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第二章 机械振动
课时2.3 简谐运动的回复力和能量
1.通过实例分析，理解回复力的概念及性质。
2.通过对弹簧振子模型的分析，理解简谐运动的规律(位移、回复力、加速度、速度的变化规律)。
3.通过阅读教材内容，能够定性说明简谐运动的能量转化。
一、简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．
(2)方向：指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx.
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．
二、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
基础过关练
题组一　对回复力的理解
1.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是 (　　)
A.回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.(多选)关于简谐运动的回复力，以下说法正确的是 (　　)
A.简谐运动的回复力不可能是恒力
B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C.简谐运动公式F=-kx中，k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置时所受合力一定为零
题组二　与回复力有关的计算
3.一根劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端挂一质量为m的物体，让物体上下振动，振幅为A。当物体运动到最高点时，其回复力大小为 (　　)
A.mg+kA B.mg-kA C.kA D.kA-mg
4.水平放置的弹簧振子，小球的质量是2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm处时，受到的回复力是8 N。当它运动到平衡位置右侧4 cm处时，它的加速度是 (　　)
A.8 m/s2，向右 B.8 m/s2，向左
C.4 m/s2，向右 D.6 m/s2，向左
5.甲、乙两水平弹簧振子的弹簧劲度系数相同，振动图像如图所示，则可知两弹簧振子的振动物体所受回复力最大值之比为F甲∶F乙=　　　，两弹簧振子的振动频率之比f甲∶f乙=　　　。
题组三　简谐运动的能量
6.如图为一弹簧振子的小球的振动图像，由图可知 (　　)
A.t1时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
B.t2时刻，小球的动能最大，所受回复力最小
C.t3时刻，小球的动能最大，所受回复力最小
D.t4时刻，小球的动能最大，所受回复力最大
7.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是　 (　　)
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
8.(多选)关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是 (　　)
A.在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反
B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内，它的回复力增大，动能也增大
D.在某一段时间内，它的势能减小，加速度也减小
题组四　简谐运动的判断
9.如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧长度为l1。现沿斜板向上推小球，直至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动。
能力提升练
题组一　简谐运动中的回复力和能量问题
1.()如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的小物块与左端固定的轻质弹簧相连，构成一个水平弹簧振子，弹簧处于原长时小物块位于O点。现使小物块在M、N两点间做简谐运动，在此过程中 (　　)
A.小物块运动到M点时回复力与位移方向相同
B.小物块每次运动到N点时的加速度一定相同
C.小物块从O点向M点运动过程中做加速运动
D.小物块从O点向N点运动过程中机械能增加
2.()如图所示的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，则下列说法不正确的是 (　　)
A.小球的位移增大的过程中，弹力做负功
B.小球的速度增大的过程中，弹力做正功
C.小球的加速度增大的过程中，弹力做正功
D.小球从O点出发到再次回到O点的过程中，弹力做的总功为零
题组二　简谐运动与力学综合问题
3.()如图所示，甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上，已知甲的质量小于乙的质量。当细线突然断开，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中 (　　)
A.甲的最大加速度大于乙的最大加速度
B.甲的最大速度小于乙的最大速度
C.甲的振幅大于乙的振幅
D.甲的振幅小于乙的振幅
4.()如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则 (　　)
A.弹簧的最大伸长量为4 m
B.t=0.2 s时，弹簧的弹性势能最大
C.在t=0.2 s到t=0.6 s时间内，小球的重力势能逐渐减小
D.在t=0到t=0.4 s时间内，回复力的冲量为零
5.()一轻质弹簧上端系于天花板上，下端挂一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k。将小球从弹簧为自然长度时的竖直位置释放后，小球做简谐运动，则下列说法不正确的是 (　　)
A.小球做简谐运动的最大回复力大小为mg
B.小球从释放到运动到最低点，下降的高度为
C.小球运动到最低点时的加速度大小为2g
D.小球运动到平衡位置时的动能大小为
6.()如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放着质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，试求:
(1)使砝码做简谐运动的回复力是什么？它和位移成正比的比例常数是多少？
(2)当滑块运动到振幅一半的位置时，砝码所受回复力有多大？
(3)当砝码与滑块间的动摩擦因数为μ时，使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多少？
答案全解全析
基础过关练
1.B　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确。回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误。回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
