2022年全俄数学竞赛决赛试题及解析（PDF版含答案）

资源简介

2022cê m m K)
dê m'ma. , =k O m, k;
m, 'X X7A m. ,'m , mK % ±ép
YO. ê m u· I[ -E , zcK8 '5,
k ~(J K y. 2022 cê m K)
.
I. K
1 c
9.1 ê n“ ê” n g ü êê. ê a
b ê . y a = b.
9.2 4ABC u I, ∠B ∠C u: J . ωb
% Ob, L: B, CI u: I. ωc% Oc, L: C,
BI u: I. ObOc IJ uK. '
IK .
KJ
9.3 ò 200 ê¤ 1. éu ü ê, m> o
> 9 , o > . ¤k 200 ê U u 242022
9.4 k 18 ). [ )s.
ù:,
k(
z ) s . ,
T u 18 )¤
/s. , ) ws , F"gC@ s
/. [ ±÷X > 1 s ( : : ± 3
s> ). é o k, [ ±yU
l s
F : 2022-05-09.
1
k / , ± k ), z<
9.5 ê a1, a2, · · · , vkü . ê ai, ai+1, · · · ,
ai+m 1 m“üN ”, XJ÷v ai < ai+1 < · · · < ai+m 1
ai > ai+1 > · · · > ai+m 1. · kéz ê k, ak ù 3,
k + 1üN S. y 3ê N ê aN , aN+1, · · · üN, =
aN < aN+1 < · · · aN > aN+1 > · · · .
9.6 é o ê a, 3ê b c, gn
ax2 + bx+ ckü L 1
1000
9.7 I[pk 998 . k
édV . { 5
é m U L ^ . , ^{ 5 , éu d k |¤
|, § L 5k + 10^ . c{ 1. y u ±
O\eZ^# , { ± 1G, I[po êC¤
5000.
9.8 4ABC S ω > BC u: K. ω0 ω'u: Aé .
: A0 BA0 CA0 ω0 . M > BC :. y :
AM KA0.
2 c
10.1 9.1.
10.2 3b4ABC > BC : D E BD = CE. 34ADE : AlDE : P Q AB = PC,AC = BQ. y :
AP = AQ.
10.3 m Xêé (1, 1). XJé, x y, kê
é (x, y 1) (x + y, y + 1) , ±, . aq/, XJ k
(x, xy) ( 1 , y) , ±, . y : z êé 1 ê
x
ê.
10.4 ê n > 4. 3 I n :, vkn : .
p x ±I : à:¤k . zx ^ , pò D
kúà: D ê. é o k,
p ±{ ^ D k
10.5 k 11 ê ( ). U 5
2
u { 6
10.6 ê n > 5. 3 / kd 0 1 |¤S. éz
d 0 1 |¤ nS w, O U
l } k w
{ê. · kS 11 |00 {·z· · 0} ygê , M g; S |00 {·z· · 0} 11
n 2 n 2
ygê ( U 0 g). y : 3, 0 1 |¤ n S
yT M g.
10.7 3 1o>/ ABCD> BC : E, 3> AD : F ,
4ABE CF . y : 4CDF AE .
10.8 éê N , ¤kl L í U
¤
k ê. y : N ¤kê , ù
êê8k .
3 c
11.1 9.1.
11.2 xk ê y = sinx y = tanx , ±9 I . N
^ 5 x ^ , § u ê 3 (Ox) e
( U keZ :)
11.3 b4ABC
^ , P 3l A 3 , > BC. PQ B , Q3l A C . :X, Y, Z O P
AB, Q AC, A PQ Rv. y : 4XY Z % u
( 6u: P Q ).
11.4 10.4.
11.5 10.5.
11.6 ê n . i `é m n^üü ú: ,
±3ù
I k : u . ·K¤á k

