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第二章 机械振动
课时2.2 简谐运动的描述
1.通过阅读有关材料，知道描述简谐运动的物理量：振幅、周期、频率、相位。
2.通过分析简谐运动的表达式，理解各物理量的物理意义。
3.通过实验探究，掌握测量小球振动周期的方法。
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)．
(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．
2．周期(T)和频率(f)
内　容 周　期 频　率
定　义 做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用时间之比
单　位 秒(s) 赫兹(Hz)
物理含义 都是表示振动快慢的物理量
联　系 f＝
注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．
3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述．
二、简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝Asin或x＝Asin
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的“振幅”．
(2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率．
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝.
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位．
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．
说明：
1．相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量．
2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．
基础过关练
题组一　描述简谐运动的物理量
1.关于简谐运动的频率，下列说法正确的是 (　　)
A.频率越高，振动物体运动的速度越大
B.频率越高，单位时间内振动物体速度的方向变化的次数越多
C.频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变50次
D.弹簧振子的固有频率与振动物体通过平衡位置时的速度大小有关
2.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是 (　　)
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
3.一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.9 s后，位移的大小和经过的路程分别为　 (　　)
A.0　10 cm B.4 cm　100 cm
C.0　28 cm D.4 cm　116 cm
4.如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO=OC=5 cm。若小球从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是 (　　)
A.小球从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是2 s，振幅是5 cm
C.经过两次全振动，小球通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，小球通过的路程是20 cm
题组二　对简谐运动表达式的理解
5.某振子做简谐运动的表达式为x=2 sin(2πt+) cm，则该振子振动的振幅和周期为 (　　)
A.2 cm　1 s B.2 cm　2π s
C.1 cm　 s D.以上全错
6.有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是 (　　)
A.x=8×10-3 sin(4πt+) m
B.x=8×10-3 sin(4πt-) m
C.x=8×10-3 sin(4πt+) m
D.x=8×10-3 sin(t+) m
7.(多选)如图所示，A、B为两个简谐运动的振动图像，下列说法正确的是　 (　　)
A.A、B之间的相位差是
B.A、B之间的相位差是π
C.B比A超前
D.A比B超前
8.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3 sin(t+) cm，则 (　　)
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C. t=0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
题组三　简谐运动的周期性与对称性
9.一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3 s第一次到达点M处，再经0.2 s第二次到达M点，则其振动频率为 (　　)
A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz
10.如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在d、c间振动，振动物体从a到b历时0.2 s，振动物体经a、b两点时速度相同。若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动周期为多大？
能力提升练
题组一　描述简谐运动的物理量
1.()如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在振动过程中，振动物体从a到b历时0.2 s，振动物体经a、b两点时速度相同。若它从b点再以相同的速度回到a点历时0.4 s，则该振子的振动频率为 (　　)
A.1 Hz 　 B. Hz C. Hz 　　 D.2 Hz
2.()(多选)如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　　)
A.振动周期是2 s，振幅是8 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是16 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
3.()如图是甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的振动图像，以向右的方向作为振动物体偏离平衡位置位移的正方向，从t=0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的 (　　)
A.左方，向右运动 B.左方，向左运动
C.右方，向右运动 D.右方，向左运动
4.()一质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 (　　)
A.质点的振动频率是4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程是20 cm
C.第4 s末质点的速度为零
D.t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等，方向相同
题组二　简谐运动的表达式
5.()(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y=0.1 sin (2.5πt) m。t=0时刻，一小球从距物块h高处自由落下，t=0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度大小为g=10 m/s2，以下判断正确的是 (　　)
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时，物块与小球的运动方向相反
