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3.3　幂函数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(2)结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(3)能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
教 材 要 点
要点一　幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数 ，其中____是自变量，____是常数．
y＝xα
x
α
要点二　幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非偶函数 ________
单调性 在R上递增 在_______上递减， 在_______上递增 在R 上递增 在_______ 上递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
偶函数
奇函数
奇函数
(－∞，0)
(0，＋∞)
(0，＋∞)
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
图象
过定点 ______________ ______
(0，0)，(1，1)
(1，1)
助 学 批 注
批注 　幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数．
批注 　(1)当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α＜0时，y＝xα在(0 ，＋∞)上单调递减．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　)
×
√
√
×
2．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A. 0 B．1
C. 2 D．3
答案：B
解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
3．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C.f(x)的图象一定经过点(1，1)
D.f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
答案：C
解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝的定义域为(－∞，0)且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，则f(9)＝________．
3
解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，
∴＝3α，解得α＝，
∴f(x)＝，∴f(9)＝＝3.
题型探究·课堂解透
题型 1　幂函数的概念
例1　(1)(多选)下列函数中是幂函数的有(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝x4
答案：CD
解析：A、B中的函数不符合幂函数的定义，选CD.
(2)[2022·江苏常州高一期末]若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f(x)＝(　　)
　 　 C．()x　　D．()x
解析：因为y＝f(x)为幂函数，
所以设f(x)＝xn，又过点(4，2)，
所以2＝4n，解得n＝，
所以f(x)＝.
答案：A
方法归纳
求幂函数解析式的依据和方法
巩固训练1　(1)已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点()，则k＋α等于(　　)
A．　　 B．1 C．　　 　D．2
答案：A
解析：因为f(x)是幂函数，所以k＝1，又因为函数f(x)的图象过点()，
所以()α＝ 2－α＝ α＝－，因此k＋α＝.
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
5或－1
解析：因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
题型 2　幂函数的图象及应用
例2　图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　　)
A．、3、－1 B．－1、3、
C．、－1、3 D．－1、、3
答案：D
解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1，
结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3.
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
巩固训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
答案：B
解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
题型3 幂函数的性质及其应用
例3　(1)下列两个数的大小正确的是(　　)
解析：∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，又，A错；∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又，B正确；由幂函数单调性知0.20.6＜0.30.6，C错；＝，D错．
答案：B
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是增函数
C．函数f(x)的图象一定经过点(0，1)
D．函数f(x)的最小值为0
答案：BD
解析：依题意f(4)＝4α＝2，α＝，所以f(x)＝＝，
由于f(x)的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数，A选项错误．
f(x)在[0，＋∞)上递增，所以B选项正确．
f(0)＝0，所以C选项错误．
f(x)＝≥0，所以D选项正确．
(3)写出一个同时具有下列性质的函数f(x)＝________．
①f(x)是奇函数；
②f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；
③f(x1x2)＝f(x1)f(x2)．
解析：f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，
故可选，f(x)＝xα，α＜0，且α为奇数．
x－1
方法归纳
1．比较幂值大小的两种方法
2．解决幂函数有关性质问题的策略
充分利用幂函数的单调性、奇偶性
巩固训练3　(1)设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b答案：A
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的取值为(　　)．
A．－1　　B．2 C．－1或2 　 D．－2
答案：A
解析：因为y＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1 m＝2或m＝－1，
当m＝－1时，y＝x－1＝，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合是题意；
当m＝2时，y＝x2，该函数在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
(3)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝＋m(m∈R)，则f(－8)＝________．
－4
解析：因为y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝＋m(m∈R)，
所以f(0)＝＋m＝0，得m＝0，
所以f(x)＝，x≥0，
因为y＝f(x)是奇函数
所以f(－8)＝－f(8)＝＝－22＝－4.3.3　幂函数
课程标准
(1)了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(2)结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(3)能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数 ，其中____是自变量，____是常数．
