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2022年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列事件为确定事件的有（　　）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为，的矩形面积是
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4）无理数
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 位似
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　）
A B. C. D.
5. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A. B. C. D.
6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）
A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对
8. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 分解因式：______
10. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个）
11. 喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：、香山叶正红、建党伟业、建军大业．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是______．
12. 如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则______．
13. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．
14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为______．
15. 如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
16. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为______米（精确到米）．（参考数据：，，）
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
（1）画出该平面直角坐标系；
（2）画出线段关于原点成中心对称的线段；
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
18. 解不等式组：．
19. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
20. 某校购进一批篮球和排球，篮球单价比排球的单价多元．已知元购进的篮球数量和元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共个，总费用不超过元．篮球最多购买多少个？
21. 如图，四边形中，ABDC，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
22. 宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：，，，，，，，，，
乙品种：如图所示
平均数 中位数 众数 方差
甲品种
乙品种
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
24. 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
25. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．
26. 综合与实践
知识再现
如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．
问题探究
如图，中，．
（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．
（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
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2022年宁夏中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列事件为确定事件的有（　　）
（1）打开电视正在播动画片
（2）长、宽为，的矩形面积是
（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
（4）是无理数
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【详解】打开电视正在播动画片，随机事件，不合题意；
长、宽为，的矩形面积是，是确定事件，符合题意；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
是无理数，是确定事件，符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 位似
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项及幂的乘方相关运算法则进行计算，并进行一一判断即可得出答案．
【详解】，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出个球，发现个是红球，估计袋中红球的个数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【详解】摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是个，
故选：A．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
5. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置可得，，据此化简求解即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到，是解题的关键．
6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．
7. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）
A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案．
【详解】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，
（为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
8. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．
【详解】在中，，
∴，
，
，
连接，则，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在中，，
，，
根据勾股定理得，，
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 分解因式：______
【答案】．
【解析】
【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】．
10. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：，，，
∴≌（SAS），
要使≌，添加一个条件是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11. 喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：、香山叶正红、建党伟业、建军大业．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种可能的结果，其中两人恰好抽到同一部的结果由4种，再由概率公式求解即可．
【详解】把写有、香山叶正红、建党伟业、建军大业的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有种，
甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则______．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由垂径定理可知，然后在中根据余弦的概念计算的值即可．
【详解】解：∵半径垂直弦于点，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和余弦的知识，熟练掌握余弦的概念是解题的关键．
13. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______．
【答案】3
【解析】
【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，
沿轴向右平移个单位得到，
点与其对应点间的距离为，
即点移动的距离是3．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键．
14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即可．
【详解】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得：，
故答案：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15. 如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．
【答案】50
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得到，再由平角的定义求出的度数，即可利用平行线的性质得到答案．
【详解】解：将绕点顺时针旋转至，
∴，
∵∠AOB=55°，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等和旋转的性质是解题的关键．
16. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为______米（精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】1614
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝x米，则AF＝（50+x）米，DF＝（x﹣14）米，利用tan46°12′1.04，即可解决问题．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
（米），
，
，，
∴△CDE是等腰直角三角形，
，
设米，
则米，米，
．
∴，
解得，
米，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和DF的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
（1）画出该平面直角坐标系；
（2）画出线段关于原点成中心对称的线段；
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】不等式组的解集是
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．
19. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【解析】
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
20. 某校购进一批篮球和排球，篮球单价比排球的单价多元．已知元购进的篮球数量和元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共个，总费用不超过元．篮球最多购买多少个？
【答案】（1）篮球的单价为元，排球的单价为元
（2）最多购买个篮球
【解析】
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
设排球的单价为元，则篮球的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
篮球的单价为元，排球的单价为元．
【小问2详解】
设购买篮球个，则购买排球个，
依题意得：，
解得，
即的最大值为，
最多购买个篮球．
【点睛】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
21. 如图，四边形中，ABDC，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
证明：是的角平分线，
，
∵ABCD，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
22. 宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：，，，，，，，，，
乙品种：如图所示
平均数 中位数 众数 方差
甲品种
乙品种
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）若乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数；
（3）请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
【答案】（1）3.2，3.5
（2）乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数是180棵
（3）乙品种更好，产量稳定
【解析】
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；
（2）用300乘以产量不低于3.16千克的百分比即可；
（3）根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
【小问1详解】
解：把甲品种的产量从小到大排列：2.0，2.5，3.1，3.1，3.2，3.2，3.2，3.6，3.8，3.9，中位数是3.2，
乙品种的产量3.5千克的最多有3棵，所以众数为b=3.5，
故答案为：3.2，3.5．
【小问2详解】
300180（棵）；
答：乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的有180棵
【小问3详解】
∵甲品种的方差为0.29，乙品种的方差为0.15，且0.29＞0.15，
∴乙品种更好，产量稳定．
【点睛】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【小问1详解】
证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
【小问2详解】
证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
【小问3详解】
解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24. 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
（1）点的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）长约为米
【解析】
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
【小问2详解】
∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
【小问3详解】
在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
25. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，：：．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接当面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点D的坐标为
【解析】
【分析】（1）过点作轴于点，先证∽，根据对应边成比例得，结合已知条件推出，，， ，可得，代入反比例函数解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为，设点的横坐标为，则，，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，即可求出最值．
【小问1详解】
解：如图，过点作轴于点，
∴，
又∵，
∽，
∴，
∵，，
，
，，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为：．
【小问2详解】
解：由题意可知，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线解析式为：．
设点的横坐标为，则，，
，
的面积为：
．
，
时，面积取最大值，最大值为，
将代入，得
∴点D的坐标为．
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出面积的函数表达式．
26. 综合与实践
知识再现
如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．
问题探究
如图，中，．
（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．
（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
【答案】知识再现 ；
问题探究：（1）；（2）；理由见解析；
实践应用：（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；
实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明．
(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．
【详解】知识再现：解：中，，
，
，
，，
，
故答案为：；
问题探究：解：中，，
，
，
，
故答案为：；
解：中，，
，
过点作交于，
在等边三角形中，，，
，
，
同理可得，，
，
；
实践应用：证明：设，，，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，四边形是平行四边形，
，，
是直角三角形，
，
，
；
解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，
是直角三角形，
，
，
，
，，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
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