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第八节 函数的周期性与对称性
知识清单
一．函数的周期性
1．周期函数的概念
对于函数，若存在一个非零常数，使得对定义域内任意的都有，
则函数是周期函数，、是这个函数的周期．
2．常见的周期函数形式
（1） 函数的一个正周期；
（2） 函数的一个正周期；
（3） 函数的一个正周期．
二．函数的对称性
1．轴对称
（1） 函数关于直线对称
（2）偶函数与轴对称：函数为偶函数 函数关于直线对称
2．点对称
（1） 函数关于点对称
（2）奇函数与点对称：函数为奇函数 函数关于点对称
三．函数对称性与周期性的关系
1．有两条对称轴和 的一个正周期；
2．有两个对称中心和 的一个正周期；
3．有对称轴和对称中心 的一个正周期．
4．周期性与对称性的区分
通过对比可以发现，括号内的符号相同一般表示周期，括号内的符号相反一般表示对称．
口诀：“内同表周期，内反表对称”
题型训练
题型一 周期性的基础运用
1．已知定义在上的函数满足，且当时，，
则（ ）
A．0 B． C．18 D．
2．设函数对任意都有且，则（　　）
A．2 B． C．2020 D．
3．已知定义在上的函数满足，若，则（ ）
A．13　　 B．2　　 C．　 D．
4．已知定义在上的函数满足，当时，，
当时，．则（　　）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
5．已知函数满足，若，则不等式的解集为　 　
6．函数对于任意实数满足条件，若，则　
题型二 周期性与奇偶性的综合
7．已知函数为奇函数，且周期为4，若，则（ ）
A．2　　 B．0　 C．　 D．
8．设函数是周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，
，则（ ）
A．36 B． C．18 D．
11．已知是定义在上周期为2的函数，且有，在区间上单调递增，
则、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，
，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
13．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知定义域为的偶函数为周期函数，且其周期为8，当时，，
则　 　
15．已知是定义域为上的奇函数，且周期为4，当时，，
则
16．设是定义在上的奇函数，且，，则　 　
17．已知函数是定义域在上的周期为2的奇函数，且当时，，
则
18．已知函数是定义域在上的周期为2的奇函数，且当时，，
则
19．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数．当时，，则实数的值等于　 　
20．是定义域为的偶函数，对任意，都有，当时，，则　　
题型三 轴对称
21．对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（　 　）
A． B． C． D．
22．定义域为的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
23．定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（　 　）
A． B． C． D．
24．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则所有交点横坐标之和（　 　）
A．0 B． C． D．
25．已知函数的图象关于直线对称，且当时，则当时，
的解析式为
26．已知定义域为的函数满足，则实数的值为　 　
题型四 点对称
27．已知定义在上的函数为奇函数，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
28．定义在上的奇函数满足，若，（ ）
A． B． C． D．
29．已知定义在上的函数满足，则函数的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
30．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（　 　）
A．0 B． C． D．
题型五 对称与周期的综合
31．奇函数定义域为，当时，，且函数为偶函数，则的值为（　　 ）
A． B． C． D．3
32．已知函数是上的偶函数．若对于都有，且当时，，则的值为（　 　）
A． B． C．1 D．2
33．设是定义在上的奇函数，且，当时，.
则的值为（ 　　）
A． B． C．1 D．2
34．已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（　 　）
A． B． C． D．
35．已知是定义域为的奇函数，满足，若，
则（　 　）
A． B．0 C．2 D．50
36．已知定义在上的奇函数满足，且，
则的值为（　　 ）
A． B．0 C．1 D．2
37．定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，，则的值为（　 　）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
38．定义在上的奇函数满足，当时，，则　 　
39．已知是定义在上的偶函数，且．若当时，，
则　 　
40．已知定义在上的奇函数，对任意都满足，且当时，，则　 　
综合训练
1．已知定义在上的函数满足：对任意，都有，且在上是单调递增，若，且，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
2．定义在上的函数满足对任意的实数恒成立，且在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数与的定义域均为，且，若的图象关于对称，，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的函数满足，且当时，，
则　 　
6．已知函数的定义域为，当时，；当时，；
当时，，则　 　
7．已知定义域为函数，且，满足条件的所有
整数的和是　 　
8．若函数满足，且的图象与的图象共有个不同的交点，则所有交点的横、纵坐标之和
9．函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．
若，则　 　
10．已知函数满足：，，，
则　 　
第八节 函数的周期性与对称性参考答案
题型一 周期性的基础运用
1-4 C，B，C，B 5 ． 6．
题型二 周期性与奇偶性综合
7-10 C，A，C，B 11-13 A，C，D
14． 15． 16． 17． 18． 19．2 20．
题型三 轴对称
21-24 D，B，D，B 25． 26．2
题型四 点对称
27-30 B，A，C，B
题型五 对称与周期综合
31-35 A，C，B，C，C 36-40 A，B，4，6，2
综合训练
1-4 C，D，B，D 5-10 4，2，10，0，，

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