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第二章 机械振动
2.4：单摆
一：知识精讲归纳
考点一、单摆及单摆的回复力
1．单摆的组成：由细线和小球组成．
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略．
考点二：单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．
考点三、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．
(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关．
技巧归纳：单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
二：考点题型归纳
题型一：单摆做简谐运动的条件
1．（2022·全国·高二）关于单摆，下列认识中正确的是（　　）
A．一根线系着一个球悬挂起来，这样的装置就是单摆
B．可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多
C．单摆的振动总是简谐运动
D．两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同
2．（2020·湖北·高二期中）关于单摆，下列说法正确的是（　　）
A．单摆摆球从平衡位置运动到最大位移处再回到平衡位置完成一次全振动
B．若单摆做简谐运动的周期为T，则摆球动能变化的周期也为T
C．摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供单摆摆球的回复力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
3．（2020·北京十四中高二阶段练习）关于单摆，下列说法不正确的是（　　）
A．单摆的回复力是重力的分力 B．单摆的摆角小于 5°，可看作简谐振动
C．单摆的振幅不论多大，其周期均为 D．单摆的振动是变加速运动
题型二：单摆的回复力
4．（2021·全国·高二专题练习）关于单摆，下列说法中正确的是（　　）
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
5．（2021·山东·阳谷县第二中学高二阶段练习）关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论中正确的是（　　）
A．摆球受重力、摆线的拉力、回复力、向心力的作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C．摆球的回复力最大时，摆线中的拉力大小比摆球的重力大
D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
6．（2021·全国·高二专题练习）如图所示为同一地区两个单摆的振动图像，实线是单摆甲的振动图像，虚线是单摆乙的振动图像。已知两单摆的摆球质量相同，则甲、乙两个单摆的（　　）
A．摆长之比为1∶ 2 B．摆长之比为2∶ 1
C．最大回复力之比为1∶ 8 D．最大回复力之比为8∶ 1
题型三：分析单摆运动过程中的速度、加速度和位移的变化
7．（2021·重庆·西南大学附中高二阶段练习）图中O点为单摆的固定是点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此附细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中（　　）
A．摆球在A点和C点处，速度为零，位移也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，重力势能最小，加速度也为零
D．摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大
8．（2021·吉林·乾安县第七中学高二阶段练习）如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则（　　）
A．甲、乙两个单摆的振幅分别为2cm、－1cm
B．甲、乙两个单摆的机械能可能相等
C．第4s末，甲乙两个摆球的加速度均为零
D．第2s末甲的速度达到最大，乙的向心加速度达到最大
9．（2021·全国·高二专题练习）如图甲所示是一个单摆，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图象，由此可知（　　）
A．单摆振动的频率为2.5Hz
B．时摆球位于B点，绳的拉力最大
C．时摆球位于平衡位置O，加速度为零
D．若当地的重力加速度，则这个单摆的摆长是0.16m
题型四：单摆运动中的对称性
10．（2021·全国·高二专题练习）甲、乙两人观察同一单摆的振动,甲每经过 3.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在其平衡位置处;乙每经过 4.0s 观察一次摆球的位置,发现摆球都在平衡位置右侧的最高处,由此可知该单摆的周期不可能的是
A．0.5s B．1.0s C．1.5s D．2.0s
11．（2018·福建省长乐高级中学高二期中）如图a所示为一单摆及其振动图象，若摆球从E指向G为正方向，由图b可知，下列说法正确的是（ ）
