-1）；（2）AB=2；（3）＜m＜且m≠
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为[，]，即（2m，-1）．
（2）令y=0得：=0，
解得：x1=2m-1，x2=2m+1，
∵点A在点B左侧，
∴A（2m-1，0），B（2m+1，0），
∴AB=2m+1-（2m-1）=2．
（3）∵△OAC与△ABC等高且△OAC的面积始终小于△ABC的面积，
∴OA＜AB，
①当点A在x轴正半轴时，2m-1＜2，
解得：m＜，
②当点A在x轴负半轴时，-（2m-1）＜2，
解得：m＞，
∵点C不与原点重合，
∴4m2-1≠0，
解得：m≠±，
∴＜m＜且m≠．
1、（2021春 台江区校级月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解答】解：根据图象知，抛物线与轴的一个交点是，对称轴是直线
设该抛物线与轴的另一个交点是
则
解得，
即该抛物线与轴的另一个交点是（1，0）
所以关于的一元二次方程的根为，
故选：
2、（2020秋 元阳县期末）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的对称轴为直线
B．图象与轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）
D．的最小值为
【答案】D
【解答】解：对于，
令，解得或，令，则，
故抛物线和轴的交点坐标为、，函数的对称轴为直线，
，则抛物线有最小值为，
故选：．
3、（2020·广西壮族自治区初三二模）如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　)
A． B．，
C．， D．
【答案】C
【解答】解：∵，
∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数y=mx+n(m≠0) 的图象交点的横坐标，
∵二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，
∴由图像可得一元二次方程的解为：，．
故选：C．
4、（2020·山东省初三一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解答】解：∵，，抛物线开口向上，
∴时，，
∴的解集为．
故答案为：
5、（2020·湖南省初三月考）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，图象与轴的一个交点坐标为，那么它的图象与轴的另一个交点坐标是___________．
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
【答案】（3，0）
【解析】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=
∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（-1，0）
∴它与x的轴的另一个交点为（3，0）
故答案为：（3，0）
6、（2020·广西壮族自治区初三月考）如图，是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围__________．
【答案】．
【解答】解：∵y1与y2的两交点横坐标为-2，1
当y2 ≥ y1时，y2的图象应在y1的图象上面
即两图象交点之间的部分
∴此时x的取值范围是-2≤x≤1
7、（2020·黑龙江省初三三模）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．
（1）求次此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．
【答案】（1）；（2）满足条件的点的坐标为（4，5）或（-2，5）
【解析】解：（1）∵当x=0时，y=-3，∴．
∵当y=0时，x-3=0，∴x=3，∴．
将点与点的坐标代入抛物线，
得，
解得，
抛物线的解析式是；
（2）∵=(x-1)2-4，
∴对称轴是直线x=1，顶点，
∵，
点．
为抛物线上的一个动点，
设点，
整理，得或（由，得到无实数解，舍去）．
解得．
满足条件的点的坐标为（4，5）或（-2，5）
8、（2019 云南）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
【答案】（1）； （2）点P的坐标是（2，-5）或（-2，-5）
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是轴，
，解得，；
又抛物线与轴有两个交点．
即抛物线与轴有两个交点．
，
即，
也就是，
又，，
．
此时抛物线的关系式为，
因此的值为．
（2）点在抛物线上，且到轴的距离是2，
点的横坐标为2或，
当时，
当时，．
或
因此点的坐标为：或
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错题及错误原因
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九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》导学案
1、学会结合一元二次方程中根的判别式来解决二次函数图象与x轴的交点问题
2、学会根据二次函数的图象，分析不等式的解集在x轴的上方还是下方
重点：结合一元二次方程中根的判别式来解决二次函数图象与x轴的交点问题；
结合二次函数的图象，分析不等式的解集在x轴的上方还是下方
难点：结合第22章第一小节的内容，综合考查二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
1、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根。
当＝b2－4ac＞0，两个 的实数根；二次函数的图象与x轴有 的交点；
当＝b2－4ac＝0，两个 的实数根；二次函数的图象与x轴有 的交点；
当＝b2－4ac＜0， ；二次函数的图象与x轴 。
2、二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
1、（2020·湖北省中考真题）若抛物线经过第四象限的点（1，-1），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
2、（2021·浙江省初三二模）二次函数的部分对应值如下表：
则关于的一元二次方程的解为（ ）
A.， B．，
C．， D．，
3、（2020·南通市八一中学初二月考）已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是( )
A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1 C．k=2 D．k=2或1
4、（2020·贵州省中考真题）已知二次函数的图象经过（-3，0）与（1，0）两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3。则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
5、（2020·浙江省初三其他）如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
6、（2020·浙江省初三其他）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）求线段AB的长；
（3）抛物线与轴交于点C（点C不与原点重合），若的面积始终小于的面积，求的取值范围．
1、（2021春 台江区校级月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　
A．， B．，
C．， D．，
2、（2020秋 元阳县期末）关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的对称轴为直线
B．图象与轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）
D．的最小值为
3、（2020·广西壮族自治区初三二模）如图，二次函数：与一次函数：y=mx+n(m≠0)的图象交于A，B两点，则一元二次方程的解为(　　)
A． B．，
C．， D．
4、（2020·山东省初三一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_______．
5、（2020·湖南省初三月考）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，图象与轴的一个交点坐标为，那么它的图象与轴的另一个交点坐标是___________．
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
6、（2020·广西壮族自治区初三月考）如图，是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围__________．
7、（2020·黑龙江省初三三模）如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为抛物线的顶点为．
（1）求次此抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标．
8、（2019 云南）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在抛物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
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