要点二　幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非偶函数 ________
单调性 在R上递增 在______上递减， 在______上递增 在R 上递增 在______ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图象
过定点 ______________ ______
助学批注
批注 　幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数．
批注 　(1)当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α＜0时，y＝xα在(0 ，＋∞)上单调递减．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限，但可能出现在第二象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　)
2．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A.0B．1
C.2D．3
3．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C.f(x)的图象一定经过点(1，1)
D.f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，则f(9)＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　幂函数的概念
例1　(1)(多选)下列函数中是幂函数的有(　　)
A．y＝2x－2B．y＝x2＋2x
C．y＝D．y＝x4
(2)[2022·江苏常州高一期末]若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f(x)＝(　　)
　　C．()x　　D．()x
方法归纳
求幂函数解析式的依据和方法
巩固训练1　(1)已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点()，则k＋α等于(　　)
A．　　B．1C．　　　D．2
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
题型 2　幂函数的图象及应用
例2　
图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　　)
A．、3、－1B．－1、3、
C．、－1、3D．－1、、3
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
巩固训练2　
如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
　幂函数的性质及其应用
例3　(1)下列两个数的大小正确的是(　　)
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是增函数
C．函数f(x)的图象一定经过点(0，1)
D．函数f(x)的最小值为0
(3)写出一个同时具有下列性质的函数f(x)＝________．
①f(x)是奇函数；
②f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；
③f(x1x2)＝f(x1)f(x2)．
方法归纳
1．比较幂值大小的两种方法
2．解决幂函数有关性质问题的策略
充分利用幂函数的单调性、奇偶性
巩固训练3　(1)设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＜a＜cB．a＜c＜b
C．a＜b＜cD．c＜b＜a
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的取值为(　　)．
A．－1　　B．2C．－1或2　D．－2
(3)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝＋m(m∈R)，则f(－8)＝________．
3.3　幂函数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
y＝xα　x　α
要点二
{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　偶函数　奇函数　奇函数　(－∞，0)　(0，＋∞)　(0，＋∞)　(0，0)，(1，1)　(1，1)
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．
答案：B
3．解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝的定义域为(－∞，0)且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．
答案：C
4．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，)，
∴＝3α，解得α＝，
∴f(x)＝，∴f(9)＝＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A、B中的函数不符合幂函数的定义，选CD.
(2)因为y＝f(x)为幂函数，
所以设f(x)＝xn，又过点(4，2)，
所以2＝4n，解得n＝，
所以f(x)＝.
答案：(1)CD　(2)A
巩固训练1　解析：(1)因为f(x)是幂函数，所以k＝1，又因为函数f(x)的图象过点()，
所以()α＝ 2－α＝ α＝－，因此k＋α＝.
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案：(1)A　(2)5或－1
例2　解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1，
结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3.
答案：D
巩固训练2　解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
答案：B
例3　解析：(1)∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，又，A错；∵函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又，B正确；由幂函数单调性知0.20.6＜0.30.6，C错；＝，D错．
(2)依题意f(4)＝4α＝2，α＝，
所以f(x)＝＝，
由于f(x)的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数，A选项错误．
f(x)在[0，＋∞)上递增，所以B选项正确．
f(0)＝0，所以C选项错误．
f(x)＝≥0，所以D选项正确．
(3)f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，
又f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，
故可选，f(x)＝xα，α＜0，且α为奇数．
答案：(1)B　(2)BD　(3)x－1
巩固训练3　解析：(1)a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b(2)因为y＝(m2－m－1)xm是幂函数，
所以m2－m－1＝1 m＝2或m＝－1，
当m＝－1时，y＝x－1＝，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合是题意；
当m＝2时，y＝x2，该函数在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
(3)因为y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝＋m(m∈R)，
所以f(0)＝＋m＝0，得m＝0，
所以f(x)＝，x≥0，
因为y＝f(x)是奇函数
所以f(－8)＝－f(8)＝＝－22＝－4.
答案：(1)A　(2)A　(3)－4
1

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