A．图中的A点对应着单摆中的E点
B．单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向发生了变化
C．一周期内，势能增加且速度方向为正的时间范围是1.5s到2s时间段
D．一周期内,加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是1.5s到2s时间段
题型五：单摆运动图像问题
12．（2021·广东·中山市华侨中学高二期中）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的摆长约为2.0m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8cosπt(cm)
C．从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
13．（2021·河北巨鹿中学高二阶段练习）如图所示是描绘沙摆振动图象的实验装置和木板上留下的实验结果。沙摆的运动可看做简谐运动。若沙摆摆长为1m，木板的长度是，取，那么下列说法中正确的是（　　）
A．该沙摆的周期为
B．该沙摆的频率为
C．这次实验匀速抽动木板的速度为0.1m/s
D．这次实验匀速抽动木板的速度为0.2m/s
14．（2021·全国·高二单元测试）如图甲所示，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。当地的重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　）
A．单摆振动的周期为0.4s B．单摆振动的频率是2.5Hz
C．时摆球在M点 D．单摆的摆长约为0.32m
题型六：单摆的周期公式
15．（2022·河北唐山·高二期末）如图所示，在张紧的绳上挂三个理想单摆，a、c两摆的摆长相等。使a摆振动，其余各摆在a摆的驱动下逐步振动起来。测得c摆的周期为T0。不计空气阻力，重力加速度为g，则（　　）
A．可以估算出a摆的摆长 B．b摆的振幅始终最大
C．c摆的周期一定最大 D．可以估算出b摆的摆长
16．（2021·江苏通州·高二期中）一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时，摆线被悬点O（未画出）正下方的钉子P挡住，之后球运动到右侧最高点B，该过程中的频闪照片如图所示，已知闪光的时间间隔相等， 。则O、P两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
17．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O'点钉一个光滑钉子，使OO'= ，将单摆拉至A处由静止释放，小球将在A、B、C间来回摆动，若摆动中摆线与竖直方向的夹角小于5°，则此单摆的周期为（　　）
A． B．
C． D．
三：课堂过关精练
一、单选题
18．（2022·海南·高二期末）在某一密度均匀的球形星体上，做摆长为l的单摆实验。若星体的半径为R，质量为M，引力常量为G，则该单摆的周期为（　　）
A． B．
C． D．
19．（2021·山东烟台·高二期中）自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们对月球的向往又进一步加深了，希望能够早日登上月球。假设未来的宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面。已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上周期相同，下列办法可行的是（　　）
A．将摆球的质量增加为原来的6倍 B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍 D．将摆长增长为原来的6倍
20．（2021·山东·广饶一中高二阶段练习）如图所示是两个理想单摆的振动图象，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是（　　）
A．同一摆球在1s和3s时加速度都相同
B．乙摆球在1s和3s时速度相同
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1：2
D．甲摆球位移随时间变化的关系式为
21．（2022·山东·夏津第一中学高二阶段练习）小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，是它的平衡位置，、是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测得当地重力加速度为g=10m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向，，则下列选项正确的是（　　）
A．根据图乙可知开始计时摆球在点 B．此单摆的振动频率是
C．图中点向负方向振动 D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长为