6.()(多选)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。下列判断正确的是 (　　)
甲
乙
A.t=0.8 s时，振动物体的速度方向向左
B.振动物体做简谐运动的表达式为x=12 sin (1.25πt) cm
C.t=0.4 s和t=1.2 s时，振动物体的加速度相同
D.从t=0.4 s到t=0.8 s时间内，振动物体的速度逐渐增大
7.()弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t=0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t=0.2 s时，振动物体的速度第一次变为-v；在t=0.5 s时，振动物体的速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子的振动周期T。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
答案全解全析
基础过关练
1.B　简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动快慢的物理量是速度，振动得越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；做简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所完成的全振动次数越多，速度方向变化的次数就越多，频率为50 Hz时，1 s内振动物体的速度方向改变100次，故B正确，C错误；弹簧振子的固有频率由弹簧振子本身的性质决定，与振动物体通过平衡位置时的速度没有关系，故D错误。
2.BD　振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，A错误；周期和频率互为倒数，即T=，故T·f=1，B正确；做简谐运动的物体的振动周期和频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，C错误，D正确。
3.D　质点振动的周期为T== s=0.4 s，时间t=2.9 s=7T。质点从平衡位置开始振动，经过2.9 s到达最大位移处，其位移大小为x=A=4 cm，通过的路程为s=7.25×4A=7.25×4×4 cm=116 cm。选D。
4.B　小球在B、C间振动，小球从B经O到C再经O回到B，完成一个全振动，A错误；小球从B到C经历的时间为半个周期，所以振动周期为2 s，小球在B、C两点间做机械振动，BO=OC=5 cm，O是平衡位置，则振幅为5 cm，B正确；经过两次全振动，小球通过的路程是2×4A=40 cm，C错误；从B开始经过3 s，小球运动的时间是1.5个周期，通过的路程为s=1.5×4A=1.5×4×5 cm=30 cm，D错误。
5.A　由x=A sin (ωt+φ)与x=2 sin(2πt+)cm对照，可得A=2 cm，ω=2π rad/s=，所以T=1 s，选项A正确。
6.A　由题可知，A=0.8 cm=8×10-3 m，T=0.5 s，ω==4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0=0.8 cm，初相位φ=，得弹簧振子的振动方程为x=8×10-3 sin (4πt+) m。
7.AD　由题图可知A比B超前，相位差为Δφ=，选项A、D正确。
8.D　从关系式可知A=3 cm，ω= rad/s，故周期为T==3 s，A、B错误；t=0.75 s时，质点的位移为x=3 sin cm=0，质点在平衡位置处，C错误；在t=0时刻质点的位移x=3 cm，2 s时质点的位移x'=3 sin(×2+) cm=-1.5 cm，故前2 s内质点的位移为-4.5 cm，D正确。
9.D　由题意知，质点从M点沿原路返回到最大位移处所用的时间为0.3 s，故质点完成一次全振动的时间为T=0.3 s+0.2 s+0.3 s=0.8 s，其振动频率为f==1.25 Hz，D正确。
10.答案　0.8 s
解析　由于振动物体在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以振动物体从O到b的运动时间为0.1 s；而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b到最大位移处c再回到b的最
短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处c的最短时间为0.1 s，振子的振动周期为T=0.8 s。
能力提升练
1.C　由于振动物体从a到b运动，在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的。它从b点再以相同的速度回到a时，整个过程恰好为一个周期，故T=0.2 s+0.4 s=0.6 s，那么振子的振动频率为f== Hz= Hz，选C。
2.CD　由题意可知T= s=2 s，A= cm=4 cm，A错；频率f== Hz=0.5 Hz，B错；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm=16 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s=×4A=×4×4 cm=24 cm，D正确。
3.D　从t=0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，由题图知在t=1.5 s时刻，此时乙的位移为正，即在平衡位置的右方；根据x-t图像的斜率表示速度，可知在t=1.5 s时刻乙的速度为负，方向向左，选D。
4.B　由图读出质点振动的周期T=4 s，则频率f==0.25 Hz，A错误；质点做简谐运动，在一个周期内通过的路程是4A，t=10 s=2.5T，所以在10 s内质点经过的路程是s=2.5×4A=10×2 cm=20 cm，B正确；在第4 s末，质点经过平衡位置，速度最大，C错误；由图知，在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等、方向相反，D错误。
5.AB　t=0.6 s时，物块的位移为y=0.1 sin(2.5π×0.6) m=-0.1 m，则对小球有h+|y|=gt2，解得h=1.7 m，A正确；物块做简谐运动的周期T== s=0.8 s，B正确；0.6 s内物块运动的路程是s=×4A=3A=0.3 m，C错误；t=0.4 s=，此时物块在平衡位置向下运动，可知物块与小球运动方向相同，D错误。
关键点拨
将t=0.6 s代入表达式y=0.1 sin (2.5πt)m进行计算，通过计算结果分析弹簧处于伸长状态，进而确定h与y的定量关系，这是解题的关键。
6.ABD　t=0.8 s时，x-t图像切线的斜率为负，说明振动物体的速度为负，即速度方向向左，A正确；由题图乙可知，ω== rad/s= rad/s，振幅为A=12 cm，振动物体做简谐运动的表达式为x=A sin ωt=12 sint cm，B正确；t=0.4 s和t=1.2 s时，振动物体分别在正向最大位移处和负向最大位移处，位移方向相反，其加速度方向相反，C错误；t=0.4 s到t=0.8 s时间内，振动物体由正向最大位移处向平衡位置靠近，速度逐渐增大，D正确。
关键点拨
解答本题的关键是明确振动物体向平衡位置运动的过程中，速度增大，加速度减小。
7.答案　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)x=12.5 sin 2πt (cm)　图见解析
解析　(1)根据弹簧振子简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，
则
T=0.5×2 s=1.0 s
(2)若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A=×25 cm=12.5 cm
振动物体4.0 s内通过的路程s=×4×12.5 cm=200 cm
(3)根据弹簧振子做简谐运动的表达式x=A sin ωt，A=12.5 cm，ω==2π rad/s
得x=12.5 sin 2πt (cm)
振动图像如图所示

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