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1．2　集合间的基本关系
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(2)会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(3)在具体情境中理解空集的含义．
教 材 要 点
要点一　子集、集合相等、真子集
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A____B(或B____A)
真子集 如果集合A B，但存在元素____________，就称集合A是集合B的真子集 A____B(或B____A)
集合相等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A____B
任意一个


x∈B，且x A


任何一个
任何一个
＝
2.子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的________，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么________．
子集
A C
要点二　空集
定义 ____________的集合叫做空集
符号 用符号表示为______
规定 空集是任何集合的________，是任何非空集合的________
不含任何元素

子集
真子集
助 学 批 注
批注 　子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
批注 　若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
批注 　{0}与 的区别：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .

基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)
(2)任何一个集合都有子集．(　　)
(3)若A＝B，则A B.(　　)
(4)空集是任何集合的真子集．(　　)
×
√
√
×
2．A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是(　　)
A. A∈B B．B∈A
C．A B D．B A
答案：D
解析：由Venn图易知B是A的子集，即B A，故选D.
3．下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
答案：B
解析：x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B.
4．满足A {1，2}的集合A的个数是________．
4
解析：∵A {1，2}，
∴集合A是集合{1，2}的子集，
∴集合A的个数为22＝4.
题型探究·课堂解透
题型 1　集合间关系的判断
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解析：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.