22．（2021·山东·肥城市教学研究中心高二期中）荡秋千是小孩最喜欢的娱乐项目之一，可简化为如图甲所示的单摆模型。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为最低位置，，小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母以及重力加速度均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法中不正确的是（　　）
A．该单摆的周期为+t2
B．可以求出摆球振动的摆长
C．可以求得由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为
D．在小于5°的情况下，增大但周期不变
四：高分突破精练
一：单选题
23．（2021·全国·高二单元测试）如图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a（g>a）向下加速的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电荷，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电荷，放在匀强电场E中，周期为T丁，单摆甲、乙、丙及丁的摆长l相同，则下列说法正确的是（　　）
A．T甲>T乙>T丁>T丙 B．T乙>T甲=T丙>T丁
C．T丙>T甲>T丁>T乙 D．T丁>T甲=T丙>T乙
24．（2021·江苏省阜宁中学高二阶段练习）如图所示为同一实验室中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（　　）
A．两摆球质量相等
B．两单摆的摆长不相等
C．两单摆相位相差
D．在相同的时间内，两摆球通过的路程总有s甲＝2s乙
25．（2021·山东·新泰市第一中学高二期中）如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为、、、，关于周期大小关系的判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
26．（2021·天津静海·高二阶段练习）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　）
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=10 sin（πt） m
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．从t=2.5 s到t=3.0 s的过程中，摆球的动能逐渐减小
D．从t=2.5 s到t=3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大
27．（2021·全国·高二专题练习）如图所示，圆弧AO是半径为2 m的光滑圆弧面的一部分，圆弧与水平面相切于点O，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从圆弧的点A和点B无初速度地释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别为t1和t2，那么（　　）
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＞v2，t1＞t2 D．上述三种都有可能
28．（2021·全国·高二专题练习）荡秋千是小孩最喜欢的娱乐项目之一，可简化为如图甲所示。图甲中点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，其中点为最低位置，，小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母，重力加速度均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（　　）
A．该单摆的周期为
B．无法求出摆球振动的摆长
C．可以求得由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为
D．在小于5°的情况下，越大周期越大
29．（2021·全国·高二专题练习）如图所示，一质量为M的物块静止于A点，绳长为L，现给物块施加一初速度v，物块抵达B点时的速度恰好为0，且此时拉物块B的绳与竖直方向成45°夹角，绳长保持不变，若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．物块将做简谐运动
B．满足关系式
C．物块第二次经过A点时的速度与第一次经过A点时的速度不同
D．设物块在运动时绳与竖直方向的夹角为β（β ≤ 45°），则当夹角为β时，绳子对物块的拉力大小为Mg(2－cosβ)
二、多选题
30．（2021·广东·高二阶段练习）图示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（　　）
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲单摆的振幅比乙单摆的大
C．甲单摆的机械能比乙单摆的大
D．在t=0.5s时，有正向最大加速度的是乙单摆
31．（2021·黑龙江·铁人中学高二期中）图甲中O点为单摆的固定悬点，现将质量m的小摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。∠AOB=∠COB=（小于10°且是未知量），细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。g取10m/s2.关于此单摆以下说法正确的是（　　）