2.AB　物体做简谐运动时，受到的回复力为F=-kx，k不一定是弹簧的劲度系数，x是物体相对平衡位置的位移，回复力不可能是恒力，A正确，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，与位移方向相反，根据牛顿第二定律可知，加速度的方向与合外力的方向相同，所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反，B正确；做简谐运动的物体每次经过平衡位置时所受回复力为零，但是合力不一定为零，故D错误。
3.C　当物体运动到最高点时，物体偏离平衡位置的位移大小为x=A，根据简谐运动的回复力公式F=-kx，可得回复力的大小为F=kA，选C。
4.B　当小球在平衡位置左侧2 cm处时，受到的回复力是8 N，有F1=kx1；当小球运动到平衡位置右侧4 cm处时，受到的回复力为F2=kx2；联立解得F2=16 N，方向向左，故加速度a==8 m/s2，方向向左，选B。
5.答案　2∶1　1∶2
解析　由题图可知，T甲=2.0 s，T乙=1.0 s，故f甲∶f乙=∶=1∶2；因F甲=k甲A甲，F乙=k乙A乙，且k甲=k乙，故F甲∶F乙=A甲∶A乙=10 cm∶5 cm=2∶1。
6.B　由题图可知，t1时刻，小球位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，动能最小，A错；t2时刻，小球位于平衡位置，回复力最小，速度最大，动能最大，B正确；由简谐运动的对称性可知C、D均是错误的。
7.A　小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，A正确。小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大，B错误。小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功；在小球振动过程中系统的总能量不变，C、D不正确。
8.AD　如图所示，假设质点在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，质点由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，可知A说法正确。质点的加速度方向与位移方向总相反，B说法不正确。质点振动过程中，当其远离平衡位置时，回复力增大，其势能增加，根据机械能守恒定律知，其动能必然减小，C说法不正确。当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O的过程，回复力减小，质点的加速度也减小，D说法正确。
9.答案　见解析
解析　松手释放小球后，小球沿光滑斜板做往复运动——振动，小球的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置，有mg sin θ=k(l1-l0)
取沿斜板向上为正方向，小球相对平衡位置的位移为x时，受力如图所示，小球受三个力作用，其合力F合=k(l1-l0-x)-mg sin θ，则F合=-kx，由此可证明小球的运动为简谐运动。
能力提升练
1.B　根据F=-kx可知，小物块运动到M点时回复力与位移方向相反，A错误；根据a=-可知，小物块每次运动到N点时的位移相同，则加速度一定相同，B正确；小物块从O点向M点运动过程中，加速度方向与速度方向相反，故小物块做减速运动，C错误；小物块从O点向N点运动过程中，弹簧弹力对小物块做负功，小物块的机械能减小，D错误。
2.C　根据回复力F=-kx，回复力的方向与位移方向相反，指向平衡位置，对于弹簧振子，弹力充当回复力，小球的位移增大的过程中，弹力做负功，A说法正确；小球的速度增大的过程中，位移减小，弹力与运动方向一致，弹力做正功，B说法正确；根据a=-，小球的加速度增大的过程中，位移增大，弹力与运动方向相反，弹力做负功，C说法错误；小球从O点出发到再次回到O点时，速度大小不变，动能不变，弹力做的总功为零，D说法正确。
3.A　细线断开瞬间，弹簧弹力最大，物块的加速度最大，由于甲的质量小，根据牛顿第二定律，可知甲的最大加速度大，A正确；细线断开的瞬间，弹簧的弹性势能相同，物块到达平衡位置时，甲、乙的最大动能相同，由于甲的质量小于乙的质量，由Ek=mv2知甲的最大速度大于乙的最大速度，B错误；细线未断开前，两根弹簧伸长的长度相同，可知两物块做简谐运动时，离开平衡位置的最大距离相同，即振幅相同，C、D错误。
名师点拨
细线断开前，两根弹簧伸长的长度相同，可知两物块做简谐运动时离开平衡位置的最大距离相同，则振幅相同；细线断开瞬间，弹簧的弹性势能相同，物块到达平衡位置时弹簧的弹性势能完全转化为物块的动能，甲、乙的最大动能相同。
4.C　小球的振幅等于其位移的最大值，由图乙读出，振幅为A=2 cm，由于小球到达最高点时弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A=4 cm，A错误；由图可知t=0.2 s时，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能最小，为零，B错误；在t=0.2 s到t=0.6 s时间内，小球在沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，C正确；t=0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动，t=0.4 s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动，根据动量定理可知回复力的冲量不为零，D错误。
易错警示
由题图乙可知t=0.2 s时小球的位移最大，易误认为此时弹簧的弹性势能最大，从而错选B。真实的情况是，小球运动至最高点时弹簧处于原长(题目中已交代)，t=0.2 s时小球的位移为正值且最大，说明小球位于最高点，此时弹簧的弹性势能为零。
5.C　放手瞬间，弹簧处于自然长度，小球只受重力，所以小球做简谐运动的最大回复力大小为mg，A说法正确；小球在平衡位置时，设弹簧伸长量为x，根据胡克定律可知kx=mg，解得x=，所以小球的振幅A=x=，根据简谐运动的对称性，可知小球运动到最低点时的高度为h=2x=，B说法正确；小球在最低点时受到的弹力F=2kx，根据牛顿第二定律得F-mg=ma，解得a=g，C说法错误；小球从释放到到达平衡位置过程中机械能守恒，有mgx=kx2+Ek，解得Ek=，D说法正确。选C。
6.答案　(1)滑块对砝码的静摩擦力　k　(2)　(3)
解析　(1)砝码随着滑块一起振动，砝码所受的静摩擦力产生使砝码随滑块一起做变加速运动的加速度，故滑块对砝码的静摩擦力提供回复力。由牛顿第二定律可得f=ma
设滑块、砝码整体共同的加速度为a，则有a==
设回复力和位移成正比的比例常数为k'，则f=k'x
联立以上三式解得k'=k(k为弹簧的劲度系数)
(2)当滑块运动到振幅一半的位置时，砝码所受回复力为f'=k'·=k·=，方向指向平衡位置。
(3)从f=k'x可以看出，当x增大时，f也增大，当fmax=μmg时，砝码有最大振幅，则fmax=k'Amax
所以·Amax=μmg
解得Amax=

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