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第十章 静电场中的能量
课时10.3 电势差与电场强度的关系
1.知道公式U=Ed的推导过程。
2.理解匀强电场中电势差与电场强度的定性、定量关系。
3.能够熟练应用U=Ed解决有关问题。
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：UAB＝Ed或E＝。
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
3．适用条件：匀强电场。
二、公式E＝的意义
1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
3．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
基础过关练
题组一　公式UAB=Ed和E=的理解
1.对公式E=和UAB=Ed的理解，下列说法正确的是 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.公式UAB=Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.由UAB=Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C.由E=知，匀强电场中A、B两点沿电场线方向的距离越大，则电场强度越小
D.公式中的d是匀强电场中A、B两点所在的两等势面之间的距离
题组二　利用公式UAB=Ed和E=定量计算
2.雷击，指打雷时电流通过人、畜、树木、建筑物等而造成杀伤或破坏，其中一种雷击是带电的云层与大地上某点之间发生迅猛的放电现象，叫作“直击雷”。若某次发生“直击雷”前瞬间，带电云层到地面的距离为8千米，云层与地面之间的电压为2×107千伏，则此时云层与地面间电场(视为匀强电场)的电场强度为 (　　)
A.2.5×103 V/m B.2.5×106 V/m
C.2.5×107 V/m D.2.5×109 V/m
3.如图所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为 (　　)
A.竖直向下，E=0.4 V/m 　　B.水平向右，E=0.4 V/m
C.水平向左，E=40 V/m 　　　　　　D.水平向右，E=40 V/m
4.如图所示，匀强电场场强E=100 V/m，A、B两点相距L=10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA为 (　　)
A.-10 V 　　B.10 V
C.-5 V 　　D.-5 V
5.如图所示，A、B、C为匀强电场中的三个点，已知AC⊥BC，∠ABC=53°，BC=20 cm；把一个电荷量q=10-5 C的正电荷从A移到B，静电力做功为零，从B移到C，静电力做功为-1.6×10-3 J，则该匀强电场的场强大小和方向为 (　　)
A.800 V/m，垂直AC向左
B.800 V/m，垂直AC向右
C.1 000 V/m，垂直AB斜向上
D.1 000 V/m，垂直AB斜向下
6.如图所示，匀强电场场强为1×103 N/C，ab=dc=4 cm，bc=ad=3 cm，则下列说法正确的是 (　　)
A.a、b之间的电势差为4 000 V
B.a、c之间的电势差为50 V
C.将q=-5×10-3 C的点电荷沿abc或adc从a移到c，静电力做功都是-0.25 J
D.将q=-5×10-3 C的点电荷沿矩形路径abcda移动一周，静电力做功为零
如图所示，在匀强电场中有A、B两点，它们相距2 cm，两点的连线与场强方向成60°角。将一个不知道电荷性质，电荷量为2×10-5 C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.2 J。
(1)电荷带正电还是负电？由A到B静电力做的功WAB为多少？
(2)A、B两点的电势差UAB为多少？
(3)求匀强电场的场强的大小。
题组三　利用公式UAB=Ed定性分析非匀强电场
8.如图所示，三个同心圆是同一个正点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10 V和φC=2 V，则B点的电势(深度解析)
A.一定等于6 V
B.一定低于6 V
C.一定高于6 V
D.无法确定
9.如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB=BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，A、B与B、C间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中不正确的有 (　　)
A.φA>φB>φC
B.EC>EB>EA
C.UABD.UAB=UBC