A．细线对球的拉力和小球受到重力的合力就是单摆的回复力
B．摆球的质量m=0.051kg
C．此单摆周期为0.4πs
D．此单摆的摆长为0.4m
32．（2021·广东·中山市华侨中学高二期中）关于甲、乙图对应的说法正确的是（　　）
A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动
B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置O点
C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力
D．图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力不为零
33．（2022·全国·高二期末）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的摆长约为1.0 m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin πt cm
C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
34．（2021·全国·高二专题练习）如图甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A．单摆振动的周期是6s
B．t＝2s时，摆球的速度最大
C．摆球的质量增大，周期越大
D．该单摆的摆长约为16m
35．（2021·全国·高二专题练习）做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为l＋
C．这个双线摆的周期为T=
D．图中双线摆的θ角越小越好
E.小球宜采用密度大的铅球或者铁球
三、解答题
36．（2022·浙江嘉兴·高二期末）如图所示图甲中O点为单摆的固定悬点，现将一个小摆（可视为质点）拉至A点，此时细线处于绷紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。∠AOB=∠COB=（小于10°且是未知量）。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，求：
（1）单摆的振动周期T；
（2）单摆的摆长L；
（3）摆球运动过程中的最大动量p。
37．（2021·山东烟台·高二期中）如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的正下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此时摆球继续向右摆动，设向右为正方向，摆球的振动图像如图乙所示，不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度，结果可用分式表示，求：
（1）单摆的振动周期；
（2）钉子的位置P点距离悬点O的距离；
（3）图像中与的比值。
38．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）某学校的兴趣小组在实验室做单摆振动实验。如图甲所示为单摆在B、C两点间振动的情形，O点是平衡位置，图乙是这个单摆的振动图像，单摆振动的周期为T0，取摆球向右运动的方向为正方向，学校所在地的重力加速度为9.801m/s2。若将此单摆移至悬停在某一高度的热气球载人舱中，做摆角小于5°的振动，测得周期为T，已知地球半径为R。
（1）求此单摆的摆长。（结果保留两位有效数字）
（2）求该热气球此时离海平面的高度。（均用题中物理量的符号表示）
39．（2021·全国·高二期中）将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=α；α小于10°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题（包括图）所给的信息，求：（g取10m/s2）
（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球的质量；
（3）摆球运动过程中的最大速度。
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【详解】
AB．一根线系着一个球悬挂起来，并且满足细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多时，这样的装置才能视为单摆，故A错误，B正确；
C．只有在摆角很小的情况下，单摆的振动才是简谐运动，故C错误；
D．两个单摆结构相同时，它们的振动步调不一定相同，还与是否是受迫振动还是简谐振动有关，故D错误。
故选B。
2．C
【详解】
A．单摆摆球从平衡位置运动到最大位移处再回到平衡位置完成全振动的一半，选项A错误；
B．若单摆做简谐运动的周期为T，因单摆每次到达平衡位置时动能都是最大的则摆球动能变化的周期也为，选项B错误；
C．摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供单摆摆球的回复力，选项C正确；
D．单摆摆球经过平衡位置时有向心加速度，则加速度不为零，选项D错误。