11.7 10.8.
11.8 é4ABC z :, S x ù 7ü^ , 'uéA
é . x z d ¤n/ . y : XJ
4ABC , K , .
3
II. ) 5
1 c
9.1 ê n“ ê” n g ü êê. ê a
b ê . y a = b.
y =y é êé (x, y), x < y ê, ±(
ê n n “ ê” x, y.
5 n
g ê n , p n f.
p
1 ê o n2 , p n f (cJ p
2 | n); o
p
n , q n 1 f (cJ n kü f).
q
¤±: e x | y, ` 1 ; K 1 .
2
c ` n = y , ` n = lcm(x, y). n . y.
x
5 K {üê K, 5 ü .
9.2 4ABC u I, ∠B ∠C u: J . ωb
% Ob, L: B, CI u: I. ωc% Oc, L: C,
BI u: I. ObOc IJ uK. '
IK .
KJ
) Y 1 .
3
I S%, J AéA%. X 4ABC A l B C
:. XB = XC = XI = XJ .
Ob BI R L C CI R :. X 3 BI R , ¤±
XOb⊥BI.
é /, IOc⊥BI IOc XOb.
4
n IOb XOc, IObXOc 1o>/. K IX :.
IK = 1 .
KJ 3
5 K {üA K. éun/S%%( J V l
:, ,uy 1 )
K.
9.3 ò 200 ê¤ 1. éu ü ê, m> o
> 9 , o > . ¤k 200 ê U u 242022
) U.
, e m>ê n, Klm ê mod 17 O {u
n, 2n, · · · , 2199n.
2 9 3 mod 17ep ê ê.
§ mod 17 {u (2200 1)n. 5 , 17 | 28 1, 8 | 200, ¤±ù
200 ê 17 ê. U 242022.
5 Ky {J , Eg K ( . y g é
“ C ”, = 9 ± 2 C , B mod 175w.
9.4 k 18 ). [ )s.
ù:,
k(
z ) s . ,
T u 18 )¤
/s. , ) ws , F"gC@ s
/. [ ±÷X > 1 s ( : : ± 3
s> ). é o k, [ ±yU
l s
k / , ± k ), z<
) Y 12.
, · - 3 ) 0, { 15 1. K
√
s> 15 < 4. ùn ) ÷v, U e 9 >
1 / (d( , y g 4¤k /k e á
e, 2 áe). ù ÷v 12 ).
, P, 18 ) s> x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x18.18
x2n = 1. · y ±r> O x1, x2, · · · , x12 /
n=1
\ü / .
UXe {: k; X >l e x12, x11, x10 > /.
5
, K > x12, ° 1 /, 3 e / ; X >l e
x9, x8, x7 > /, , > x9, ° 1 / · · ·
e y ù { 1; = Iy
x12 + x11 + x10 ≤ 1,