10.(多选)如图所示，实线表示某电场中一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有等间距的A、B、C三点，则 (　　)
A.B点的场强小于C点的场强
B.A点的电场方向指向x轴正方向
C.A、B两点的电势差小于B、C两点的电势差
D.A、B两点的电势差等于B、C两点的电势差
题组四　匀强电场中电势差、电势的比例关系
11.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1 cm的圆与两坐标轴的交点，A、B、C、D所在平面与电场方向平行，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V、φB=3 V、φC=-3 V，由此可得D点的电势为 (　　)
A.3 V B.6 V
C.9 V D.12 V
12.a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图所示。由此可知c点的电势为 (　　)
A.4 V B.8 V
C.12 V D.24 V
13.如图所示，匀强电场中有一平行四边形abcd，且平行四边形所在平面与场强方向平行。其中φa=10 V，φb=4 V，φd=8 V，则c点电势为 (　　)
A.10 V B.4 V
C.7 V D.2 V
14.如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个梯形的四个顶点，梯形的下底边长是上底边长的3倍，电场线与梯形所在平面平行，已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，则c点的电势为 (　　)
A.8 V B.12 V
C.16 V D.20 V
能力提升练
题组一　找等势面，定电场线
1.()如图所示，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长L=4 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面。已知A、B、C、D的电势分别为-4 V、0、8 V、12 V。则下列说法正确的是 (　　)
A.E点的电势φE=0
B.A、F间的电势差UAF=0
C.该匀强电场的场强大小E=100 V/m
D.该匀强电场的电场线垂直于B、F连线
2.()图中A、B、C、D是匀强电场中一边长为0.10 m的正方形的四个顶点，匀强电场的方向平行于正方形所在平面，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V，φB=3 V，φC=9 V，则AB中点的电势为　　　　V，该电场的电场强度大小为　　　　V/m。

题组二　电势(能)φ(Ep)随位移x变化的图像
3.()如图所示，O、A为某电场中一条平直电场线上的两个点，将负点电荷从O点静止释放，仅在静电力作用下运动到A点，其电势能随位移x变化的关系如图所示。则电荷从O到A的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.静电力做负功
B.O点电势比A点电势高
C.从O到A，电场强度先减小后增大
D.从O到A，电场强度一直增大
4.()(多选)如图甲所示，A、B为某电场中一条直线上的两个点，现将一负点电荷从A点静止释放，仅在静电力作用下运动一段距离到达B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图乙所示，该点电荷从A到B的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.静电力对电荷先做正功后做负功
B.电势先升高后降低
C.电荷所受静电力先增大后减小
D.电荷所受静电力先减小后增大
5.()如图甲所示为电场中的一条电场线，在电场线上建立坐标轴，则坐标轴上O~x2间各点的电势分布如图乙所示，则 (　　)
A.在O~x2间，电场强度先减小后增大
B.在O~x2间，电场强度方向没有发生变化
C.若一负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐减小
D.从O点由静止释放一仅受静电力作用的正电荷，则该电荷在O~x2间一直做匀加速运动
题组三　能量守恒定律在电场中的应用
6.()(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为15 eV，经过等势面C时，电势能为-8 eV，经过等势面A时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计。下列说法正确的是 (　　)
A.电子从等势面D到A一定做匀变速运动
B.电子在等势面A的电势能为15 eV
C.等势面B的电势为-3 V
D.匀强电场的电场强度大小为125 V/m，方向从等势面D指向A
7.()(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，相邻等势面间距离为5 cm。一个电子仅在静电力的作用下垂直经过电势为零的等势面D时，动能为15 eV，到达等势面A时速度恰好为零。则下列说法正确的是(深度解析)
