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第二章 机械振动
课时2.1 简谐运动
1.通过对弹簧振子的研究，体会理想模型的建立方法。
2.通过利用数码相机、频闪仪和计算机等现代化工具，探究弹簧振子的位移随时间的变化规律。
3.通过对简谐运动图像的绘制，体会并总结简谐运动的规律。
一、弹簧振子
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动．
注意：机械振动是机械运动的一种．
2．弹簧振子
如图所示，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子．
3．平衡位置：弹簧未形变时，小球所受合力为0的位置．
二、弹簧振子的位移—时间图像
1．建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．如图．
2．绘制图像：若用横轴表示振子运动的时间t，纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x，则振子振动的x t图像如图所示，是一条正弦(或余弦)曲线．
三、简谐运动
1．定义
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动．
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动．弹簧振子的运动就是简谐运动．
3．简谐运动的图像(如图所示)
(1)简谐运动的图像是振动物体的位移随时间的变化规律．
(2)简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势．
基础过关练
题组一　对弹簧振子的理解
1.如图所示，轻质弹簧上端固定，下端悬挂一钢球，组成一个振动系统。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是 (　　)
A.钢球运动的最高处为平衡位置
B.钢球运动的最低处为平衡位置
C.钢球速度为零处为平衡位置
D.钢球原来静止时的位置为平衡位置
题组二　对简谐运动的理解
2.下列说法中正确的是 (　　)
A.弹簧振子的运动是简谐运动
B.简谐运动就是指弹簧振子的运动
C.简谐运动是匀变速运动
D.简谐运动是最简单、最基本的一种机械运动
3.关于简谐运动，下列说法正确的是 (　　)
A.位移的方向总指向平衡位置
B.加速度的方向总和位移的方向相反
C.位移的方向总和速度的方向相反
D.速度的方向总和位移的方向相同
4.一质点做简谐运动，下列说法中正确的是 (　　)
A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D.质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
题组三　简谐运动的振动图像
5.质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中不属于机械振动的是 (　　)
6.(多选)关于简谐运动的振动图像，下列说法中正确的是　 (　　)
A.表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C.表示质点的位移随时间变化的规律
D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向
7.(多选)如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像(x-t图像)。由图可推断，振动物体 (　　)
A.在t1和t3时刻具有相同的速度
B.在t3和t4时刻具有相同的速度
C.在t4和t6时刻具有相同的位移
D.在t1和t6时刻具有相同的速度
8.一质点做简谐运动的图像如图所示，在0.1~0.15 s这段时间内 (　　)
A.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相同
B.加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D.加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
9.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题:
(1)质点离开平衡位置的最大距离为多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
能力提升练
题组一　简谐运动的振动图像
1.()如图所示，弹簧振子做简谐运动，在平衡位置O两侧A、B间振动。当t=0时，小球位于B点，若规定向右为正方向，则选项图中哪个图像表示小球相对平衡位置的位移随时间变化的规律 (　　)
2.()如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M(最右端N)与平衡位置O间的距离为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是 (　　)
A.图乙中x0应为l
B.0~t1时间内小球由M向O运动
C.t1~时间内小球由M向O运动
D.0~时间内与~T时间内小球运动方向相反
3.()如图所示为某一质点在0~4 s内的振动图像，下列叙述中正确的是 (　　)
A.该质点在2.5 s时向正方向运动
B.该质点在2.5 s时加速度方向为负方向
C.该质点在2 s时加速度最大，且方向为负方向
D.该质点在5 s时加速度最大，且方向为负方向
4.()质点做简谐运动，其x-t图像如图。以x轴正方向为速度v的正方向，该质点的v-t关系是 (　　)
题组二　弹簧振子的有关计算
