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1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时　空间中直线、平面的垂直
学习目标：
理解向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的原理，并能简单应用.
学科素养：
1.正确写出点坐标，发展直观想象素养；
2.准确进行数量积运算，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直；
难点：准确求出法向量并进行准确的计算.
学习过程：
一、知识点：
1.空间中直线与直线垂直
、分别是直线、的方向向量，则
=0.
2.空间中直线与平面垂直
是直线的方向向量，是的法向量，则
，使得.
3.空间中平面与平面垂直
、分别是平面的法向量，则
.
二、习题
题型1------线线垂直
【例】.如图，在正方体中，点在上，且；点在上，且
求证：；．
证明：如图建立空间直角坐标系.
，，，，，.
，.
，；
.
0，．

解题流程梳理：
【变式练习】.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，以为原点建立空间直角坐标系 求证：E.
证明：，，，.
，，.
，即．
题型2-----------线面垂直
【例】.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．
证明：平面．
证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.
，，，，.
，，.
，
，
，平面
解题流程梳理：
【变式练习】.如图，在正方体中，，分别是，的中点求证：平面．
证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为.
则，，，.
，.
，；
，.
，平面，平面，
平面．
解题流程梳理：
题型3---------面面垂直
【例】.如图，在长方体中，，，为的中点，连接，，，
求证：平面平面．
证明： 建立如图空间直角坐标系．
，，，
，
设平面的一个法向量为，由，得 ， 取，得
，.
设平面的一个法向量为， 由，得 ， 取，得
+，平面平面．
解题流程梳理
【变式练习】.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若为棱不含端点上的点，为中点，且
求证：平面平面．
证明：如图建立空间直角坐标系
A(0，0，0)，，，，.
，M(0，m，4-m).
，，m=4(舍)，或m=2，
设平面的一个法向量为，
由，得 ，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得.
=0，，平面平面．

三、小结
四、课后作业题
1.在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．判断直线与平面的关系．
解：由题意可知，、、两两垂直，分别以、、方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系，
，，．
，，，
设平面的一个法向量为=(x，y，z)，则，，令x=1，
得(1，0，1).
－2，平面．
2.在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，，，．
线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．
解：线段上不存在点，使平面平面．
证明如下：平面，平面．
建立如图所示的空间直角坐标系，设.
，.
，.
设平面的法向量为，则，得，取，得；
，.
设平面的法向量为，则，得，取，得．
，线段上不存在点，使平面平面． 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时　空间中直线、平面的垂直
学习目标：
理解向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的原理，并能简单应用.
学科素养：
1.正确写出点坐标，发展直观想象素养；
2.准确进行数量积运算，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直；
难点：准确求出法向量并进行准确的计算.
学习过程：
一、知识点：
1.空间中直线与直线垂直
、分别是直线、的方向向量，则
=0.
2.空间中直线与平面垂直
是直线的方向向量，是的法向量，则
，使得.
3.空间中平面与平面垂直
、分别是平面的法向量，则
.
二、习题
题型1------线线垂直
【例】.如图，在正方体中，点在上，且；点在上，且
求证：；．
解题流程梳理：
【变式练习】.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，以为原点建立空间直角坐标系 求证：E.
题型2-----------线面垂直
【例】.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．
证明：平面．
解题流程梳理：
【变式练习】.如图，在正方体中，，分别是，的中点求证：平面．
解题流程梳理：
题型3---------面面垂直
【例】.如图，在长方体中，，，为的中点，连接，，，
求证：平面平面．
解题流程梳理
【变式练习】.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若为棱不含端点上的点，为中点，且
求证：平面平面．

三、小结
四、课后作业题
1.在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．判断直线与平面的关系．
2.在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，，，．
线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．

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