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(共34张PPT)
3.1.1　函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．
教 材 要 点
要点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
要点二　同一个函数
如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数 .
定义域
对应关系
要点三　区间及有关概念
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 ________ ________ ________ ________ ________
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
助 学 批 注
批注 　抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．
批注 　只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．
批注 　这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a 基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)
(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．(　　)
×
×
×
×
2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是(　　)
　A　　　 　B　　 　 　C　　 　　D
答案：D
解析：只有D的函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点，故选D.
3．区间(0，1)等于 (　　)
A．{0，1}
B．{(0，1)}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|0≤x≤1}
答案：C
4．若f(x)＝x－，则f(3)＝________．
1
解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.
题型探究·课堂解透
题型 1　函数的概念
例1　 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是(　　)
答案：BCD
解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
解析：对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．
答案：A
方法归纳
1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤
2．判断一个对应关系是否为函数的方法
巩固训练1　(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
答案：ABD
解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
题型 2　求函数值
例2　[2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．

解析：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
方法归纳
求函数值的2种策略
巩固训练2　已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．
解析：(1)f(2)＝＝；
(2)∵f(1)＝＝；
∴f(f(1))＝f＝＝.
题型 3　求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋； (2)y＝；
(3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
解析：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
方法归纳
求函数定义域的常用策略
巩固训练3　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1，0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0)
D．R
答案：A
解析：由，解得：x≥－1且x≠0.
∴函数f(x)＝的定义域是[－1，0)
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
[1，5]
解析：由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，
解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].
题型 4　同一函数的判断
例4　下面各组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(t)＝|t|，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
答案：B
解析：对于A，f(x)＝x的定义域为R，而g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，g(x)＝＝|x|，这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，而g(x)＝的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
巩固训练4　下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是(　　)
A．u＝v2 B．y＝x·|x|
C．y＝ D．y＝()4
答案：A
解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.3.1.1　函数的概念
课程标准
(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
要点二　同一个函数
如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数 .
要点三　区间及有关概念
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 ________ ________ ________ ________ ________
助学批注
批注 　抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．
批注 　只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．
批注 　这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a 基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)
(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．(　　)
2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是(　　)
　　　A　　　　B　　　　C　　　　D
3．区间(0，1)等于 (　　)
A．{0，1}
B．{(0，1)}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|0≤x≤1}
4．若f(x)＝x－，则f(3)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　函数的概念
例1　 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是(　　)
(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
方法归纳
1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤
2．判断一个对应关系是否为函数的方法
巩固训练1　(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0
题型 2　求函数值
例2　[2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．
方法归纳
求函数值的2种策略
巩固训练2　已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．
题型 3　求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋； (2)y＝；
(3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
方法归纳
求函数定义域的常用策略
巩固训练3　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[－1，0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0)
D．R
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
题型 4　同一函数的判断
例4　下面各组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(t)＝|t|，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝，g(x)＝
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
巩固训练4　下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是(　　)
A．u＝v2B．y＝x·|x|
C．y＝D．y＝()4
3．1.1　函数的概念
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
实数集　任意一个数x　唯一
要点二
定义域　对应关系
要点三
1．(a，b)　(a，b]
2．(－∞，＋∞)　[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，a]　(－∞，a)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：只有D的函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点，故选D.
答案：D
3．答案：C
4．解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
(2)对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．
答案：(1)BCD　(2)A
巩固训练1　解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
答案：ABD
例2　解析：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
巩固训练2　解析：(1)f(2)＝＝；
(2)∵f(1)＝＝；
∴f(f(1))＝f＝＝.
例3　解析：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
巩固训练3　解析：(1)由，解得：x≥－1且x≠0.
∴函数f(x)＝的定义域是[－1，0)
(2)由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，
解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].
答案：(1)A　(2)[1，5]
例4　解析：对于A，f(x)＝x的定义域为R，而g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，g(x)＝＝|x|，这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，而g(x)＝的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．
答案：B
巩固训练4　解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.
答案：A
1(共32张PPT)
3.1.2　函数的表示法
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)会求函数的解析式．
教 材 要 点
要点一　函数的三种表示方法
要点二　分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数 .
表示法 定义
解析法 用____________表示两个变量之间的对应关系
图象法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出________来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
表格
助 学 批 注
批注 　便于用解析式来研究函数的性质．
批注 　能直观形象地表示出函数的变化情况．
批注 　不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
批注 　分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都能用解析法表示．(　　)
(2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(　　)
(3)函数f(x)＝，是分段函数．(　　)
(4)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
×
×
√
√
2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
答案：B
解析：设f(x)＝(k≠0)，∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
3．已知函数f(x)＝，则f(－1)的值为(　　)
A．－1　　　B．0 C．1　　　D．2
答案：A
解析：因为－1<0，所以f(－1)＝－1.
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
1
1
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
题型探究·课堂解透
题型 1　与函数图象有关的问题
例1　作出下列函数的图象．
(1)y＝，x∈[2，＋∞);

解析：列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝
的一部分(图1)．
题型 1　与函数图象有关的问题
例1　作出下列函数的图象．
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].

