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考 前 必 背
第一章　空间向量与立体几何
一、共线向量、共面向量定理
　　1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
二、空间向量基本定理
　　如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
三、空间向量运算的坐标表示
　　1.空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
运算 坐标表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
结论 坐标表示
共线 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|==
夹角 cos==
　　3.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=||=
.
四、空间向量的应用
　　1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行 l∥m μ∥v μ=λv,λ∈R
线面平行 l∥α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
线线垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
线面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
线线夹角 l,m的夹角θ∈,cos θ=
线面夹角 l,α的夹角为θ∈,sin θ=
面面夹角 α,β的夹角为θ∈,cos θ=
　　2.点到直线的距离
设=a,直线l的单位方向向量为μ,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u,点P到直线l的距离PQ==
.
3.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离PQ===.
第二章　直线和圆的方程
一、直线的倾斜角与斜率
　　1.直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角
规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
范围 [0,π)
　　2.直线的斜率
定义 当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α
斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=
　　3.直线的方向向量
直线的方向向量 设A,B为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量
方向向量的坐标 设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),则直线AB的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)
方向向量与斜率 若直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为(1,k)
　　4.两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.
位置关系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直
二、直线的方程
　　直线方程的五种形式及适用范围:
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0)
两点式 过两点 = 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 横、纵截距 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) 所有直线
三、直线的交点坐标与距离公式
　　1.两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的公共点的坐标就是方程组的解.
位置关系 方程组的解的个数
相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解
平行 方程组无解
重合 方程组有无数个解
　　2.距离公式
距离类型 已知几何元素 距离公式
两点间的距离 两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) |P1P2|=
点到直线的距离 点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C =0(A,B不同时为0) d=
两条平行直线 间的距离 两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 (A,B不同时为0) d=
四、圆的方程
圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合
圆 的 方 程 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心坐标:(a,b)
半径为r
一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心坐标:
半径r=
五、直线与圆、圆与圆的位置关系
　　1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;
(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.
位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相离 d>r Δ<0
　　2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>
0).
方法　　　　 位置 关系 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
第三章　圆锥曲线的方程
一、椭圆
　　1.椭圆的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
符号 语言 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数
轨迹 类型 a>c 点M的轨迹为椭圆
a=c 点M的轨迹为线段
a　　2.椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长; 短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=,e∈(0,1)
a,b,c的关系 a2=b2+c2
二、双曲线
　　1.双曲线的定义
定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
符号语言 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0
轨迹类型 aa=c 点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线)
a>c 点M不存在
　　2.双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
轴 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长
a,b,c的关系 c2=a2+b2
三、抛物线
　　1.抛物线的定义
定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线
符号语言 集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)
特例 当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线
　　2.抛物线的标准方程及其几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
性 质 顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线 方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
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