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第十节 函数的零点
知识清单
一．函数的零点与方程的解
1．函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
2．函数的零点，函数的图像与方程解的联系
方程有实数解函数有零点函数的图象与轴公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，
那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个
也就是方程的解．
二．用二分法求方程的近似解
1．二分法的概念
对于在区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数零点近似值的一般步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤：
（1）确定零点初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在区间：
①若，则就是函数的零点；
②若（此时零点），则令；
③若（此时零点），则令.
（4）判断是否达到精度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤（2）—（4）.
题型训练
题型一 求函数的零点（解方程）
1．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．10
2．若函数，则的零点是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．方程的解为（ ）
A．3 B． C．5 D．2
4．函数的零点是（ ）
A．2 B． C．或3 D．2或3
题型二 判断函数零点所在的区间（零点存在定理的运用）
5．方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．设为函数的零点，则（　 　）
A． B． C． D．
7．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．函数与的交点横坐标所在区间为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数有两个零点，且，则（ ）
A． B． C．， D．，
10．已知三个函数，，的零点依次为，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 判断函数零点的个数
①非初等函数的零点
对于求一些复杂函数的零点时，可利用，把函数拆分成两个我们常见的函数，
则函数与的图象的交点个数即为函数的零点个数，数形结合.
11．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．函数的实根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．函数的零点个数为（　　 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知函数，函数，则函数的零
点个数为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知函数，函数，则函数的零
点个数为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．5
②奇偶、周期与对称函数的零点
16．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，
则关于的方程在上实根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
18．已知定义域为函数满足，若函数共有个
零点，则函数所有的零点之和为（　 　）
A．0 B． C． D．
题型四 根据函数零点的个数求参数
①二次函数的零点
运用韦达定理，判断端点值的正负，对称轴的位置等，数形结合，也可用参变分离的方式求解
19．已知方程一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知方程的两根满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知方程的两个不等实数根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．函数与函数有4个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
24．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是
25．若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是
26．函数与函数有四个交点，则实数的取值范围是
②分段函数的零点
27．已知函数，若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数，若在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
③复合函数的零点
30．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
④其他零点
33．若方程有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　 　
36．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
37．已知函数，若关于的方程恰有4个互异的实数根，
则实数的取值范围为　 　
38．已知函数有唯一零点，则　
综合训练
1．若，则的两个零点分别位于区间（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．用表示三个数中的最大值，设，
则取得最小值时所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．若方程的实根在区间内，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知函数有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数有4个零点，则实数（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，则函数的零点个数为
8．已知定义在上的函数满足且当时，，
则函数的零点个数为
9．已知函数，其中，若存在实数，使得关于x的方程
有三个不同的根，则的取值范围是　 　
第十节 函数的零点参考答案
题型一 求函数的零点
1-4 A，B，D，C
题型二 判断函数零点所在的区间
6-10 B，C，C，C，D，A
题型三 判断函数零点的个数
①非初等函数的零点
11-15 D，C，C，A，D
②奇偶、周期与对称函数的零点
15-18 B，C，B
题型四 根据零点个数求参数
①二次函数的零点
19-22 A，A，C，B
23． 24． 25．（0，1） 26．（，）
②分段函数的零点
27-30 C，A，D
③复合函数的零点
31-32 C，A，B
④其他零点
33-34 A，B 35． 36． 37．（0，1）（9，+∞） 38．
综合训练
1-5 A，B，B，A，C 6．D 7．3 8．3 9．（3，）

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