x12 + x9 + x6 + x3 ≤ 1.
c : e x12 + x11 + x10 > 1, d
x2
1
P 12 + x
2 2
11 +Px10 > ,318 18
x > 1 , ` x2 > 6 · 1 = 2 . x212 n n > 1, g !3 9 3
n=13 n=10
: e x12 + x9 + x6 + x3 > 1, d
x2 + x2 + x2
1
12 9 6 + x
2
3 > .4
, k
1
x2 + x2 + x213 10 7 + x
2
4 > ,4
2 2 2 2 1x14 + x11 + x8 + x5 > ,4
1
x2 + x215 16 + x
2
17 + x
2
18 > .
P 418
\ x2n > 1, g !
n=3
¤± ±÷v 12 <I . n , Y 12.
5 K J| K. YI m. y g
% {: =l k / l . XJl
) ~, = U 11 . K8 êi UX ^
{.
9.5 ê a1, a2, · · · , vkü . ê ai, ai+1, · · · ,
ai+m 1 m“üN ”, XJ÷v ai < ai+1 < · · · < ai+m 1
ai > ai+1 > · · · > ai+m 1. · kéz ê k, ak ù 3,
k + 1üN S. y 3ê N ê aN , aN+1, · · · üN, =
aN < aN+1 < · · · aN > aN+1 > · · · .
y éz i, w ai ai+1 'X, , d <,>|¤
6
S.
eTS , y.
K, 73 <,> >,<. c , êz C
ê K ( .
ai < ai+1 > ai+2. é ai+1d^ ,T 3 i+2üN mS.5
TüN m ai, ai+2, ¤± U üN m ai+1 > ai+2 > · · · > a2i+2.
· é n8By ai+1 > ai+2 > · · · > a2i+2+n.
n = 0 ¤á. b ai+1 > ai+2 > · · · > a2i+2+n, é ai+n+2$^^ ,
5 k
ai+n+1 > ai+n+2 > ai+n+3,
¤± ai+n+23 4~ i + n + 3üN mp. ai < ai+1, ` T
m l ai+1m , 3 a2i+3+n( . u k
ai+1 > ai+2 > · · · > a2i+3+n.
¤±- N = i+ 1 k aN > aN+1 > · · · . y.
5 K ,w 5é, S {ü| K. 5
(= .
9.6 é o ê a, 3ê b c, gn
ax2 + bx+ ckü L 1
1000
) Y 1001000.
E: (1000x 1)(1001x 1)÷v , a = 1001000.
y : ü c ∈ (0, 1 ]. k c > 0. e c ≥ 2,Kk a ≥ 2000000,¤á!
a 1000000
±eb c = 1. KO ê u0.
b2 4a = k2
k ≥ 1.
ü b±k b+k ≤ 1 .
2a 2a 1000
a
4a = (b+ k)(b k) ≤ · (b k)
500
b k ≥ 2000 b+ k ≥ 2002
a = (b+k)(b k) ≥ 1001000.y.
4
5 K : êK. 5 ^ “ü ”.
7
9.7 I[pk 998 . k
édV . { 5
é m U L ^ . , ^{ 5 , éu d k |¤
|, § L 5k + 10^ . c{ 1. y u ±
O\eZ^# , { ± 1G, I[po êC¤
5000.
y =z K, Kz k :pf >ê 5k + 10.
:f8 ÷, XJ§pf >ê :ê 5 \ 10.
b( ¤á, K3 >ê ~ G, G 2\ >
5K. 5 , G 3÷ :f8, K ± \ > 5K.
G ÷ :f8 A. B A 8, K B S.
XJ A : B : >, é x ∈ B, é {x} A$^^
, ` x A > 5. ` A5 5. 5 5 :
f8 U ÷8, g !
¤±3 x ∈ B, y ∈ A, x, y >. · x, y, K
5K, b
d :Tf8 C T
5K. ,, x, y ∈ C. C 5 ÷S8.
C A = C1, C B = C2. K C1, C2 . éu A C2 $^^ (
§ A, ÷8), ` C2 A m C2 So>ê u 5
C2 5. , ` C2 C1 m C2 So>ê u 5 C2 5
.
, , C1 >ê C1 5 5 \ 10, ` C S >ê
u 5 C 5\ 10, ` C ÷, g !
n y.
5 K J K. { {ü, = ÷8 \>
= .
9.8 4ABC S ω > BC u: K. ω0 ω'u: Aé .
: A0 BA0 CA0 ω0 . M > BC :. y :
AM KA0.
y ± K % q' 2 C , K 'u Aé : K ′, K '
uM é : E, K Iy EA K ′0 .
5 ,K ′3 ω0 , ω0LK
′ 1u BC.
8
d]o>/ A0BAC kS ω0, ` A0B A0C = AB AC. dd J
4A0BC S BC u K. 4A0BC A0 éA
BC u E.
du4A0BC A ′0éA ω0 q % A0, EA0K .
y.
5 ){5g (2022 II[èè
), { | . )
){ é é , ùpJ e: k 4A0BC S . 5
, eT% I ′, Kk ( M, I ′ A0K : . u
Iy T AMI ′ . e 4ABC S I AB,AC u C0, B0, K :
B0C0 AM I R u BC, Iy B0, C
′
0, I , k
I ′I R u BC. y3 O I ′I 1
. ) {=z
Ag(
4( O , XA {, YO E,.
2 c
10.1 9.1.
10.2 3b4ABC > BC : D E BD = CE. 34ADE
: AlD E : P Q AB = PC,AC = BQ. y :
AP = AQ.
y 34ADE u D: D1 BD1 = BD. aq
E1, D2, E2 (X ).
: Q′ Q′, A3 BC , 4BQ′D 1 = 4CAE. du BE1 = CD,
k4BQ′E 1 = 4CAD.
9
¤± ∠D1QE1 = ∠DAE. q DE = D1E1 DE,D1E1 ¤éA±
, Q′ 3 4ADE . q BQ′ = AC = BQ ` Q = Q′.
du ∠D1E1Q = ∠ADE, ¤±l A E ul Dù1Q. AD1QE F/,
AQ = D1E.
nk AP = E2D. , , dé 5 BC D1E2,
D1E = DE1 AP = AQ. y.
5 K J A K. l( \ ±wN n
/, {y N x P,Qü: . ) {V