故选C。
3．C
【详解】
A．单摆的回复力是重力的切向分力，选项A正确；
B．单摆做简谐运动的条件是摆角很小，不超过5°，选项B正确；
C．单摆做简谐运动时周期，要求摆角很小不超过5°，选项C错误；
D．单摆振动中加速度不断变化，是变加速运动，选项D正确。
本题选不正确的，故选C。
4．A
【详解】
A．根据回复力的定义知，摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，A正确；
B．单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球受力的合力，但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，B错误；
CD．摆球经过平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因悬线方向上要受向心力，CD错误。
故选A。
5．B
【详解】
A．单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，回复力、向心力都是效果力，A错误；
BCD．重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，此时摆线的拉力等于重力沿摆线的分力，则摆线的拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，CD错误B正确。
故选B。
6．D
【详解】
AB．由图像可知甲、乙两单摆的周期之比为1：2，根据
则单摆的摆长之比为1：4，AB错误；
CD．两单摆的摆球质量相同，最大回复力
振幅之比为2：1，则最大回复力之比为8：1，C错误D正确。
故选D。
7．D
【详解】
AB．摆球在摆动过程中，最高点C处是摆球的最大位移位置，速度为零，回复力最大，故AB错误；
CD．在最低点B，是摆球的平衡位置，速度最大，动能最大，重力势能最小，摆球做圆周运动，绳的拉力最大，加速度不为零，故C错误、D正确。
故选D。
8．B
【详解】
A．振幅为偏离平衡位置的最大距离，故甲、乙两个单摆的振幅分别为2cm、1cm，A错误；
B．甲、乙的周期分别为4s、8s，由单摆周期公式
可知，甲的摆长较短，但甲的振幅较大，机械能为摆球到达最大位移处的势能，且摆球质量未知，故可能相等，B正确；
C．第4s末，两摆球均在平衡位置，故甲、乙两摆球切线方向的加速度均为零，但向心加速度均不为零，C错误；
D．第2s末甲处于平衡位置，速度达到最大，乙处于最大位移处，速度为零，向心加速度为零，D错误。
故选B。
9．D
【详解】
A．由图可知，振动周期是0.8s，所以振动频率为1.25 Hz，A错误；
B．摆球的位移为负向最大，所以摆球位于B点，此时绳的拉力与重力法向分力平衡，所以拉力最小。B错误；
C．时摆球位于平衡位置O，回复加速度为零，但是向心加速度不为零。C错误；
D．根据周期公式得
D正确。
故选D。
10．C
【详解】
摆的摆动具有周期性，题中每次经过半个周期通过平衡位置或最右端；故3s和4s都是半周期的整数倍，故时间差1s也是半周期的整数倍；即
；
（n为正整数）
A.T＝0.5s时，n＝4，故A正确；
B.T＝1.0s时，n＝2，故B正确；
C.T＝1.5s时，n＝，故C错误；
D.T＝2.0s时，n＝1，故D正确；
故选C．
11．D
【详解】
A.图中的A位于正向最大位移，对应单摆中的G点，故A错误；
B.根据加速度与位移的关系：可知，单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向不变，故B错误；
C.能增加说明摆球正在远离平衡位置，且速度为正，即正在由E向G运动，对应的时间为0～0.5s，故C错误；
D.加速度为正说明回复力是向右的，则应该位于平衡位置的左侧，即位移为负，又加速度在减小，说明回复力在减小，正在衡位置，即正在由F向E运动，对应的时间为1.5s～2.0s，故D正确．
故选D。
12．D
【详解】
A．由图乙可知，单摆周期为2s，由单摆周期公式
可解得单摆的摆长为
A错误；
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为
B错误；
C．从t＝0.5s到t＝1.0s的过程中，摆球从最高点回到平衡位置，摆球的重力势能逐渐减小，C错误；
D．从t＝1.0s到t＝1.5s的过程中，摆球从平衡位置回到最高点，位移逐渐增大，回复力与位移成正比，古摆球所受回复力逐渐增大，D正确。
故选D。
13．D
【详解】
AB．根据单摆的周期公式
代入数据可得，该沙摆的周期为
则频率为
故AB错误；
CD．由题图可知，匀速抽出木板的过程中，沙摆刚好完成两次全振动，故匀速抽动木板的速度大小为
故C错误，D正确。
故选D。
14．C
【详解】
A.由题图乙知周期，选项A错误；
B.则频率
选项B错误；
C.由题图乙知，时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球在M点，选项C正确；
D.由单摆的周期公式
得
选项D错误。
15．A
【详解】
A．a摆振动起来后，b、c在a摆的驱动下做受迫振动，振动频率等于a摆的固有频率，与自身的固有频率无关，振动周期等于a的振动周期；已知c摆的周期为T0，所以a的振动周期也是T0，根据单摆周期公式，即可估算出a摆的摆长，故A正确；
