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第七节 对数与对数函数
知识清单
一．对数
1．对数的概念
一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记作，
其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数与指数的关系
当时，，负数和0没有对数．
3．两种特殊的对数
（1）通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．
（2）以无理数为底的对数叫做自然对数，并把记作．
4．对数的运算
（1）恒等式（）
① ② ③
（2）对数的运算性质（）
①
②
③
（3）对数换底公式（）
（4）常用推论
① （）
②（）
二．对数函数
1．对数函数的定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是．
2．对数函数的图象及性质
函数
图象
(
0
1
) (
0
1
)
定义域
值域
过定点 过定点，即当时，
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
3．底数对对数函数图象的影响（底大图右）
（1）在第一象限，从顺时针方向看图象，逐渐增大，
当，时，； 当，时，；
（2）在第四象限，从顺时针方向看图象，逐渐增大，
当，时，； 当，时，．
4．反函数
（1）一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线对称．
（2）单调函数都有反函数，它的反函数与原函数有相同的单调性．
题型训练（一）
题型一 对数的概念与指、对数的关系
1．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，那么
4．已知，那么
题型二 对数的运算性质与换底公式
5．若，则（　　）
A． B． C．1 D．
6．设，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（1） ，（2）
8．（1） ，（2）
题型三 对数运算综合
9．已知，，，，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，那么用表示是（　　）
A． B． C． D．
11．已知，则
12．已知，若，则
题型训练（二）
题型一 对数函数的定义域
1．函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为
题型二 对数函数的值域问题
3．已知函数区间上恒有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．函数的值域为
5．函数在区间上的最大值为　 　，最小值为　 　
6．已知函数，若的定义域为，则实数的取值范围是　 　 ，
若的值域为，则实数的取值范围是　 　
题型三 对数函数的图象
7．函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，函数与的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
题型四 对数函数的单调性
①复合函数的单调性
9．函数的单调减区间为（　　）
A． B． C． D．
10．函数的递增区间是（　　）
A． B． C． D．
11．设函数在区间是减函数，则的最小值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
12．设，则（　　）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
②单调性的应用
13．设为正实数，则“”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14．不等式的解集为
15．不等式的解集为
16．已知，则实数的取值范围是
题型五 对数函数相关的奇偶性问题
17．已知函数，若，则　 　
18．已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判定在上的单调性，并加以证明．
题型六 对数式比较大小
①化为同底数
19．设，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
20．已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
②化为同真数
21．设，则（　　）
A． B． C． D．
22．若，则（　　）
A． B． C． D．
③找中间值
23．已知，则（　　）
A． B． C． D．
24．设，则三者大小关系为（　　）
A． B． C． D．
25．已知，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
26．设，则（　　）
A． B． C． D．
题型七 反函数
27．若函数的反函数的图象过点，则函数的图象必过点（　　）
A． B． C． D．
28．若函数与的图象关于对称，且，则（　　）
A．3 B．4 C．6 D．20
综合训练
1．设，则（　　）
A． B． C． D．
2．设，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则（　　）
A．25 B．5 C． D．
4．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知．设，则（　　）
A． B． C． D．
11．设，则（　　）
A． B． C． D．
12．已知为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．函数的图象恒过定点
14．设函数是定义在上的奇函数，且，则
15．已知，则的大小关系为
16．已知函数，若函数在上单调递减，
则实数的取值范围是
17．已知．
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上是单调递增的，求实数的取值范围．
18．已知是偶函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性；
（3）若函数，是否存在实数使得有最小值0？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
第七节 对数与对数函数
题型训练（一）
题型一 对数的概念与指、对数的关系
1-2 D，B 3． 4．8
题型二 对数的运算性质与换底公式
5．C 6．D
7．（1） （2）3
8．（1）10 （2）4
题型三 对数运算综合
9-10 B，A 11． 12．
题型训练（二）
题型一 对数函数的定义域
1．A 2．
题型二 对数函数的值域问题
3．D 4． 5．10， 6．，
题型三 对数函数的图象
7-8 A，B
题型四 对数函数的单调性
9-13 D，D，B，D，A 14． 15． 16．
题型五 对数函数相关的奇偶性问题
17． 18．（1） （2）在上的单调递减，证明略
题型六 对数式比较大小
19-22 B，A，D，D 23-26 B，D，C，A
题型七 反函数
27-28 C，A
综合训练
1-5 B，C，C，B，A 6-10 D，D，D，C，A 11-12 B，D
13． 14． 15． 16．
17．（1） （2）
18．（1） （2）在上的单调递增 （3）

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