(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.
方法归纳
判断集合间关系的3种常用方法
巩固训练1　(1)若集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}，则集合A与B的关系是(　　)
A．A＝B　 B．A B
C．B A D．不确定
答案：C
解析：(1)B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}＝{x|x＝6m＋5，m∈Z}，
任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m＋5，
而x＝6m＋5＝3(2m＋2)－1∈A，
故B A，
又∵2∈A，2 B，
∴A＝B，A B都不正确．
(2)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系正确的是(　　)
A．E D C A B．D E C A
C．D B A D．E D C B A
答案：A
解析：集合A，B，C，D，E之间的关系可用Venn图表示，结合右图可知，应选A.
题型 2　子集、真子集的个数问题
例2　(1)(多选)已知集合M＝{2，4}，集合M N {1，2，3，4，5}，则集合N可以是(　　)
A．{2，4} B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
解析：因为集合M＝{2，4}，
对于A：N＝{2，4}满足M N {1，2，3，4，5}，所以选项A符合题意；
对于B：N＝{2，3，4}满足M N {1，2，3，4，5}，所以选项B符合题意；
对于C：N＝{1，2，3，4}满足M N {1，2，3，4，5}，所以选项C符合题意；
对于D：N＝{1，2，3，4，5}不是{1，2，3，4，5}的真子集，故选项D不符合题意．
答案：ABC
(2)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的子集个数为________，非空真子集的个数为________．
8
6
解析：由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的子集个数为23＝8，非空真子集个数为8－2＝6.
方法归纳
1．求集合子集、真子集个数的一般步骤
2．与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
巩固训练2　(1)集合A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集的个数是(　　)
A．16　　　B．8　　　C．7　　　D．4
解析：∵A＝{x∈N|1≤x＜4}＝{1，2，3}，
∴A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集为： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
答案：C
(2)满足 M {1，2，3}的集合M共有(　　)
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
答案：B
解析： M {1，2，3}，可按元素个数分类依次写出集合M为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个．
题型 3　根据集合的包含关系求参数
例3　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得实数m的取值范围是{m|m≥－1}．
方法归纳
根据集合的包含关系求参数的策略
巩固训练3　已知集合A＝{x|x2＋2ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且A B，则实数a的范围是________．
[－1，1)
解析：由A B，讨论集合A如下：
当A＝ 时，Δ＝4a2－4＜0，可得－1＜a＜1；
当A＝{1}时，2＋2a＝0，可得a＝－1，此时A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}符合题意；
当A＝{2}时，5＋4a＝0，可得a＝－，此时A＝＝不合题意；
当A＝B时，，故不成立；
综上，－1≤a＜1.1．2　集合间的基本关系
课程标准
(1)理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(2)会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(3)在具体情境中理解空集的含义．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点一　子集、集合相等、真子集
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A____B(或B____A)
真子集 如果集合A B，但存在元素__________，就称集合A是集合B的真子集 A____B(或B____A)
集合相等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同时集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A____B
2.子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的________，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么________．
要点二　空集
定义 ____________的集合叫做空集
符号 用符号表示为______
规定 空集是任何集合的________，是任何非空集合的________
助学批注
批注 　子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
批注 　若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
批注 　{0}与 的区别：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
基础自测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)
(2)任何一个集合都有子集．(　　)
(3)若A＝B，则A B.(　　)
(4)空集是任何集合的真子集．(　　)
2．A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是(　　)
A.A∈BB．B∈A
C．A BD．B A
3．下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0}B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}
4．满足A {1，2}的集合A的个数是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　集合间关系的判断
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
方法归纳
判断集合间关系的3种常用方法
巩固训练1　(1)若集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}，则集合A与B的关系是(　　)
A．A＝B　B．A B
C．B AD．不确定
(2)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系正确的是(　　)
A．E?D?C?AB．D?E?C?A
C．D?B?AD．E?D?C?B?A
题型 2　子集、真子集的个数问题
例2　(1)(多选)已知集合M＝{2，4}，集合M N?{1，2，3，4，5}，则集合N可以是(　　)
A．{2，4}B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4}D．{1，2，3，4，5}
(2)若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的子集个数为________，非空真子集的个数为________．
方法归纳
1．求集合子集、真子集个数的一般步骤
2．与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
巩固训练2　(1)集合A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集的个数是(　　)
A．16　　　B．8　　　C．7　　　D．4
(2)满足 ?M {1，2，3}的集合M共有(　　)
A．6个B．7个C．8个D．15个
题型 3　根据集合的包含关系求参数
例3　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1方法归纳
根据集合的包含关系求参数的策略
巩固训练3　已知集合A＝{x|x2＋2ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且A B，则实数a的范围是________．
1．2　集合间的基本关系
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．任意一个　 　 　x∈B，且x A　?　?　任何一个　任何一个　＝
2．子集　A C
要点二
不含任何元素　 　子集　真子集
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由Venn图易知B是A的子集，即B A，故选D.
答案：D
3．解析：x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B.
答案：B
4．解析：∵A {1，2}，
∴集合A是集合{1，2}的子集，
∴集合A的个数为22＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
巩固训练1　解析：(1)B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}＝{x|x＝6m＋5，m∈Z}，
任意x∈B，则存在m∈Z，使x＝6m＋5，
而x＝6m＋5＝3(2m＋2)－1∈A，
故B A，
又∵2∈A，2 B，
∴A＝B，A B都不正确．
(2)
集合A，B，C，D，E之间的关系可用Venn图表示，结合右图可知，应选A.
答案：(1)C　(2)A
例2　解析：(1)因为集合M＝{2，4}，
对于A：N＝{2，4}满足M N?{1，2，3，4，5}，所以选项A符合题意；
对于B：N＝{2，3，4}满足M N?{1，2，3，4，5}，所以选项B符合题意；
对于C：N＝{1，2，3，4}满足M N?{1，2，3，4，5}，所以选项C符合题意；
对于D：N＝{1，2，3，4，5}不是{1，2，3，4，5}的真子集，故选项D不符合题意．
(2)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，
所以集合B的子集个数为23＝8，非空真子集个数为8－2＝6.
答案：(1)ABC　(2)8　6
巩固训练2　解析：(1)∵A＝{x∈N|1≤x＜4}＝{1，2，3}，
∴A＝{x∈N|1≤x＜4}的真子集为： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
(2) ?M {1，2，3}，可按元素个数分类依次写出集合M为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个．
答案：(1)C　(2)B
例3　解析：∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得实数m的取值范围是{m|m≥－1}．
巩固训练3　解析：由A B，讨论集合A如下：
当A＝ 时，Δ＝4a2－4＜0，可得－1＜a＜1；
当A＝{1}时，2＋2a＝0，可得a＝－1，此时A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}符合题意；
当A＝{2}时，5＋4a＝0，可得a＝－，此时A＝＝不合题意；
当A＝B时，，故不成立；
综上，－1≤a＜1.
答案：[－1，1)
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