é
:, L#:uy P,Q , ly
( .
10.3 m Xêé (1, 1). XJé, x y, kê
é (x, y 1) (x + y, y + 1) , ±, . aq/, XJ k
(x, xy) ( 1 , y) , ±, . y : z êé 1 ê
x
ê.
y · y z 3 êé (x, y) ÷v y2 < 4x.
(1, 1)w,÷v. b (x, y 1) (x+ y, y + 1) , 3
, , 5
(y 1)2 4x = (y + 1)2 4(x+ y)
¤± êé÷vù ^ du, ÷vù ^ .
b (x, xy) ( 1 , y) , 3
, , 5
x
4x 4
= · 1
(xy)2 x y2
¤± êé÷vù ^ du, ÷vù ^ .
u y
z 3 êé (x, y) ÷v y2 < 4x. ,í 1
10
ê u0. y.
5 K {ü êK, XJé( 8B (J.
' é C , L)“ ê §” ± ù C .
10.4 ê n > 4. 3 I n :, vkn : .
p x ±I : à:¤k . zx ^ , pò D
kúà: D ê. é o k,
p ±{ ^ D k
) n ê , Y 2n 3 ; n óê , Y 2n 4.
: p/ ^> , ù^>kú :>k
2n 4^, ¤± ^ 2n 3 . n óê , N uy1
>¤ { . ù` , p/ ^ 1 > , ù
^>kú : 2n 4^> ü^ 1 >. ¤± ^
2n 4 .
, , n ê , n 1 óê, kòKn 1^ n 2 / (N
ò Kn 1¤ n 2 { . , géz { / , 1 {
/1 , 1 { /1 , ), d , ù n 1 :
z: / n 2>üü . /1 n : n 1>, d5K
O 1 n 1, n, · · · , 2n 3 . ù
^ 2n 3 .
n óê : aq/, ò Kn 2 ^ n 3 / , n 2 :
z: / n 3 >üü ., g/1 n 1 : a ù n
2 : >. /^S av1, av2, · · · , avn 2, K§ O 1
n 2, n 1, · · · , 2n 5 . 5w1 n : b. 5 n > 4, ·
g/ù
>: bv2, bv3, · · · , bvn 3, bv1, bvn 2. 5K§ O
n 2, n 1, n, · · · , 2n 6, 2n 4. / ab 1 . ù
^
2n 4 .
n , Y : n ê , 2n 3 ; n óê , 2n 4.
5 K | K. K 3 óê Y. óê
Y3 n = 4 , ¤± } y %y , Lé n = 6
& w n 3E. êü é , óêy
1 , é .
11
10.5 k 11 ê ( ). U 5
u { 6
) U.
E: 10 1, 2.
y: e 5 ê 1, k 1 > 2; e 5 êk 4 1 2, K
2 > 1.
5 K {üEK. N w 11 ê 1. w
11 ê 7L ê, K y 5 ê Kê, 6 ê ê
.
{ü/ 5 êK5, ê, r 10
KêC¤ , O
.
10.6 ê n > 5. 3 / kd 0 1 |¤S. éz
d 0 1 |¤ nS w, O U
l } k w
{ê. · kS 11 |00 {·z· · 0} ygê , M g; S 0|0 {·z· · 0} 11
n 2 n 2
ygê ( U 0 g). y : 3, 0 1 |¤ n S
yT M g.
y = f(w) U
l } k w {ê. k
f(11 |00 {·z· · 0}) =M . f(|00 {·z· · 0} 11) = m.
n 2 n 2
· z Y4 0 ( ` m ( ) 0, ü>
1 ù( ) , 0 ê n 2@
. k N .
, rz ù 0 éA¤ m> n 2 ", ` |00 {·z· · 0} 1 y
n 2
gê N (N uyù éA). ¤±
f(|00 {·z· · 0} 11) + f(|00 {·z· · 0} 10) = f(0|0 {·z· · 0} 1) = N,
n 2 n 2 n 2
ù` N ≤ m+M .
n, k
f(11 |00 {·z· · 0}) + f(01 |00 {·z· · 0}) = N,
n 2 n 2
ù` N ≥ m+M.
¤± ü , k f(|00 {·z· · 0} 10) =M.
n 2
y.
12
5 K J | K, { éAOê, L^

