资源简介

第2节同角三角函数基本关系（★★）
内容提要
1.同布·斤函救基木关系婴川sinx、c0s 、tn以·者时知一求：特别正意巾sim2=|-s'双或
c0sa-|-sima求sin 、cnw,开方时被据们a听在的家银决定收正还是安负.
2.sinu、csr的和、、积的转化：
①sinm+osr2=sin°x+cus+2 sin a cos=1+sim2e；
2(sina cosa)-sin cos'2singcos-1 sin 2:
(sinu+ws+(sin-cos)=2.
3.sin、cos仪的齐沃分式化止：切：
国计算Asim1cos在，可上下同除以coa,化.为Aan1片
(sina +Dcosa
(tana+D
②计算Asin'a15sins&(Cc0s°g,可元读分母，化为1sin'm+sin-(Coos,再上下同除以
sin°g+cusg
csa，化为1lanr+Buna-C
tan'+1
典型例题
【倒1】知a是第：您限的，ima-5
划anz-.
答案：
解法1：1！知sin,北方关系求cs,H川商数关系求tan,
sine、道
osa-1sina-专，又u地弟二象民时转，所以csa-
25,枚ana-sing-
Γwsx-2
解法2：小血2-怎国出网广不的汽角三角层，山网可红ma-片
5
耳根挥u地弟二象限的4得出ana应汉负，故ana=!
2
的
2v
【反思】sm以、cosa、ne的知一求一问题，可川“二角形沙”生解，分步迎：第一出，将二个三
和函敛休全部石成正的.根据已知条仁画个且角二有形山米，并由该二州形求山F标二华函数仇：弟一
步，限城年所在的象跟洪取还是收负
【变式1】设cmsa-依eR),ae.则sna-《)
(4)ik’B;是2(C)+2(D》1k
答案：B
解析：H“一布法”求sina,口关|cs仪-k.但汝治k的下负，所以对一加形的边武i时，圳绝对，
巾coa-k肉图所示的一宛形，h闲华合ae写)可sina-一F
【变式2】设a为方一象限的角，Hma+孕-行则sinu+cosu-
1
答案：-v10
解法1：将un(a+子展「，可求好na,求sin和cos&,
l题意.tan(a+
+画置
l-in&n交
1-tan
2nx一行折此可通出如图1所示的角区.
lan+1 I
1
4
南图合a为绕一条限的0可付sin-而，csz-_3而，所以ina+ensn-而
10
10
解法2：sina1cosa山合产为2si(a+),若将a+T有做B,这就起已知anB求sinB的问盟，
a为弟二象限角一口+西为第一或第=象限的角，又aMa+T)-!>0,新以2+为第三象限的件，
422
让B=e+牙，则lanB=
行，亚#如网2所不的角吆，结合B为邻您限角可得smB-写
5
sinaI cosa sinfesin
5
10
哈
a
2
图1
图2
【变式3】若ana-cosa,则11esa=.
s1山仪
答案：2
解析：化将如的等式初化痉，anu=osa→n=osa一sina=cosa.
cos
将右测府ws2换成1-sin即化可空，sina,
义o'a=-sin'a,代入可得sna-l-ima,解行：na-5l或-5±（今大，
2
2模块一同角三角函数关系与诱导公式
重点知识回顾
一、三角函数定义
1.如图1，设P,丹为角a绕边与单拉网r+y广=1间交点，见na-,o=x,ma-士
2.网2.设x月为布a终边-点：7-pr--了，sina=之.c0sa=产，ma-0.
终边
a终边
'ir.))
P(x.y)
+X
离1
图2
二、同角三角函数基本关系
1.平月系：simx+cus2a-1:
2.所数系：1ma=sina
CO50
三、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
(1)公式"：sin(ec:+2k元)-sina,ws(cr+2kr)-cws,neu+2kx)-lne,其中k∈Z
〔2)公T式一：sin(x-l=-simu,cwsx-l=-oscr,lHn(x-r1=lanz,
〔3)公x式：sinl-x)=-sin以，cos(-2j=cos2，tan(-〕=-tnR
〔4）公式4：sin(x-z)-sin,c0s(x-a)--cos，tan(x-a)=-tn仪.
