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专题01：venn图法解决集合运算问题
一、单选题
1．如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．， B．，， C．， D．，，
【答案】B
【解析】由题知，进而得，再求阴影部分表示的集合即可.
【详解】解：解不等式得，所以，
因为，，，，
所以
所以，图中的阴影部分表示的集合为.
故选：B
2．设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求出集合A、B，即可求出.
【详解】集合或，，
所以.
故选：D
3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据指数函数的值域求集合M，解对数不等式求集合N，再根据韦恩图知阴影部分为，最后应用集合交补运算求集合即可.
【详解】由题设，，，
由图知：阴影部分为，而，
所以.
故选：A
4．已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由Venn图得到求解.
【详解】如图所示，
，，解得且，
又，，，
，所以M中元素的个数为3
故选：C
5．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】确定全集中的元素，根据可确定，再结合图中阴影部分的含义即可得答案.
【详解】全集,
又因为，所以,而
所以阴影部分表示的集合是即为，
故选：B.
6．设集合均为非空集合.（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】由集合的运算关系依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A,，，当时，结论不成立，则A错误；
对于B, ，当时，结论不成立，，则B错误；
对于C,因为，，所以，又，所以，则,则C正确;
对于D， ，当时，结论不成立,则D错误;
故选:C.
7．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【解析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
由容斥原理：
解得：
故选：A
8．图中矩形表示集合，两个圆分别表示集合，，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】两个阴影部分，分成两步完成，即，，再取并集，即可得到答案；
【详解】两个阴影部分，分成两步完成，即，，
图中阴影部分可以表示为.
故选：B
9．设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】如图，，此时
，A错，
B，B错，
，D错，
故选：C
10．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】D
【解析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项.
【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，，
若，具有包含关系，不妨设是的真子集，
对于（1）: 图中，，图中，所以，
故（1）正确；
对于（2）：图中，成立，
图中，，，
所以成立，故（2）正确；
对于（3）：若，则；故（3）正确；
所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3），
故选：D.
二、填空题
11．已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________．
【答案】3
【解析】由集合定义，及交集补集定义即可求得.
【详解】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为．
又，，，
即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3
故答案为：3.
12．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
13．某班级共有50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有_______人．
【答案】25
【解析】设两种实验都做对的学生记为人,利用文氏图表示出各类学生的人数，可求解出答案.
【详解】试题分析：根据题意可设：全班的学生组成的集合为
做对物理实验的学生组成的集合为
做对化学实验的学生组成的集合为
并将两种实验都做对的学生记为人,则可用文氏图将其关系表示如下:
结合文氏图及题意知: ,解之得:
故两种实验都做对的学生为25人.
故答案为：25
14．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有名学生参赛，其中参加数学竞赛有人，参加物理竞赛有人，参加化学竞赛有人，同时参加物理、化学竞赛有人，同时参加数学、物理竞赛有人，同时参加数学、化学竞赛有人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有_________名．
【答案】5
【解析】将参加三种竞赛的人数情况画出韦恩图，根据题干数据分析，即得解
【详解】
将参加三种竞赛的人数情况画出韦恩图，如图所示
不妨设这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有人，
则只参加数学、化学竞赛的有人，只参加物理、化学竞赛的有人，只参加数学、物理竞赛的有人，
只参加数学竞赛的有人
只参加物理竞赛的有人
只参加化学竞赛的有人
故参见竞赛的总人数
解得：
故答案为：5
15．某班参加数 理 化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数 理两科的5人，只参加物 化两科的3人，只参加数 化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人
【答案】5
【解析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.
【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图，
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，
故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名，
则没有参加任何一科竞赛的学生有名，
故答案为：5.
【点评】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题.
三、解答题
16．已知全集，，，.
(1)当时，求阴影部分表示的集合；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.