.
10.7 3 1o>/ ABCD> BC : E, 3> AD : F ,
4ABE CF . y : 4CDF AE .
T T
y X , AB CF = X,CD AE = Y .
ky : CX 4ABE = CX u X,C
4ABE .
ù : e CX 4ABE , T w,¤á.
5 ABCF , CX 4ABE E ;
E C , X,C 4ABE C. ¤±
ù 7 ^ .
O B, AD = BC = 1, AF = a, CE = b, AB = c,∠B = θ.
CX 4ABE ^
√ √
XA ·XB + CA · CE = CX.
d XA = AF XA = ca , XB = c , duXB BC 1 a 1 a
ac2 √
+ b = CX.
(1 a)2
d{u n,
CX2 2 2 · · c c= XB +BC 2XB BC cosB = ( )2 + 1 2 · cos θ.
1 a 1 a
CX 4ABE ^
ac2 2c √ c2
+ b+ ab = + 1 2c · cos θ.
(1 a)2 1 a (1 a)2 1 a
n
√
(1 a)(1 b) + c2 = 2c( ab+ cos θ).
13
5 T 'u a, bé , ¤±4CDF AE
7 ^ T . ¤±ü| pd. y.
5 d){5g , ) ^
O ^ {,
) { éE,
. ) ^
m y n, L éu CF
1O . O
, f .
ùp2J ( XA {: · ABE CF : P .
AE : Q CQ AP . ( AF EC, N '~ FQ EP .
5 ∠FQC = ∠APE = π ∠B = π ∠D, ¤± Q3DFC . (
∠AQF = ∠PEA = ∠FPA = ∠FCQ,
Bk Q DFC AE :. y.
A ){I uy CQ AP ù 5 . uyB L{ü
5y , | , {'.
10.8 éê N , ¤kl L í U
¤
k ê. y : N ¤kê , ù
êê8k .
y é N ê8By ê8 300.
N u 10 w,. bu t ( ¤á, N t ê .
eN 10 ê: eN " k ê 0, Kl L í
U
ê U K, 0, 1 . e N " kóê 0,
Kl L í U
ê U K" 0.
d éu N ^8Bb= .
100
±eb N 10 ê.
N , XJK§ ê.
N [ t ] 5 , ekü , § ê ,
2
x2, y2, K x2 y2 ≤ t10 12 . x, y ≥ t 2 2 t10 2 , ` x y ≥ 10 2 , g !
N [ t ] 5 , ê.
2
e 5w N c [ t ] 5 .
2
e N 5 ê: 5w N c [ t ] 15 . bn
4
ê x2, y2, z2. k
3t
x2 ≡ y2 ≡ z2 (mod 10[ ]+104 ),
, x, y, z ê 5 ê.
14
≡ ± [ 3t ]+10 ≡ ± [ 3tù` x y (mod 5 4 ), x z (mod 5 ]+104 ).
3t
d Tn, x, y, z 7kü mod 5[ ]+104 . ¤±§
[ 3t5 ]+10
3t
4 . ù` § (5[ ]+104 )2 ≥ 10t+1 > N , g ! ¤±ù