A.场强方向从A指向D
B.匀强电场的场强大小为100 V/m
C.电子经过等势面C时，电势能大小为5 eV
D.电子到达等势面A时，电势能大小为10 eV
答案全解全析
3　电势差与电场强度的关系
基础过关练
1.D　公式UAB=Ed适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差，选项A错误；由UAB=Ed知，当E一定时，A点和B点间沿电场线方向的距离越大，则这两点的电势差越大，选项B错误；匀强电场的场强处处相同，与A、B两点沿电场线方向的距离无关，选项C错误；公式中的d是匀强电场中A、B两点所在的两等势面之间的距离，即沿电场线方向的距离，选项D正确。
导师点睛　电场强度E和电势差U的关系
由E=可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势；
电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向；
电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢。
2.B　根据U=Ed得到E== V/m=2.5×106 V/m，选项B正确，A、C、D错误。
3.D　电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E== V/m=40 V/m，故D项正确。
4.C　A、B连线与电场线方向间的夹角θ=60°，A、B两点沿电场方向的距离d=L cos θ=0.05 m，A、B两点间的电势差UAB=Ed=100×0.05 V=5 V，所以UBA=-UAB=-5 V，选项C正确。
易错警示　利用U=Ed解题时需要注意的问题
(1)在选取物理公式时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。
(2)据U=Ed可以得出结论：两点间电势差与两点沿电场线方向的距离d成正比。但不能据E=得出场强与d成反比。
5.D　如图，由题可知q=10-5 C的正电荷从A移到B，静电力做功为零，则A与B电势相等，A、B连线是一条等势线，B、C间电势差为UBC== V=-160 V，所以UCB=-UBC=160 V，该匀强电场的场强大小为E== V/m=1 000 V/m，方向垂直于AB斜向下，选项D正确。
6.D　a、b之间的电势差Uab=E·ab=103×0.04 V=40 V，选项A错误；由题图看出，b、c在同一等势面上，电势相等，则a、c之间的电势差等于a、b之间的电势差，为40 V，选项B错误；将q=-5×10-3 C的点电荷沿abc或adc从a移动到c，静电力做功相等，均为W=qUac=-5×10-3 C×40 V=-0.2 J，选项C错误；将q=-5×10-3 C的点电荷沿矩形路径abcda移动一周，静电力做功为零，选项D正确。
7.答案　(1)负电　-0.2 J　(2)104 V　(3)106 V/m
解析　(1)将电荷由A移到B，其电势能增加0.2 J，则静电力做功WAB=-0.2 J，则电荷带负电。
(2)q=-2×10-5 C，根据静电力做的功与电势差的关系，A、B两点的电势差
UAB== V=104 V
(3)由几何关系可知A、B两点沿电场方向的距离
d=LAB cos 60°=0.01 m
该匀强电场的场强大小E==106 V/m
8.B　根据点电荷电场的特点，电场强度向外越来越小，由公式U=Ed可知A、B两点间电势差大于4 V，所以B点的电势低于6 V，选项B正确，A、C、D错误。
导师点睛　对U=Ed的理解
虽然公式U=Ed只适用于匀强电场，但也可以用来定性分析非匀强电场的情况，分析时可以将公式中的E理解为该距离内的平均电场强度。
9.D　A、B、C三点处在一条电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降低，有φA>φB>φC，选项A正确；由电场线的疏密可看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，选项B正确；由于AB=BC，U=Ed，且B、C间平均电场强度较大，故UAB10.ABC　等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小，由于0.4 V与0.2 V两个等势面间电势差等于0.6 V与0.4 V两个等势面间电势差，C处的等势面密，所以C点电场强度较大，选项A正确；电场线与等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，故A点场强方向指向x轴正方向，选项B正确；等差等势面的疏密程度表示电场强度的大小，所以A、B两点间的平均场强小于B、C两点间的平均场强，由公式U=Ed，可知，A、B两点电势差小于B、C两点电势差，选项C正确，D错误。