5.()如图所示，一个质量为m=1 kg、有小孔的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，该弹簧的劲度系数k=100 N/m，小球套在光滑的杆上，能够自由滑动。不加任何外力时，小球静止在O点位置。现将小球向右拉至A点，然后由静止释放，小球将做简谐运动，小球向左运动的最远位置是B点。其中OA=10 cm，小球运动到A点时弹簧的弹性势能为1 J，不计其他阻力。求:
(1)小球在B点的位移大小和加速度大小；
(2)小球在振动过程中的最大速度大小。
6.()如图所示，一轻质弹簧上端系于天花板上，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，将小球从弹簧为自由长度时的竖直位置释放后，小球做简谐运动，则:
(1)小球从释放到运动到最低点，下降的高度为多少？
(2)小球运动到最低点时的加速度大小为多少？
答案全解全析
基础过关练
1.D　钢球原来静止时的位置为平衡位置，钢球在平衡位置附近做往复运动，在平衡位置处速度最大，故A、B、C错误，D正确。
2.A　弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动，A正确，B错误；匀速直线运动是最简单的机械运动，而简谐运动是最简单、最基本的一种机械振动，其运动的加速度时刻变化，故C、D均错误。
3.B　简谐运动位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动中位移的方向总是背离平衡位置的，而加速度的方向总是指向平衡位置的，故A选项错误，B选项正确；位移方向与速度方向可能相同，也可能相反，C、D选项错误。
4.D　做简谐运动的质点每次通过同一位置时，加速度、位移相同，速度方向可能相同也可能相反，A、C错误、D正确；质点通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误。
5.D　A、B、C三图所示质点均在某一位置附近做往复运动，均为机械振动；而D所示的质点没有往复运动过程，不属于机械振动，选D。
易错警示
将机械振动与简谐运动混为一谈，从而造成错解。需明确简谐运动只是机械振动中最简单、最基本的一种运动，简谐运动的x-t图像具有对称性，但机械振动的x-t图像不一定具有对称性。
6.BCD　简谐运动的振动图像表示质点的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，A错误，C正确；由图像可以判断任一时刻质点的位移和速度方向，B、D正确。
7.BCD　t1与t3时刻物体经过同一位置，运动方向相反，速度不相同，A错；t3与t4时刻物体经过关于平衡位置对称的两点，速度大小相等、方向相同，B对；t4与t6时刻物体的位移都是-2 cm，C对；t1和t6时刻物体经过关于平衡位置对称的两点且均向正方向运动，速度相同，D对。
8.B　由题图可知，在0.1~0.15 s这段时间内，质点沿负方向远离平衡位置，位移为负且增大，则加速度增大，速度减小，二者方向相反。故选B。
9.答案　见解析
解析　由图像上的信息，结合质点的振动过程可知:
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是|x|的最大值，为10 cm。
(2)从1.5 s到2 s这段时间内，质点位移减小，因此质点向平衡位置运动；从2.5 s到3 s这段时间内，位移增大，因此质点背离平衡位置运动。
(3)质点在第2 s末处在平衡位置，因此位移为零，质点在前4 s内完成一次全振动，其路程为4×10 cm=40 cm。
能力提升练
1.D　简谐运动的位移是指振动物体相对平衡位置的位移，是从平衡位置到末位置的有向线段。t=0时刻，小球位于B点，位移为正的最大值，小球做简谐运动的位移随着时间按照余弦规律变化，选D。
2.A　结合甲、乙两图可以知道t1时刻小球的位移为正值且最大，小球位于N点，x0应为l，A正确；
0~t1时间内位移为正值且逐渐增大，小球由O向N运动，B错误；t1~时间内位移为正值且逐渐减小，小球由N向O运动，C错误；0~时间内小球先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，~T时间内小球先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，D错误。
3.D　根据振动图像某点切线的斜率表示速度，知t=2.5 s时刻图线切线的斜率为负，速度为负，说明该质点在2.5 s时向负方向运动，A错误。该质点在t=2.5 s时位移方向为负方向，加速度的方向与位移方向相反，所以加速度方向为正方向，B错误。该质点在2 s时位移为零，加速度为零，故C错误。该质点在5 s时位移最大，且方向为正方向，故加速度最大，且方向为负方向，D正确。
4.B　质点做简谐运动时，位移、速度都随时间周期性变化，且变化的周期相等，C、D项错误；当质点由正向最大位移向平衡位置运动时，速度在增大且速度方向沿x轴负方向，A项错误，B项正确。
5.答案　(1)0.1 m　10 m/s2　(2) m/s
解析　(1)由于小球在做简谐运动，故A、B两点关于O点对称，则小球在B点的位移大小x=OB=OA=10 cm=0.1 m
小球在B点时对其受力分析，可得FB=kx=ma
解得加速度大小a=10 m/s2
(2)小球在O点所受合力为0，因此在O点时速度最大。小球在运动过程中机械能守恒，由A运动到O的过程中，弹性势能转化为动能，可得EpA=mv2
解得v= m/s
6.答案　(1)　(2)g
解析　(1)放手后小球到达平衡位置时，设弹簧伸长了x，则有mg=kx，得x=，x也是振动过程中小球离开平衡位置的最大距离，所以小球从放手到运动到最低点，下降高度为2x，即。
(2)小球在最高点时只受重力，其加速度为g，最低点和最高点关于平衡位置对称，小球在最低点和最高点时相对平衡位置的位移大小相等，故加速度大小相等，为g。

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