B．b、c的振动幅度与自身固有频率以及驱动力的频率（a摆的固有频率）有关，即两者越接近振幅越大， 由于c的摆长与a相等，所以c的振动频率等于自身固有频率，所以c发生共振，振幅最大，故B错误；
C．b、c做受迫振动，振动周期都等于驱动力的周期（a摆的固有周期），故C错误；
D．无法得到b摆的固有周期，所以无法算出其摆长，D错误。
故选A。
16．A
【详解】
设相邻两次闪光的时间间隔为，则摆球在左侧的摆动周期为
摆球在右侧的摆动周期为
可得
根据单摆周期公式
可解得
则O、P两点间的距离为
故选A。
17．C
【详解】
根据单摆的周期公式
可得此单摆的周期为
故选C。
18．C
【详解】
星球表面上的物体有
单摆周期公式为
联立解得，该单摆的周期为
故选C。
19．C
【详解】
已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，根据单摆的周期公式
可知，要使该单摆在月球与在地球上周期相同，所必须将摆长缩短为，单摆的周期与摆球的质量无关，故C正确。
故选C。
20．D
【详解】
A．由题图结合简谐振动的特点可知，同一摆球在1s和3s时的加速度大小相等，但方向相反，故A错误；
B．由题图乙结合简谐振动的特点可知，乙摆球在1s和3s时速度大小相等，但方向相反，故B错误；
C．由题图可知，甲、乙两个单摆的周期分别为4s和8s，根据单摆周期公式
可得二者摆长之比为
故C错误；
D．由题图甲可知，甲摆球的振幅为2cm，圆频率
且0时刻，摆球位于平衡位置，故可得甲摆球位移随时间变化的关系式为
故D正确。
故选D。
21．C
【详解】
A.由于向右摆动为正方向，可知开始计时摆球在A点，A错误；
B. 由图乙可知，振动周期为2s，因此振动频率是0.5Hz，B错误；
C.图中点是摆球从正的最大位移处向负方向振动，C正确；
D.根据单摆的振动周期公式
可求的单摆的摆长
D错误。
故选C。
22．A
【详解】
A．摆球到最低位置时，绳上的拉力最大，在一个周期内摆球两次经最低点，由乙图可知单摆的周期为T=t2，A错误，符合题意；
B．由单摆的周期公式
可以求出摆球振动的摆长
B正确，不符合题意；
C．由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）是半个周期，所以可以求得由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为，C正确，不符合题意；
D．在小于5°的情况下，单摆的振动是简谐运动，所以增大但周期不变，D正确，不符合题意。
故选A。
23．B
【详解】
根据单摆公式，对甲摆有
T甲=2π
对乙摆有
T乙=2π
对丙摆，由于摆动过程中洛伦兹力总是垂直于速度方向，故不可能产生沿圆弧切向的分力效果而参与提供回复力，所以周期不变，即
T丙=2π
对丁摆，由于摆球受竖直向下的重力的同时，还受竖直向下的电场力，电场力在圆弧切向产生分力，与重力沿切向的分力一起提供回复力，相当于重力增大了。等效重力
F=mg＋qE
故等效重力加速度
故周期
T丁=2π
所以
T乙>T甲=T丙>T丁
ACD错误，B正确。
故选B。
24．C
【详解】
A．单摆周期
与质量无关，所以无法得到两球的质量关系，A错误；
B．从图上知
则摆长相等；B错误；
C．由图像可知
两单摆相位相差，C正确；
D．由于两个摆的初相位不同，所以只有从平衡位置或最大位移处开始计时，而且末位置也是在平衡位置或最大位移处的特殊情况下，经过相同时间，两摆球通过的路程才一定满足
若不能满足以上的要求，则不一定满足
D错误。
故选C。
25．D
【详解】
根据周期公式
可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图1中沿斜面的加速度为
所以周期
题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为
所以周期
题图3中的周期
题图4中的等效重力加速度为
所以周期
故，故ABC错误，D正确。
故选D。
26．B
【详解】
A．根据振动图象读出周期
T=2s
振幅
A=10cm
由
可得到角频率
ω=πrad/s
则单摆的位移x随时间t变化的关系式为
x=Asinωt=10sin（πt）cm
故A错误；
B．根据单摆周期公式
代入数据可得
L=1m
故B正确；
C．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，速度增大，所以动能逐渐增大，故C错误；
D．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，故D错误。
故选B。
27．B
【详解】
小球在滑动中机械能守恒，易知
v1＞v2
小球在圆弧面上的受力类似于单摆的受力，且AO弧长为10 cm，远小于圆弧的半径，故小球的摆角很小，小球的运动是简谐运动，而简谐运动的周期与振幅无关，这样小球从点A运动到点O和从点B运动到点O的时间相等,即
t1=t2
故ACD错误，B正确。
故选B。
28．C
【详解】
A．小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，由乙图可知单摆的周期T=t2，故A错误；
B．由单摆的周期公式
可得
摆球振动的摆长
故摆长可以求出，故B错误；
C．由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为周期的一半