(5)公式五：sin(7-）-cnm,cns(7-四-sinz.
(6》公式六：sin写-=cosu,os子-u=-i加u。
第1讲三角函数的定义（★★）
内容提要
术趣染山珀的热边上朵点的坐标，战染山角的终边所在自线的程，考虑片定义求三种函数伉.
典型例题
【例题】已布的终边经过点3.-4)，则csx-「）
答案：D
解析：h盟意、r=0P-5,所以cs--
p5
【变式1】心知角z的项太是原点，始边为.x仙的止半轴，器边是射线=2xx0,则si加=：m=
答案：25,2
5
解析：铃出的竹终边，口在袋过下取·点，+山该点利冂定义求二角函效直，
如，可东a的终边上点1.2)，则k1-s,所以in=2-25.
ama-2-2.
55
/-2x
1L,2
-rX
【变式2】角0的顶点为坐标原点，娇边为x针的正平，光4，)足角0终边上·点.且sin0-
25
y=
答案：8
解析：染出伯经立上竹·点竹华狱，状板到二用函微的定义，所以先用定义计件s0,
刻1阁，sin9-y,
。·又n分-25.所以y-25.
(116
5
16125
出上式可石山y<0,平方可求得-8，
【变式3】已1冲x的姿边经过点1Psim4 °，os4 1,则sifa-13)-〔)
A支B)号
c)号
D)-3
2
答案：4
解法：染有终边上.的·点竹华林，伏传到二角效的定义，先T定义计京si双和wsu,
因为P=vin4 +cos40=1，i以P北a竹终边与单位同的交点，收sina-cos4”,c0a=sin47”,
f以sin(a13)-sins13 cosasin13”-60s47cs13°sin47sin13”-cos47”113）-cos60-1.
2
解法2：将i纷的点P的水标远导公式转换成二方函数走义的格式Pcsa,sim,可直楼求出r:
为sim47°-sim(90°43)-os43，cos47°-cs(490°43j-sin43°，
「听以点P的标可化为c0s43",si43"),阁，合一几函数定义可剁x的路边与43"的热边重合，
60+43k=Z）,收sina-l3）-sin-360心+13>-13)-
17
【反思】当未件给终以“上的点的华标时，可T定义求川ising,ws，lna,
【变式4】华a与角月均以x前工平前为如边，它终齿关于销对餐，片sna-5.则am
5
答案：
解法I:先画业图形，币二种函数定义分析与B的二伯函数的火系，
如图，和B的终边关」r料对称。所以位们与单位圆的交点P、Q也关x轴对称：
设Px,以，则Qx,-):山三角函数定义：cos2=cwsB=x，sina=y,sinB=-:所以sinB=-sima,
枚cosu-价=+sinsin=csu-sina=l-2sin'u-专.
解法2：也可以先根摇经立怕剂性，找到和B的主火系，
岗为x和p的终边关于x社对称，听以了与j-的路边重合，从而了=-a+最)民÷)，
收co8am=c0s[a(a1k.360°】=os2ak-360)=cos2a=12sina=5
3
0
②悠边第3节诱导公式〔★★)
内容提要
1.诱导公式发T小化棕sin上a)、cosL、an1a)这类二三年代数式中竹7这个分.
2
2
2
2.诱宁公式的口波：奇变泗不变，符号石象限：击要注总两点：
们奇变码不变指耍化掉的节是的奇数柿，则函数名正按变余装，余技变正装：仙数倍则不变：
@符号奇家：是香原米的二角内最名在对应象腿的符号.衡如，对c0号-a)化简时，守号毛象陆，香
的是a这个第条限的布的尔弦值的行号，然为负，所以浴负号.得到c0了)=sna。
7
典俐例题
【例1】sin600°-·
【变式1】设cos2y-m,则sin241°1an151-()
(A)+m (B)(C)(D)--m
ini2g-cos(订+0
【变式2】知八x)-
os3 )sin月’r1-4).
