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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为 　 　．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，BF＝　 　．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
5．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．
6．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　 　是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．
7．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．
9．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝DM；
（2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长．
10．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．
11．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
12．以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是　 　；
（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．
13．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．
15．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）如果AB＝AC＝4，连接AE，求线段AE的长．
16．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．
（1）求证：AN＝BN；
（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．
17．如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN；
（1）则DN与CM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　．
（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．
18．如图1，在平行四边形ABCD中，点M、P分别在边AB、DC上，且MP⊥DC，N是BC的中点，连接MN、PN．
（1）求证：MN＝PN；
（2）如图2，当平行四边形ABCD为菱形，且M是AB的中点时，若△NPC为等腰三角形，求∠B的度数．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，联结GC、CF．
（1）求证：AE∥CF；
（2）当AC＝2AB时，求证：四边形EGCF是矩形．
20．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
参考答案
1．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝BD＝1，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°＝∠AOB，
又∵∠OAB＝∠EAC，
∴EA＝，
∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝，
过O作OP⊥AE于P，
则OP＝＝＝，
∴△OBE的面积＝××＝，
故答案为：．
2．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积＝ EB OF＝×（2﹣2）×1＝﹣1．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝10，OC＝AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB＝＝＝8，
∴BD＝2OB＝16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝6，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE，
∴DE＝＝＝2，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF＝EF，
∵∠DBE＝90°，
∴BF＝DE＝，
故答案为：．
4．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴AD⊥EF；
（2）解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，
∴矩形AEDF是正方形．
5．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：过C作CH⊥AD于H，
则∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠D＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝CD＝1，
∵AD＝3，
∴AH＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，
即x2＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AF＝CF＝，
∴菱形AECF的周长＝×4＝5．
6．解：（1）OE＝OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC＝∠ECB，
∴∠NEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF＝∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC＝∠FCD，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则
∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
7．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝GE，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+6（x+y）＝36，
∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，
∴GQ＝4，
设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，
解得：a＝3，即HR＝3．
当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：
则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，
由①得：TH＝3，
∴PT＝＝＝3，
设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，
∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，
∴y＝6+2x，
∴5y2＝（6+2x）2①，
在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，
由①②得：（x﹣12）2＝0，
∴x＝12，
即HR＝12；
综上所述，HR为3或12，
8．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，
∴OE＝FG＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，
在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，
∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．
9．（1）证明：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB∥CD，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴DF＝EB，
∵E是AB中点，
∴AE＝EB，
∴AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠EAM＝∠ADF，
在△AEM和△DMF中，
，
∴△AME≌△DMF（AAS），
∴AM＝DM；
（2）解：由（1）知△AME≌△DMF，
∴AE＝DF＝3，
.∵E为AB的中点，
∴AB＝2AE＝6，
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24．
10．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
，
∴△DAH≌△DCH，
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．
（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可证GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．
综上所述，BE的长为7或1．
11．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°；
（3）解：AP＝CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
12．（1）EB＝FD，
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，
∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，
∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，
∴∠FAD＝∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB＝FD；
（2）EB＝FD．
证：∵△AFB为等边三角形
∴AF＝AB，∠FAB＝60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°
∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，
即∠FAD＝∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB＝FD；
（3）解：
同（2）易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB＝∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，
∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF
＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°
＝60°．
13．解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
14．解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG．
在△COD中．
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．
∴．
∴EG＝BD＝10．
15．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴∠OCE＝90°，CE＝OD＝2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2．
16．解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OB，
∵AN∥BD，BN∥AC，
∴四边形OANB是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴ OANB是菱形，
∴AN＝BN，
（2）由（1）可知：
BN＝OB＝OD，
∴BD＝2BN，
∵DN⊥NB，
∴∠DNB＝90°，
∴∠BDN＝30°，
∵BN∥AC，
∴∠DFO＝∠DNB＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．
答：∠DOC的度数为120°．
17．解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
故答案为：CM＝DN，DN⊥CM；
（2）如图2，连CE并延长交AD于G，
∵BC∥AD，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，NC＝GD＝1，
又∵MF＝CF，
∴EF＝MG，
∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1，
∴AM＝AG＝2，
∴GM＝＝2，
∴EF＝；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴CM＝，
∵CM BH＝BC BM，
∴BH＝，
∴CH＝＝，
∴∠BPC＝45°，
∴PH＝BH＝，
∴PC＝，
∴PM＝PC﹣CM＝．
18．证明：（1）如图1，延长MN，DC交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠BCH，
∵点N是BC的中点，
∴BN＝NC，
在△BMN和△CHN中，
，
∴△BMN≌△CHN（ASA），
∴MN＝NH，
∵MP⊥DC，
∴NP＝MN＝NH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CP，∠B+∠C＝180°，
∵N是BC的中点，M是AB的中点
∴BM＝AB＝BC＝BN＝NC，
若NC＝CP时，则BM＝BN＝NC＝CP，
在△BMN和△CPN中，
，
∴△BMN≌△CPN（SSS），
∴∠B＝∠C，
又∵∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°；
若NC＝PN时，则BM＝BN＝NC＝NP＝MN，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠B＝60°；
若PN＝PC时，设∠PMN＝x，
∵MN＝NP＝NH，
∴∠NMP＝∠MPN＝x，∠H＝∠NPH＝90°﹣x，
∴∠PNH＝2x，
∵NP＝CP，
∴∠PCN＝∠PNC＝90°+x，
∴∠CNH＝2x，
∴点C与点P重合，不合题意舍去，
综上所述：∠B的度数为90°或60°．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E、F分别为OB、OD的中点，
∴EO＝OB，FO＝OD，
∴EO＝FO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（SAS），
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF；
（2）∵EA＝EG，OA＝OC，
∴EO是△AGC的中位线，
∴EO∥GC，
∵AE∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵AC＝2AB，AC＝2AO，
∴AB＝AO，
∵E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
20．解：（1）（答案不唯一）选择的条件是①，结论是②．理由如下：
如图1，过点G作GP⊥AB交于P，
∵AH⊥EG，
∴∠AEH+∠DAH＝90°，
∵∠PEG+∠PGC＝90°，
∴∠EAH＝∠PGE．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
故答案为：①，②（答案不唯一）；
（2）①∵BF＝2，
∴PE＝2，
∵AB＝6，BE＝3，
∴AE＝3，
∴AP＝1，
在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，
∴AG＝＝；
②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，
∴四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，
∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∵AF＝＝2，
∴AQ＝4，
∴AG+EF的最小值为4．

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