故C正确；
D．在小于5°的情况下，周期不变，故D错误。
故选C。
29．C
【详解】
A．由题意可知，物块的摆角为45°，不满足单摆摆角小于5°的条件，则物块的运动不能视为简谐运动，故A错误；
B．对物块从最低点到最高点的运动过程，根据动能定理有
解得
故B错误；
C．根据机械能守恒定律可知物块第二次经过A点时的速度与第一次经过A点时的速度大小相同，但方向不同，故C正确；
D．设夹角为β时物块的速度大小为v′，根据动能定理有
根据牛顿第二定律有
联立解得
故D错误。
故选C。
30．ABD
【详解】
A．由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式可知，甲、乙两单摆的摆长l相等，A项正确；
B．甲单摆的振幅为10cm，乙单摆的振幅为7cm，则甲单摆的振幅比乙单摆的大，B项正确；
C．尽管甲单摆的振幅比乙单摆的大，两单摆的摆长也相等，但由于两单摆的质量未知，所以无法比较两单摆机械能的大小，C项错误；
D．在t=0.5s时，甲单摆经过平衡位置，乙单摆经过负向最大位移处，所以此时有正向最大加速度的是乙单摆，D项正确。
故选ABD。
31．CD
【详解】
A．当单摆的摆角较小时，摆球的回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，是摆球所受的绳的拉力与重力的合力沿切线方向的分量，故A错误；
CD．小球在一个周期内两次经过最低点，由图可知周期
由单摆周期公式
代入数据解得
故CD正确；
B．在最高点A有
在最低点B，有
从A到B，由机械能守恒定律得
联立解得
故B错误。
故选CD。
32．BD
【详解】
A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，A错误；
B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，B正确；
C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，C错误；
D．题图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力指向圆心，D正确。
故选BD。
33．AB
【详解】
A．由题图乙可知单摆的周期
T=2s
振幅
A=8 cm
由单摆的周期公式
代入数据可得
L≈1m
故A正确；
B．由
可得
ω=π rad/s
则单摆的位移x随时间t变化的关系式为
x=Asin ωt=8sin πt cm
故B正确；
C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C错误；
D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，故D错误。
故选AB。
34．BD
【详解】
A．由图像知，单摆的周期8s，A错误；
B．t＝2s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；
C．根据单摆周期公式
T＝2π
周期与质量无关，C错误；
D．根据周期公式，即
T＝2π
又周期为8s，得摆长
l≈16m
D正确。
故选BD。
35．ACE
【详解】
A．若为圆锥摆时，则
解得
小于单摆的周期
选项A正确；
B．这个双线摆的摆长为
L=lcosθ＋
选项B错误；
C．这个双线摆的周期为
选项C正确；
D．图中双线摆的θ角太小的话，摆动起来越不稳定，选项D错误；
E．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，选项E正确。
故选ACE。
36．（1）T=0.8πs ；（2）L=1.6m；（3）
【详解】
（1）由乙图可知T=0.8πs；
（2）由单摆的周期公式
解得
L=1.6m
（3）在最低点B，根据牛顿第二定律，有
设最大摆角为，在最高点A有
从A到B
联立，可得
m=0.04kg， v=0.4 m/s
则摆球运动过程中的最大动量
37．（1）；（2）；（3）
【详解】
(1)由图像可知，单摆完成一次全振动的时间为
(2)由乙图可知，小球在左侧摆动时，单摆的周期为，由周期公式
解得该单摆摆线的长度为
小球在右侧绕着P点摆动时，周期为，由周期公式
解得该单摆碰到钉子后的摆长为
故钉子的位置P距离悬点O的距离
(3)设单摆在左侧摆动的最大偏角为，在右侧摆动的最大偏角为，由数学知识可得
由机械能守恒定律得
38．（1）；（2）
【详解】
（1）由单摆的振动图像，有
T0=0.8s
根据公式T0=2π，可得
L==0.16 m
（2）根据单摆的周期公式
T0=2π、T=2π
其中L是单摆的摆长，g0和g分别是两地点的重力加速度，根据万有引力定律公式可得
g0=G
g=G
由以上各式联立解得
39．（1）T=0.4πs，0.4m；（2）0.05kg；（3）0.283m/s
【详解】
（1）摆球受力分析如图所示：
小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律
T=0.4πs
由单摆的周期公式为
解得
（2）（3）在最高点A，有
在最低点B，有
从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得
联立三式并代入数据得

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