2
【变式3】已7A-+四+oske),则A的消构成的集合地.
【变式4】c0s1P+cms2+cms3”+…+c09180”-
【例1已cow1a=}a-度5，则ma-{
22
【变式1】n1co爱-a)-号，划sina-5)-
3
【交t2】已sn后o-1ae写a,利sw行o=
换化训纨
1.〔2022·北京东城区拟·★★)若u为作忘，则清址w红+子=-605a的·个k的情为{）
〔A>2(B)1(C)6〔D)8
sin号+0小-cusx-0
2.〔2022·成都被似·★★)1tan9=2,则2
sm气-川-sn-0
3.〔2022·丧阴德拟·★★)L知函数fx)-asix+z)+bcs(πx+例，H.f3)-3:则f2022)的值为(）
〔A)-l(B)1()3D)-3
4.(2021·北乐卷·★★★)共点cos0.sim0)关于y灶的对称点为(csB+不，5ii8-严)，则日的一个
6
位为.
5.〔★★)计党：
(1)sim2r+sin'2r-sin3”-+sim8y°=：(2)gn19)+ga2）++(an8）_=
sin’+sin2"”++sin'89"
6.(202·片元瓶术·大大)已划sm子-0-3则ea
6及-0·
7.2022…湖的泼拟·★★)知cm行+a)-且-412
a2g5B>c))27
3
3
8.〔2022·山西.模·★★)拧sinl0"-asim00",如sim20”-〔)
(AB〉”()D-第2节同角三角函数基本关系（★★）
内容提要
1.同布·斤函救基木关系婴川sinx、c0s 、tn以·者时知一求：特别正意巾sim2=|-s'双或
cosa-|-sima求sin 、cnw,开方时被据们a听在的家银决定收正还是安负.
2.simx、cosa的和、、积的转化：
(1 (sina +cosu=sin'a+cos"a+2sina cosa =1-sin 2;
2(sina cosa)-sin cos'2singcos-1 sin 2:
(sinu+wsu+(sina-cos)=2.
3,sin、cos仪的齐沃分式化.止切：
国计算Asin1cosC,可上卜同除以cosa,化为Aan片
(sina +Dcosa
(tana+D
②计算Asin'a15sins&(Cc0s°g,可元读分母，化为1sin'm+sin-(Coos,再上下同除以
sin°g+cusg
csa，化为1lanr+Buna-C
tan+
典型例题
【倒1】知a是第：家限的加，ina-5
划ana-.
5
【变式1】改osa-keK),e写，则sina-（)
(A)-i-k2〔B)-kF(C)上i-kF(D)1+k2
【变式2】设a为防家限的加.且aa+子-则sna+cmsa-
sincos'
【变式3】若tana-cnsa,划
【例2】知ina-cosz-手.则sin2a-()
9
【安式】已zs段：如a+sa-写.划cm2a-
A-年)-等e5w)9
【变式2】米x∈[0，]，则压数r-sin cos2 sin的皖人t为《）
(A>1B)5〔C)2(D)2+I
【例3】i'知ann-2,划n2-4cosu-
Ssing+2cos
医式1心m9-子m92光品g-0
(A6B)g(C)
〔D)2
6
2
【变式2】己Isin+2cosa-0,则2 sincosa-os&的伉地.
【交式3】若ue号a、2sina-osu-3.则m4=(0
5
A) B)2C日D-
11
【变式4】(2019·江苏)已知am -
号是a务为价地
tan(+
苏化训练
1.(2022·成都装拟·★★)若ae-号牙，sina=-当，则c05a=
2.〔2021·江秩拟·★★)己知1ama-片，r为任，则sin0-,(用k表乐)
3.〔2022·月-模·★★★)光布的终边不在坐标轴..Hsin+2c0sx-2,则ta1x-()
a号e)e号o月
4.〔2022·湖北漠拟·★★）知2si加lnx=3:则c0s2=.