ü ê.
2w N lc 1 [ t ] + 15 1 [ t ] 5 . bn
4 2
ê x2, y2, z2. k
x2 ≡ y2
t
≡ z2 (mod 10[ ]+32 ),
, x, y, z ê 5 ê.
t t
ù` x ≡ ±y (mod 5[ ]+32 ), x ≡ z (mod 5[ ]+32 ).
t
d Tn, x, y, z 7kü mod 5[ ]+3 [
t
.¤±§ 5 ]+32 2 .
t 3t
ù` § (5[ ]+3)22 > 10 4 . 3lc 1 [ t ] + 15 1
4
[ t
3t
] 5 míü 10 4 , g ! ¤±ù
ü
2
ê.
\ v @
, 2 + 2 + 1 + 12 + 35 < 300 ê. ¤á!
e N 5 ê, K 2 ê. 5w N c [ t ] 15 . b
6
5t
5 ê x2, i = 1, 2, 3, 4, 5. k x2 (mod 10[ ]+106i i ) {. ,
xi, i = 1, 2, 3, 4, 5 ê 2 ê.
· I Xe n.
n e 5 ê mod 102l+1 , K ê 7kü
5l · 22lê.
y eù 5 ê 5l ê, du§ ê, ` § mod 22l üü
ê. d Tn7kü mod 22l , ¤á!
K, § 5lê, § 5 g , u < l. ù 5
ê ± 5u , § 5 ê, § mod 52l 2u . ù` #
5 ê mod 52l 2u üü ê. ¤±5 5 ê 52l u üü
ê. q§ mod 22l üü ê. d Tn7kü ê
mod 52l u · 22l , d u < l¤á! ny.
5t 5t
K, d n, ù 5 êkü 5 +1 · 2 +212 6 . ù` §
5t+2 · 5t 5t 5t 5 2 +46 3 . N < 10t+1 < 5 +2 +46 · 2 3 .
g !
25w N c 1 [ t ] 151 [ t ] + 15 . b 5
3 6
ê x2, i = 1, 2, 3, 4, 5. k x2 (mod 10[
2t ]+10
3
i i ) {. , xi, i = 1, 2, 3, 4, 5
15
t
ê 2 ê. d n, ù 5 êkü 5 +1 · 2t2 +23 3 . ù`
2t 4t
§ 5 +2 +4 t t3 · 2 3 . l N c 1 [ ] 151 [ ] + 15
3 6
5t 2t 4t
íü ¤ê 10 < 5 +2 · 2 +46 3 3 . g !
25w N c 1 [ 5t ] 151 [ t ] + 15 . b 5
12 3
7t
ê x2i , i = 1, 2, 3, 4, 5. k x
2 (mod 10[ ]+1012i ) {. , xi, i = 1, 2, 3, 4, 5
7t 7t
ê 2 ê. d n, ù 5 êkü 5 +1 +224 · 2 12 .
7t 7t
ù` § 5 +2 · 2 +4. l N c 1 [ 5t12 6 ] 151
12
2t 7t 7t
[ t ] + 15 íü ¤ê 10 3 < 5 +212 · 2 +46 . g !
3
w N c 1 [ t ] 151 [ 5t ] + 15 . b 5
2 12
ê x2
t
i , i = 1, 2, 3, 4, 5. k x
2 (mod 10[ ]+102i ) {. , xi, i = 1, 2, 3, 4, 5
t t
ê 2 ê. d n, ù 5 êkü 5 +1 +24 · 2 2 . ù`
t
§ 5 +2 · 2t+42 . lN c 1 [ t ] 151 [ 5t ] + 15
2 12
5t t t
íü ¤ê 10 < 5 +1 · 2 +212 4 2 . g !
\ @
v ê, ê 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 35 +
35 + 35 + 12 < 300. ¤á!
n , y.
5 K ê K, { J, = LO
mod 10 5 . ±w, § 10ê. Oc
I L ;, K8 y ~ê .
3 c
11.1 9.1.
11.2 xk ê y = sinx y = tanx , ±9 I . N
^ 5 x ^ , § u ê 3 (Ox) e
( U keZ :)
16
) X : O :, y = x y = tanx, x ∈ [π, 2π] u A.
L A R x y = sinxu: B. K OB ¤ .
du y = sinx'u: %é , I` T .
, L O y = sinx, x ∈ [0, 2π] , · y := B.
: I (x, sinx), K sinx 4 . Bk x = tanx, ` :=
x
B.
5 K' 3u|^ y = tanx . k 4ù^ L
:. , ± L 5 : I÷v o5 .
11.3 b4ABC 3 , > BC. PQ ^ , P 3l AB , Q3l A C . :X, Y, Z O P
AB, Q AC, A PQ Rv. y : 4XY Z % u
( 6u: P Q ).
y dn|R APXZ , AP . AP,AQ : K,L,
AB,AC : M,N . 4XY Z % O. Kk KO⊥XZ,OL⊥Y Z. 5

∠BPZ + ∠PZX = ∠BPQ+ ∠PAB = ∠PAQ = 90 ,
k XZ⊥BP PB KO.
q KM 4APB , k BP KM . ¤± KMO . n LNO
.
5 ∠MON u BP CQYu 90 ∠A , M,N
:, ¤± O3±MN ± 90 ∠A u . y.
17
5 K uy± ( J, ±xIO , ± L (w
XZ BQlw .
11.4 10.4.
11.5 10.5.
11.6 ê n . i `é m n^üü ú: ,
±3ù
I k : u . ·K¤á k