解析：列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．
方法归纳
作函数图象的一般步骤
巩固训练1　画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0);
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解析：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.
题型 2　求函数的解析式
例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
题型 2　求函数的解析式
例2　(2)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式；
解析：(配凑法)∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
(换元法)令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．
题型 2　求函数的解析式
例2　(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，求函数f(x)的解析式．
解析：在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，
由消去f得f(x)＝－.
方法归纳
求函数解析式的方法
巩固训练2　
(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为______________．
f(x)＝x2－x＋1
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.
故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
巩固训练2　
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为____________．
解析：方法一　(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二　(配凑法)　因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
f(x)＝x2－4x＋3
巩固训练2　
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为______________．
f(x)＝x2－2x
解析：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
题型 3　分段函数
角度1　分段函数求值
例3　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
方法归纳
分段函数求值的步骤
巩固训练3　(1)已知函数f(x)＝，则f(f(3))＝(　　)
A． B．3
C． D．
答案：D
解析：∵f(x)＝，则令x＝3，得f(3)＝，
所以f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝8，则x＝(　　)
A．－3或1 B．－3
C．1 D．3
解析：根据题意得或，
解得x＝－3.
答案：B
角度2　分段函数的应用
例4　为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．
解析：设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；
当5第一部分收基本水费1.2×5元，
第二部分由基本水费与加价水费组成，
即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，
所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；
当6综上，可得y＝
方法归纳
分段函数应用问题的2个关注点
巩固训练4　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解析：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20].
由题意得函数的解析式如下：y＝
函数图象如图所示：3.1.2　函数的表示法
课程标准
(1)掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)会求函数的解析式．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用________表示两个变量之间的对应关系
图象法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出________来表示两个变量之间的对应关系
要点二　分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数 .
助学批注
批注 　便于用解析式来研究函数的性质．
批注 　能直观形象地表示出函数的变化情况．
批注 　不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
批注 　分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都能用解析法表示．(　　)
(2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(　　)
(3)函数f(x)＝，是分段函数．(　　)
(4)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝－B．f(x)＝
C．f(x)＝3xD．f(x)＝－3x
3．已知函数f(x)＝，则f(－1)的值为(　　)
A．－1　　　B．0C．1　　　D．2
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　与函数图象有关的问题
例1　作出下列函数的图象．
(1)y＝，x∈[2，＋∞);
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
方法归纳
作函数图象的一般步骤
巩固训练1　画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0);
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
题型 2　求函数的解析式
例2　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，求函数f(x)的解析式．
方法归纳
求函数解析式的方法
巩固训练2　(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为________．
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为________．
题型 3　分段函数
角度1　分段函数求值
例3　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
方法归纳
分段函数求值的步骤
巩固训练3　(1)已知函数f(x)＝，则f(f(3))＝(　　)
A．B．3
C．D．
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝8，则x＝(　　)
A．－3或1B．－3
C．1D．3
角度2　分段函数的应用
例4　为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．
方法归纳
分段函数应用问题的2个关注点
巩固训练4　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
3.1.2　函数的表示法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
数学表达式　图象　表格
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：设f(x)＝(k≠0)，
∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
答案：B
3．解析：因为－1<0，所以f(－1)＝－1.
答案：A
4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)．
　
(2)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．
巩固训练1　解析：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.
例2　解析：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)(配凑法)∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2，
∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
(换元法)令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．
(3)在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，
由消去f得f(x)＝－.
巩固训练2　解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.
故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
(2)方法一　(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二　(配凑法)　因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
答案：(1)f(x)＝x2－x＋1　(2)f(x)＝x2－4x＋3　(3)f(x)＝x2－2x
例3　解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1，1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
巩固训练3　解析：(1)∵f(x)＝，
则令x＝3，得f(3)＝，
所以f(f(3))＝f＝＋1＝＋1＝.
(2)根据题意得或，
解得x＝－3.
答案：(1)D　(2)B
例4　解析：设本季度他应交的水费为y元，当0≤x≤5时，y＝1.2x；
当5第一部分收基本水费1.2×5元，
第二部分由基本水费与加价水费组成，
即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，
所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；
当6综上，可得y＝
巩固训练4　解析：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20].
由题意得函数的解析式如下：y＝
函数图象如图所示：
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