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1.3.2 空间向量运算的坐标表示 班级：______ 姓名：_______
【学习目标】
1.掌握平行向量，垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行，向量的垂直问题.
2.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
【学习重难点】
1. 重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
2. 难点：向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
【知识梳理】
1、空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
加法：a＋b=______________________
减法：a－b=______________________
数乘：λa=
数量积：a·b＝
2、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b a＝λb(λ∈R)
a⊥b a·b＝0
模 |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝
3、空间两点间的距离公式
P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则= .
【典型例题】
例1 空间向量的坐标运算
（1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.
（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________.
例2 空间向量的平行与垂直
设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
例3 空间向量夹角与长度的计算
在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
【练习巩固】
一、单选题
已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
设、，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
已知，，且，则 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
若平面的法向量分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为( )
A. B. C. D.
若向量，，且与夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
已知，，，若向量，，共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
已知空间向量，，则，的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 根据的取值而定
二、多选题
已知，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 为钝角
D. 在方向上的投影向量为
已知空间中的三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
三、填空题
已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
已知，，，点在平面内，则 ．
解答题
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cos〈，〉．
已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
15.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.1.3.2 空间向量运算的坐标表示 班级：_______ 姓名：_______
【学习目标】
1.掌握平行向量，垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行，向量的垂直问题.
2.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
【学习重难点】
1. 重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
2. 难点：向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
【知识梳理】
1、空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
加法：
减法：
数乘：
数量积：
2、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a∥b a＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0
模 |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
3、空间两点间的距离公式
P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则
【典型例题】
例1 空间向量的坐标运算
（1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________.
（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________.
例1（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)
＝(－3，1，7).
（2）－ 解析： cos〈a，b〉＝＝＝－.
（3）2 析： ||＝＝2.
例2 空间向量的平行与垂直
设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
例2解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.
因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
例3 空间向量夹角与长度的计算
在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
例3 解：如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系C xyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝ ＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2), ＝(0，1，2)，
∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos 〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
【练习巩固】
一、单选题
已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量平行的性质列方程，求出，，由此能求出的值．
【解答】
解：向量，，且，
，
解得，，
所以．
故选：．

设、，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量垂直，平行的条件，空间向量模长的求法，属于基础题．
先根据分别求出，，然后求出的坐标，再求模长即可．
【解答】
解：因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，．
故选：．

已知，，且，则 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．
先求出，，再利用向量平行求参数．
【解答】
解：由题意知，，
．
存在实数，使，
，解得
故选B．

若平面的法向量分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直及平面法向量的概念和空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
先根据面面垂直可得到两平面的法向量垂直，即其数量积为，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积得到等式，解之即可．
【解答】
解：，
平面，的法向量互相垂直，
则，
解得，
故选B．

已知的三个顶点坐标分别为，，，则的重心坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算和向量共线的坐标表示，是基础题．
【解答】
【解析】设的重心的坐标为，为坐标原点，的中点为，
则

，
即，，．
的重心坐标为．
故选B．

若向量，，且与夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查空间向量夹角的坐标表示，是基础题
【解答】
【解析】因为向量，，
所以， ，解得故选C．

已知，，，若向量，，共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面基本定理，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．属于基础题．
若，，共面，则存在实数，，使得，化简得到方程组，解方程组即可求出实数
【解答】
解：，，，
若，，共面，则存在实数，，使得，
，
，可得
故选A．

已知空间向量，，则，的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 根据的取值而定
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，是基础题
【解答】
【解析】向量，，
，故选A．

二、多选题
已知，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 为钝角
D. 在方向上的投影向量为
【答案】
BD
【解析】
【分析】
本题考查了共线与共面向量定理及应用，空间向量的数量积及运算律和投影向量空间向量，属于中档题．
利用空间向量的数量积，结合共线向量定理对与进行判断，利用共线向量定理对进行判断，再利用投影向量空间向量对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于因为，，
而，
所以不成立，故A错误
对于因为，，
所以，因此，故B正确
对于因为，，
而，且与不共线，
所以为锐角，故C错误
对于 因为，，
所以在方向上的投影向量为，故D正确．
故选BD．

已知空间中的三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
【答案】
AC
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的坐标计算，属于中档题．
【解答】
解：，，，
，，，
，故A中说法正确
不存在实数，使得，，不共线，故B中说法错误
，故C中说法正确
， ，故D中说法错误．

三、填空题
已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积，空间向量的夹角和模，属于中档题．
由夹角为钝角，得到两向量的数量积小于，且两向量不平行，建立不等式，解得结果．
【解答】
解：，，
，
，
，
设向量与的夹角为，
与夹角为钝角，
，且，
且，
且，
即的取值范围是．
故答案为．

已知，，，点在平面内，则 ．
【答案】

【解析】
【分析】
本题考查空间向量的基本定理，考查空间向量的坐标表示，属于基础题．
利用空间向量的基本定理得存在唯一一对实数，，使得成立，利用空间向量的坐标表示，建立关于的方程组，解方程组即可．
【解答】
解：，，，，
，
因为点在平面内，所以存在唯一一对实数，，使得成立，
所以，
因此，解得．
故答案为：．

解答题
13.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD．
(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cos〈，〉．
13.解：(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G．
＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，所以⊥，即EF⊥B1C．
(2)因为＝－(0,1,1)＝．
所以||＝．
又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝．
14.已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．
14. 解：(1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得∴λ＝，m＝3．
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴化简，得解得λ＝－1．
因此，a＝(0,1，－2)．
15.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
15 解(1)设侧棱长为b,则A(0，－1，0)，B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).因为AB1⊥BC1，所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝.故侧棱长为.
(2)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，因为||＝＝，
||＝＝2，·＝(，1，)·(－，1，0)＝－()2＋1×1＝－2，
所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.

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