) n óê , Y n ; n ê , Y n+ 1.
, n óê , x n ^üü 1 , ,rz^ C¤ ü
2
ò ü^ . 5 ^ kü :, `
ù n^ k n :. n ê , x n 1 ^üü 1 ,
2
,rz^ C¤ ü ò ü^ . ,2 x ^ 1
, ù § n+ 1 :.
, , e n óê, ¤k n^ à:. ù
ù Tk n :.
e n ê, · é α 1. ù, z^
a e, § ò 3 α e .
, n+1 ^. r α v
l ¤kù
à:
2
3 Ne . 5 , ±w . -
w α N, %3 N . 5 , z^
N , 5 z^ , e§à
:3 , K§ ü :. u , ù ù n+1 ^
2
z^ kü :. k n+ 1 .
n , n óê , Y n ; n ê , Y n+ 1.
5 K J | A K. óê {ü, êü I

| A ~ {.
11.7 10.8.
11.8 é4ABC z :, S x ù 7ü^ , 'uéA
é . x z d ¤n/ . y : XJ
4ABC , K , .
18
y 1 X , n^ù 4XY Z. N w, 3 ABC
S 4DEF DF XZ,DE XY,EF Y Z, 4DEF,4XY Z
q. l 4DEF ( 4XY Z.
± ABC ü áE , ^ :i1L :éAEê.
· ^ a, b, c, d, e, f L XY Z DEF ^ .
du4XY Z,4DEF q, q % T ,k XY Z DEF
^ T 3ü . , du DX EY ü : .
kO x : k
x b x b x c x c
= , = .
d f d f d e d e
( a, b, c, d, e, f ü Eê, n
df de
x+ dfx = b+ , x+ dex = c+ .
b c
)
be cf + def(1 1)
x = b c .
e f
DX ü u X ′, Kdu :ú k x+ dx′x = d+ x′. )
′ d xx = .
dx 1
é /, EY ü u Y ′. Kk
e y
y′ = .
ey 1
K XY Z DEF ^ x′ = y′, m
be cf de+ df + def(1 1) cf da ef + de+ def(1 1)
b c = c adf .de bP+ c e+ f ef de c+ a f + dc e a c
{z , ^ cycL é a, b, c , é d, e, f . ùp
19
A ~f: X X
ad = ad+ be+ cf, ae2 = ae2 + bf 2 + cd2.
cyc cyc
u X m±e fX:
abc ab(e d) + 2abc a( de+ df)
cyc cyc
+ abc(d e)(e f)(f d) + def(a Xb)(b c)(c a) X
(ad be)(be cf)(cf ad) + 2def ab(e d) + def de(b a)
cyc cyc
= 0.
Pù f (#)
, , 5 XJù éA4DEF , 7 éA4D′E ′F ′, Kk
dd′ = bc, ee′ = ac, ff ′ = ab.
¤± Iy : er bc , ac , ab \ (#), Kdu (#).
d e f
P , r bc , ac , ab \ (P#) f (def)
2
2 , Kk:d e f (abc)
abc Pcyc ab(e d) def cyc dPe(b a) C , ;
2abc cyc a( de+ df) 2def cyc ab(e d) C , ;
abc(d e)(e f)(f d) (ad be)(be cf)(cf ad) C , ;
def(a b)(b c)(c a) C.
`, r bc , ac , ab \ (#) f (def)
2
,Ku (#) .
d e f (abc)2
y!
y 2 · ÷^ i1. éuù n/ 4XY Z, 5y
ABZ,ACY,BCX u : P (aq :().
ù I y
∠AZB + ∠BXC + ∠AY C = 2π.
ù w,.
,± P %, üC . éz : U , ^ U ′ L ü
:. ,· k
∠X ′Y ′Z ′ = ∠X ′Y ′P + ∠Z ′Y ′P
= ∠Y XP + ∠Y ZP
= ∠PBC + ∠ABP = ∠ABC.
20
é /Bk
4X ′Y ′Z ′ ABC.
g, d ü5 k A′, B′, Z ′ , A′, C ′, Y ′ , B′, C ′, X ′ .
q
∠X ′Y ′A′ = ∠X ′Y ′P ∠A′Y ′P = ∠Y XP ∠Y AP
= ∠PBC ∠Y CP = ∠PBC ∠XBP
= ∠CBX.
5 7 ù 'X. é /B, eò X ′Y ′Z ′w #
n/, A′B′Z ′, A′C ′Y ′, B′C ′X ′ w n^ , @od( K n^7
( q. d ü± 5 , ` A′B′C ′ X ′Y ′Z ′ ,
y
K.
5 K J A K. { ) {, g é{ü, =
k L DEF 5 xn^ù , ,O ü ^ . ^Eê
{ : . ù {O .
{ ( XA ){. ù {| / ü ü ·K
3 ü ed, ^
ü5 , {'.
21

展开更多......

收起↑

请用微信扫码

2022年全俄数学竞赛决赛试题及解析（PDF版含答案）

2022年全俄数学竞赛决赛试题及解析（PDF版含答案）