5.（202·产买实t拟·★★★)L知simx+s=子则sn-s如于的最大值为
6.(2022·让苏装拟·★★★)（多选）L知smu+c0su=写以下迹项的是()
(Am2a-±g(B)ma-aosa-±号
(C)os2u-±
-25
0》ma-ewa-±3
7,2022·汕北四校朕冬·★★★)若a(simx+c0s)≤2+sin xcosx对E意的xc(0,三口攻立，则实数u的
最火伉为
8.〔2022·「：海泼拟·★★)拧sin日-kcos,川sincos-.(Hk表示》
9.（2022·湖1的泼拟·★★)i:知sinz+2csa-0,则，cos20
1-sin 20第3节诱导公式（★★）
内容提要
1.诱导公式1gT小化折sin红1)，cos是红La、an红La)这类所代数式中的红这个部分.
2
2
2
2.诱宁公式的口波：奇变泗不变，符号石象限：击要注总两点：
们奇变码不变指耍化掉的节是的奇数柿，则函数名正按变余装，余技变正装：仙数倍则不变；
您符号有象张，是吞泵米的三角州最名在对应象限竹符号、商如，对c号-a)化间时，符号老象，看
的是a这个第客限的布的尔弦值的行号，然为负，所以浴负号.得到c0了=sna
2
典俐例题
【例1】sim600°-，
答案：因
2
解法I:sin600-sin(540°+60)·按下米用活公式化扣540°，
7先，“令变阳不变”，540°是90的6件，底仙效倍，以“码不变”，化去540"后厨数名仍为“m”：
其次，“符号石象限”，将6石成锐任，40”锐任在第三象派，正拔为负，所以添个负片，
枚sin600=-sin60=-3
2
解法2：出可东00.光减720，耳4sin(-a)--sina求L,
si600-sim(600-720）-sinm(-120°）-sin120-s5
2
【变式1】改cos2y=m,则sin241°an151°=(J
(A)+m(B)1-m2(C>-v1-m2(D)-y1-m
答案：B
解析：已知的足0s2°，所i以！241°和151°日饺与公式1问2)°转化，241°-20°29°，151°-180°-29，
sin241°1an151°-sin(270°-29)1an180°-29)--cos29°(-lan29°)-sin29°-v1-c0s229°-v1-m
【变式2】If)=
i2-uw经+
”.划02，-
1Lπ
4
eos(3r-刘sin(2-
答案：-1
解桥：时给解析式42、兰、3、5均为号的胖经台，可的号公式肾北化询，片术值
sin(2-x)cos)
出题兰，fx)-
--sin xsinx--tan2r·
cos(3-x)sin()x(-cus.r)
而a-2)-a-57--am(-孕-an行-1，所以2)-am24)=-(←W-
【变式3】已东1H-sim冠+四+心s-四依∈Z),划1的构成的集合是.
sina
0s0
答案：2.-2：
解析：表达的江可H用房导公化淖，光水为数，侧π是2江的整数倍，可宜安去悼：共北为守效，
则，可以通过加上.2x倚摔效倍，将x交成无，这两种柠化竹结果不同，楼分奇时论，
当K为偶数时.设=2 mm Z),则1-sin2mE12+os2m:12-ine-c0se-=2:
sin
cos sin2os双
"7k为时数时、设k-2+1cZ,则1=sim2n+1x+l-co2÷0x+al
in
cOS
_sin(2ux+π+a）c0s(2ir+x+）_sin(+2）+cos(π+）--sina+-cos2-2:
sin a
0s0
s1n议
sa sin
cusa
综上听述，了的构战的集合是2.2).
【反思】从下.而的求E过识以总结Hsim(kx+)=(-ly sina,c0sk万+)=(-)c0s,共屮k∈Z.
【变式4】os1P1cs21cs3P1…10s180°-.
