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1.3.1 空间直角坐标系 班级：_________ 姓名：___________
【学习目标】
1. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标．
【教学重难点】
重点：空间直角坐标系的建立.
难点：根据建立的直角坐标系写出相应点的坐标及向量坐标.
【知识要点】
1.空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.空间直角坐标系中的坐标:
给定一个空间直角坐标系和向量，其坐标向量为，若，则有序数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量,若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．
3.空间直角坐标系中对称点的坐标: 在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
点P关于原点的对称点是 P1(-x,-y,-z) ；
点P关于横轴(x轴)的对称点是_P2(x,-y,-z) _；
点P关于纵轴(y轴)的对称点是 P3(-x,y,-z) ；
点P关于竖轴(z轴)的对称点是_P4(-x,-y,z) __；
点P关于坐标平面xOy的对称点是 P5(x,y,-z) ；
点P关于坐标平面的对称点是_P6(x,-y,-z) ；
点P关于坐标平面xOz的对称点是_P7(-x,y,-z) _.
【典型例题】
例1 空间直角坐标系
下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是__________
【答案】①④
如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥BD，请叙述如何建立空间直角坐标系。
【答案】解：因为AB⊥底面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD。又因为BC⊥BD，所以以点B为坐标原点，以DB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
（1）如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
（2）（多选）在空间直角坐标系中，点P(1,-3,2)在坐标平面内的射影可能为( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
（3）在空间直角坐标系中，点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于（ ）对称
A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴
【答案】C
例3 空间向量的坐标表示
如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在Oyz平面上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：因为在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，
点在平面上，且，，
所以，，，
所以的坐标为：，
，
故选：．
【练习巩固】
一、单选题
如图，在正方体中，棱长为，是上的点，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【解答】
解：由题意，可设，
因为，
所以，
所以，
故E
故选D．

在空间直角坐标系中，给出以下结论：
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于平面对称的点的坐标是；
已知点与点，则的中点坐标是；
两点间的距离为其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查空间中两点间的距离公式，中点坐标公式，同时考查空间坐标系，根据题意，逐项判断即可．
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标为，故错误；
点关于平面对称的点的坐标是，故正确；
已知点与点，则的中点坐标是，故正确；
两点、间的距离为：，故错误；
正确的是．
故选C．

在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系中关于原点对称的点坐标，属基础题．
根据关于原点对称的点，横坐标、纵坐标、竖坐标均互为相反数求解即可．
【解答】
解：设点关于原点对称的点的坐标为，
线段的中点为，
由中点坐标公式可得，，，，
．
故选D．
已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】设出点的坐标，代入，利用两个向量相等的概念，求得点的坐标.
【详解】设，故，根据得，解得，故，所以选A.
如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于
B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出．
【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则
故选C．
二、填空题
如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 ．
【答案】
【解答】
解：根据题意：为轴，则圆锥底面在平面上，
点在圆锥的母线上，圆锥底面圆半径为，
故点是底面圆周与轴正半轴的交点，
又点在圆锥的母线上，
所以这条母线在平面内，必过和两点，其与轴交于点；
即圆锥的高为，由圆锥的体积公式可得体积为．
故答案为．

如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰
当的空间直角坐标系，若点在平面内的投影为，则 ．
【答案】
【解答】
解：因为，所以在平面内的投影为，
则．

在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，则点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，
，
点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．

已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标是 ．
【答案】
【解答】
解：

已知，，，并且四边形为平行四边形，则顶点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意，线段与被其交点平分，设点的坐标为，点的坐标为，于是点既是的中点，又是的中点，所以， ，，所以，，，解得，，，所以顶点的坐标为．

三、解答题
画一个正方体，以为坐标原点，棱、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度．
求各顶点的坐标
求棱的中点的坐标
求四边形对角线的交点的坐标．
【答案】
解：由题意可知，、，、、、、、．
由可知棱的中点的坐标为
由可知四边形对角线的交点的坐标为

【解析】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
已知是空间的一个基底，是空间的另外一个基底，若一个向量在基底下的坐标为，求向量在基底下的坐标．
【答案】
解：设向量在基底下的坐标为，
则，
所以，解得故在基底下的坐标为．

【解析】本题考查空间向量基本定理及应用，属于中档题．
在三棱柱中，侧棱底面，所有的棱长都是，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．
【答案】
解：如图所示，取的中点和的中点，连接，，可得，，
分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
因为各棱长均为，
所以，．
因为，，均在坐标轴上，
所以，，．
因为点，均在平面内，
所以， ．
因为点在平面内的射影为点，且，所以．
【解析】本题考查空间直角坐标系下点的坐标，属中档题．
取的中点和的中点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，标出个点坐标即可．1.3.1 空间直角坐标系 班级：_________ 姓名：___________
【学习目标】
1. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标．
【教学重难点】
重点：空间直角坐标系的建立.
难点：根据建立的直角坐标系写出相应点的坐标及向量坐标.
【知识要点】
1.空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.空间直角坐标系中的坐标:
给定一个空间直角坐标系和向量，其坐标向量为，若，则有序数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量,若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．
3.空间直角坐标系中对称点的坐标: 在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
点P关于原点的对称点是__________；
点P关于横轴(x轴)的对称点是__________；
点P关于纵轴(y轴)的对称点是 ___________；
点P关于竖轴(z轴)的对称点是___________；
点P关于坐标平面xOy的对称点是__________；
点P关于坐标平面的对称点是__________；
点P关于坐标平面xOz的对称点是___________.
【典型例题】
例1 空间直角坐标系
下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是__________
如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥BD，请叙述如何建立空间直角坐标系。
例2 空间直角坐标系中点的坐标表示
（1）如图所示，正方体的棱长为，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
（2）（多选）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影可能为( )
A. B. C. D.
（3）在空间直角坐标系中，关于( )对称。
A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴
例3 空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，，则向量的坐标为( )
B.
C. D.
【练习巩固】
一、单选题
如图，在正方体中，棱长为，是上的点，且，则点的坐标为( )
B. C. D.
在空间直角坐标系中，给出以下结论：
点关于轴的对称点的坐标为；
点关于平面对称的点的坐标是；
已知点与点，则的中点坐标是；
两点间的距离为其中正确的是( )
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为　 　
A． B． C． D．
如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于（ ）
B．
D．
二、填空题
如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 ．
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，若点在平面内的投影为，则 ．
在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，则点关于原点对称的点的坐标是 ．

已知为单位正交基底，且，，则向量的坐标是 ．
已知，，，并且四边形为平行四边形，则顶点的坐标为 ．
三、解答题
画一个正方体，以为坐标原点，棱、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度．
求各顶点的坐标
求棱的中点的坐标
求四边形对角线的交点的坐标．
已知是空间的一个基底，是空间的另外一个基底，若一个向量在基底下的坐标为，求向量在基底下的坐标．
在三棱柱中，侧棱底面，所有的棱长都是，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．

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