问题：设 ，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)由图可知阴影部分表示的集合为，根据含参一元二次不等式的求法求出集合B，结合补集的概念求出，利用交集的运算即可得出结果；
(2) 由（1）可知命题为，选择一个条件，利用集合的交并补运算和集合与集合之间的关系即可求出对应参数的取值范围.
(1)
或
当时，，则
所以阴影部分表示的集合
(2)
由（1）可知，命题为
若选①，命题为
若是的必要不充分条件，则
所以或
则或
故存在满足题意，且的取值范围为.
若选②，命题为
若是的必要不充分条件，则
所以，且等号不同时成立，
解得
故不存在满足题意的实数
若选③，命题为
若是的必要不充分条件，则
所以且等号不同时成立，
解得
故存在满足题意，的取值范围为.
17．已知集合，全集为．
(1)求集合；
(2)求阴影部分表示的集合．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）先求出集合A，B，再由并集的定义求解即可；
（2）由文氏图可知阴影部分表示的集合为，再由补集与交集的定义求解即可
(1)
因为，
，
所以；
(2)
由文氏图可知阴影部分表示的集合为，
因为或，
所以，
所以阴影部分表示的集合为
18．已知集合，.
(1)求集合；
(2)在两个条件：①，②中任选一个，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)选择条件①；选择条件②
【解析】（1）根据一元一次不等式的解法即可求出集合；
（2）通过集合交集和并集运算得出集合的包含关系，进而求出实数的取值范围.
(1)
解：由，
解得，
所以.
(2)
解：选择条件①
由于，所以.
因为，所以，即.
选择条件②
由于，所以.
因为，所以，即.
19．设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A．
【答案】或
【解析】先求出和，再已知条件列出的方程，利用分类讨论即可求解.
【详解】解：，
由知，，即
因为
所以
因为中所有元素之和是246
即
化简为：
因为
若，则，
而最小为，最小为，所以
所以或者
当时，
此时，，恰好满足
当时，
此时，恰好满足
所以集合有两种可能：或
【点评】思路点睛：该题可看成有限制条件的不定方程，列出方程后，先对最大数取值，再对较小数取值，直到满足条件即可.
20．已知全集U＝R，集合， （1）当a＝时，求.
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2） 或 .
【解析】（1）求解出集合A、B，及B的补集，然后求交集；
（2）由q是p的必要条件得到，根据两个集合的关系可得关于的不等式组即可求解得到的范围.
【详解】由解得： ，即
由 ，易知 ，解得： ，
即,
当a＝时，，则
∴
（2）由命题,命题，若q是p的必要条件，即,
所以 解得: 或，
故实数a的取值范围为： 或
【点评】本题考查了充分条件和必要条件以及利用充分条件和必要条件判断集合间的关系，属于中档题目，解题中首先要准确的转化出集合之间的包含关系，其次是利用集合之间的包含关系得到不等式组.专题01：venn图法解决集合运算问题
一、单选题
1．如图，已知集合，，，，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．， B．，， C．， D．，，
2．设集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
6．设集合均为非空集合.（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
8．图中矩形表示集合，两个圆分别表示集合，，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．设是全集，若，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
二、填空题
11．已知集合，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________．
12．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
13．某班级共有50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有_______人．
14．某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有名学生参赛，其中参加数学竞赛有人，参加物理竞赛有人，参加化学竞赛有人，同时参加物理、化学竞赛有人，同时参加数学、物理竞赛有人，同时参加数学、化学竞赛有人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有_________名．
15．某班参加数 理 化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数 理两科的5人，只参加物 化两科的3人，只参加数 化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有______人
三、解答题
16．已知全集，，，.
(1)当时，求阴影部分表示的集合；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.
问题：设 ，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．已知集合，全集为．
(1)求集合；
(2)求阴影部分表示的集合．
18．已知集合，.
(1)求集合；
(2)在两个条件：①，②中任选一个，求实数的取值范围.
19．设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A．
20．已知全集U＝R，集合，
（1）当a＝时，求.
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

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