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(共21张PPT)
1.4.1　充分条件与必要条件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解充分条件、必要条件的概念．(2)了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)能通过充分性、必要性解决简单的问题．
教 材 要 点
要点　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p______q p_____q
条件关系 p是q的__________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件
q不是p的________条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
充分
必要
充分
必要
助 学 批 注
批注 　p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)
(2)若q是p的必要条件，则p是q的充分条件．(　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立．(　　)
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)
×
√
√
√
2．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件．
3．“x＞0”是“x＞1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵x>0 x>1但x>1 x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．
4．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)．
充分
解析：x＝3 x2＝9，但x2＝9 x＝3，
所以“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．
题型探究·课堂解透
题型 1　充分条件的判断
例1　(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
B．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
C．p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根
D．p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4

答案：CD
解析：A中，∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
B中，∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
C中，∵m<－2，∴12＋4m<0，
∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
D中，由a>2且b>2 a＋b>4，ab>4，∴p是q的充分条件．
方法归纳
充分条件的3种判断方法
巩固训练1　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解析：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，
所以p是q的充分条件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件．
故(1)(2)命题中p是q的充分条件．
题型 2　必要条件的判断
例2　在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
解析：(1)由于p q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
方法归纳
必要条件的3种判断方法
巩固训练2　(多选)下列命题中，p是q的必要条件的是(　　)
A．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
B．p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
C．p：x＞2，q：|x|＞2
D．p：m－n＝0，m，n∈R，q：＝1，m，n∈R
答案：ABD
解析：A中，两个三角形全等 两个三角形面积相等，所以p是q的必要条件．B中，四边形是矩形 四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件．C中，由|x|＞2，得x＞2或x＜－2，不一定有x＞2，所以p不是q的必要条件．D中，由＝1，得m＝n m－n＝0，所以p是q的必要条件．
题型 3　充分条件、必要条件的应用
例3　已知p：实数x满足3a解析：p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
方法归纳
利用充分条件、必要条件求参数范围的一般步骤
巩固训练3　已知P＝{x|a－4{a|－1≤a≤5}
解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
所以即1.4.1　充分条件与必要条件
课程标准
(1)理解充分条件、必要条件的概念．(2)了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)能通过充分性、必要性解决简单的问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p__________q p__________q
条件关系 p是q的__________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件 q不是p的________条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
助学批注
批注 　p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)
(2)若q是p的必要条件，则p是q的充分条件．(　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．(　　)
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．(　　)
2．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“x＞0”是“x＞1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　充分条件的判断
例1　(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A．p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
B．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
C．p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根
D．p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4
方法归纳
充分条件的3种判断方法
巩固训练1　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
题型 2　必要条件的判断
例2　在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
方法归纳
必要条件的3种判断方法
巩固训练2　(多选)下列命题中，p是q的必要条件的是(　　)
A．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
B．p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
C．p：x＞2，q：|x|＞2
D．p：m－n＝0，m，n∈R，q：＝1，m，n∈R
题型 3　充分条件、必要条件的应用
例3　已知p：实数x满足3a方法归纳
利用充分条件、必要条件求参数范围的一般步骤
巩固训练3　已知P＝{x|a－41.4.1　充分条件与必要条件
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
　?　充分　必要　充分　必要
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：∵x>0x>1但x>1 x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．
答案：B
4．解析：x＝3 x2＝9，但x2＝9x＝3，
所以“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．
答案：充分
题型探究·课堂解透
例1　解析：A中，∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
B中，∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
C中，∵m<－2，∴12＋4m<0，
∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
D中，由a>2且b>2 a＋b>4，ab>4，∴p是q的充分条件．
答案：CD
巩固训练1　解析：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，
所以p是q的充分条件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分条件．
故(1)(2)命题中p是q的充分条件．
例2　解析：(1)由于p q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
巩固训练2　解析：A中，两个三角形全等 两个三角形面积相等，所以p是q的必要条件．B中，四边形是矩形 四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件．C中，由|x|＞2，得x＞2或x＜－2，不一定有x＞2，所以p不是q的必要条件．D中，由＝1，得m＝n m－n＝0，所以p是q的必要条件．
答案：ABD
例3　解析：p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
巩固训练3　解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P，
所以即
答案：{a|－1≤a≤5}
1(共21张PPT)
1.4.2　充要条件
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准
(1)理解充要条件的意义．(2)会判断一些简单的充要条件问题．(3)能对充要条件进行证明．
教 材 要 点
要点　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有________，就记作__________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________条件 .
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 ________条件．
p q
q p
p q
充要
充要
助 学 批 注
批注 　p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)
(2)符号“ ”表示具有等价性．(　　)
(3)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)
√
√
√
√
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比例”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：两个三角形相似 两个三角形的三边对应成比例，即p q，
故p是q的充要条件．
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件(　　)
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
答案：C
解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大，
所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
充要条件
解析：因为p q，q r，所以p r，
所以p是r的充要条件．
题型探究·课堂解透
题型 1　充要条件的判断
例1　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
答案：AD
解析：对于结论A，由x3＜－8 x<－2 x2＞4，但是x2＞4 x>2或x＜－2 x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正确；对于结论D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，D正确．
方法归纳
判定充要条件常用方法
巩固训练1　(1)命题“x＝1且y＝2”是命题“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(　　)条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
答案：A
解析：由x2＋y2＝2x＋4y－5，
可得(x－1)2＋(y－2)2＝0，
解得x＝1且y＝2，
所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要条件．
(2)(多选)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有(　　)
A．r是q的必要条件
B．s是q的充分条件
C．s是p的充分必要条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
解析：由题意，p r，r q，r s，s p，则p r s q.
答案：BC
题型 2　充要条件的证明
例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
方法归纳
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.