答案：-1
解析：听阶的妆达式巾.像cs,cs2这些吹紅无法独求业，、考这与其它文合·引，注总到
c0s1+cos179°-081°+c0s180°-1P)-c0s1°+(-c0s1)-0,月迎，c0s2+c0s178-0,c0s.+c0s177-0等
杀，所以采取内阿饥心的力法汁件，为∫豆行断池早坝计件过程，我们用倒户相加法，
dlS-cus1+w52-w53+-osl79°，则S-cos179°+ws178+cusl77+…+05.
内式相加可得2S=(c0s+c0s179")+(c0s2"+cosl78")+(c0s3"+c0sI77")++(cosI79”+c0s)=0:
5所以X=0.战c0s1”+c0s2”+c053"+…+c0s180°=S+c0s180°=c0s180°=-1.
【例】己划cw4a0=30-写3，则am0=（)
22
aBc子D)±号
1
答案：B
解桥：有到号、先月5公式号化格，号=mu=>ma=号
5
义ae3泛、所以csu<0,从icm-1nra-手，枚a7-02子
cosa 4
2
【变式I】已|c0s(-)
3·则sima-
3
答案：号
解析：染而求汽题，应先寻找已灯伯和求伉角的伏系，可将已俯任换心成，代入求估竹种米毛，
收：-名a,则a-名，几1-月以sna3-simg1-mN号小-ss-号
3模块一同角三角函数关系与诱导公式
重点知识回顾
一、三角函数定义
1.如图1，设P,丹为角a绕边与单拉网r+y广=1间交点，见na-,o=x,ma-士
2.网2.设x月为布a终边-点：7-pr--了，sina=之.c0sa=产，ma-0.
终边
a终边
'ir.))
P(x.y)
+X
离1
图2
二、同角三角函数基本关系
1.平月系：simx+cus2a-1:
2.所数系：1ma=sina
CO50
三、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
(1)公式"：sin(ec:+2k元)-sina,ws(cr+2kr)-cws,neu+2kx)-lne,其中k∈Z
〔2)公T式一：sin(x-l=-simu,cwsx-l=-oscr,lHn(x-r1=lanz,
〔3)公x式：sinl-x)=-sin以，cos(-2j=cos2，tan(-〕=-tnR
〔4）公式4：sin(x-z)-sin,c0s(x-a)--cos，tan(x-a)=-tn仪.
(5)公式五：sin(7-）-cnm,cns(7-四-sinz.
(6》公式六：sin写-=cosu,os子-u=-i加u。
第1讲三角函数的定义（★★）
内容提要
光题给出珀的终边上米点的坐标，或山珀的终边所在直线的程，考虑片定义求三用函数杭.
典型例题
【例题】已布的终边经过点3.-4)，则csx-「）
A)(B}(c)D)
【变式1】已7角以付顺点址原点，始边为x的上半轴，察边是肘线=2x(x>0,则sin6=,ln&=,
【变式2】角0S顶点为坐标饭点，始边为韩的正半，若，地角0客边上点，几sn0=25
y-.
【变式3】知角z的终边欲过点Psim4 ,cos47")、则simz-13")=〔)
A;(B)5C)片D》-
2
【变式4】加a与加P均以x抽正袖为价进，它仙的终边关干x拍衬称，若a-行，则a-m=，
强化训练
1.〔2022·宁发茨拟·★★)如角日的边卜.有一点P-4a,3aMu0):则2sin8+cos8=()
(A)-号(B)号(C)-号我号D》不的定
5
2.〔2022·安豫酸拟·★★)已州终达L·点仪m,4Um≠0，几c5a=”.则1n=.
3.「2022滏坊.泼·★★)血x的点为处标点.边x轴的血水拍重合，点(，2)，(x.4)
在0的终边上·且xx:=1,则an=〔)
(a)2(R)3(C)2D)月
4.(2022·湛江期术·★★★)阁，华x的如边与x帥的前半扣台，终边与单位圆交于点(：)：
角B=+2亚的始边与角a的始边重合，H终边与年位网交J点B(x),记a)=片-片，：若：为战角，
则f()的联情范国地()
a空w)》c兰岁w)
23)

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