11.C　在匀强电场中，沿着同一方向，距离相同的两点的电势差相等，故φA-φB=φD-φC，代入数据解得φD=9 V，选项C正确。
12.B　方法一：连接b、d，因Ubd=20 V，可将bd等分为5份，找到4个等分点e、f、g、h，由图可知φe=20 V，则a、e等电势，由对称关系可知h点与c点电势相等，即φc=8 V。
方法二：因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb-φc=φa-φd，解得φc=8 V，故选项B正确。
规律总结　(1)在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。
当线段与场强方向平行时，由U=Ed可知，d相等，U相同；当线段与场强方向不平行时，只要沿场强方向的长度相等，则U相同。如图甲所示， ABCD中，UAB=UDC，UBC=UAD。
甲
乙
(2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=，如图乙所示。
13.D　在匀强电场中，平行且相等的线段两端点的电势差是相等的，由于Uab=φa-φb=10 V-4 V=6 V，则d、c两点间的电势差Udc也等于6 V，即φd-φc=6 V，解得φc=2 V，选项D正确，A、B、C错误。
14.C　因为b、a间的电势差为4 V，而cd的长是ab的3倍，则c、d间的电势差是b、a间电势差的3倍，即Ucd=12 V，因为d点的电势为4 V，则c点的电势为16 V，选项C正确，A、B、D错误。
能力提升练
1.D　如图所示，连接AD、BF、CE，AD与BF、CE的交点分别为M、N，设六边形的中心为O，
由图可知，AD与BF、CE都垂直，由正六边形的特点可知，AM=MO=ON=ND，所以可知M、O、N的电势分别是0 V、4 V、8 V，所以BF和CE为等势线，则有φF=φB=0 V，φE=φC=8 V，UAF=φA-φF=-4 V，选项A、B错误。因为电场线和等势面垂直，BF为等势线，故电场线和BF垂直，选项D正确；根据E=可得匀强电场的场强大小E==200 V/m，选项C错误。
方法技巧　等分法解题一般步骤
2.答案　9　60
解析　设AB的中点为M，则根据匀强电场的特点可知，AB中点的电势为φM==9 V，因C、M两点电势相等，可知M、C连线为等势线，作出MC的垂线，如图所示，则场强方向沿垂线斜向下，由几何关系可知NB= m，则场强E== V/m=60 V/m。
3.C　由题图知负电荷从O到A的过程中，电势能减小，静电力做正功，据φ=知，电势升高，则O点电势比A点电势低，选项A、B错误；根据==qE可知，Ep-x图线的切线斜率大小反映场强的大小，则从O到A，电场强度先减小后增大，选项C正确，D错误。
4.ABD　该负点电荷从A到B的过程中，电势能先减小后增大，则静电力先做正功后做负功，则说明静电力方向发生变化，即电场线方向先向左，后向右，所以电势先升高后降低，选项A、B正确；电势能Ep随位移x的变化关系图线的斜率表示静电力的大小，因此静电力先减小后增大，选项C错误，D正确。
5.B　φ-x图线的斜率的大小等于电场强度，由几何知识得知，图线的斜率先增大后减小，则电场强度先增大后减小，但斜率一直是负的，场强方向没有改变，选项A错误，B正确；由题图乙可知，O~x2间，电势逐渐降低，负电荷在高电势处电势能小，故负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐增大，选项C错误；从O点由静止释放一仅受静电力作用的正电荷，则该电荷在O~x2间做加速运动，但电场强度先增大后减小，所以电荷的加速度先增大后减小，不是匀加速运动，选项D错误。
6.AD　因为电场为匀强电场，电子受的静电力为恒力，所以电子做匀变速运动，选项A正确；电子从等势面D运动到A的过程中，由动能定理得-eUDA=0-EkD，解得UDA=15 V，电子在等势面C时，由EpC=-eφC，解得φC=8 V，相邻等势面之间的距离相等，则相邻两等势面的电势差相等，UDC=UCB=UBA=UDA，解得φB=3 V，φA=-2 V，电子在等势面A时的电势能EpA=-eφA=2 eV，选项B、C错误；由电势差与电场强度的关系可知E==125 V/m，方向从等势面D指向A，选项D正确。
7.BC　电子到达等势面A时速度恰好减为零，说明静电力方向向下，负电荷受到的静电力方向与电场强度方向相反，故场强方向为从D指向A，选项A错误；电子从D到A，动能减小15 eV，故静电力做功-15 eV，故有WDA=-eEdDA=-15 eV，解得E==100 V/m，选项B正确；只有静电力做功，电势能和动能之和守恒，故EkD+EpD=EkA+EpA，解得EpA=15 eV，匀强电场中，沿同一方向，相同距离电势变化相同，故EpC=5 eV，选项C正确，D错误。
导师点睛　只有静电力和重力做功时，只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。

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