巩固训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.

证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型 3　充要条件的探求
例3　已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
解析：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
方法归纳
探求充要条件的方法
巩固训练3　设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　)
A．a，b都为1 B．a，b不都为1
C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0
答案：C
解析：由ab＋1＝a＋b可得：(a－1)(b－1)＝0，
∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件．1.4.2　充要条件
课程标准
(1)理解充要条件的意义．(2)会判断一些简单的充要条件问题．(3)能对充要条件进行证明．
新知初探·课前预习——突出基础性
教材要点
要点　充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有________，就记作__________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为________条件 .
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为________条件．
助学批注
批注 　p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)
(2)符号“ ”表示具有等价性．(　　)
(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比例”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件(　　)
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1　充要条件的判断
例1　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
方法归纳
判定充要条件常用方法
巩固训练1　(1)命题“x＝1且y＝2”是命题“x2＋y2＝2x＋4y－5”的(　　)条件
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
(2)(多选)设r是p的必要条件，r是q的充分条件，s是r的充分必要条件，s是p的充分条件，则下列说法正确的有(　　)
A．r是q的必要条件
B．s是q的充分条件
C．s是p的充分必要条件
D．p是q的既不充分也不必要条件
题型 2　充要条件的证明
例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
方法归纳
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
巩固训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
题型 3　充要条件的探求
例3　已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
方法归纳
探求充要条件的方法
巩固训练3　设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　)
A．a，b都为1B．a，b不都为1
C．a，b中至少有一个为1D．a，b都不为0
1.4.2　充要条件
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．p q　q p　p q　充要　2.充要
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：两个三角形相似 两个三角形的三边对应成比例，
即p q，
故p是q的充要条件．
答案：C
3．解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大，
所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
答案：C
4．解析：因为p q，q r，所以p r，
所以p是r的充要条件．
答案：充要条件
题型探究·课堂解透
例1　解析：对于结论A，由x3＜－8 x<－2 x2＞4，但是x2＞4 x>2或x＜－2 x3<－8或x3＞8，不一定有x3＜－8，故A正确；对于结论D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，D正确．
答案：AD
巩固训练1　解析：(1)由x2＋y2＝2x＋4y－5，
可得(x－1)2＋(y－2)2＝0，
解得x＝1且y＝2，
所以“x＝1且y＝2”是“x2＋y2＝2x＋4y－5”的充要条件．
(2)由题意，p r，r q，r s，s p，则p r s q.
答案：(1)A　(2)BC
例2　证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
巩固训练2　证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0时y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以x＝0时y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
例3　解析：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
巩固训练3　解析：由ab＋1＝a＋b可得：(a－1)(b－1)＝0，
∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件．
答案：C
1

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