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第十章 静电场中的能量
课时10.1 电势能和电势
1.理解静电力做功的特点。
2.知道静电场中的电荷具有电势能，了解电势能、电势的含义。
3.了解电势与电场线的关系，知道沿着电场线的方向电势逐渐降低。
4.知道电势能变化与电场力做功的关系。
一、静电力做功的特点
1．特点：静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
2．在匀强电场中静电力做功：WAB＝qE·LABcosθ，其中θ为静电力与位移间的夹角。
二、电势能
1．概念：电荷在电场中具有的势能。用Ep表示。
2．静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB。
3．电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移到零势能位置时静电力所做的功。
4．零势能点：电场中规定的电势能为零的位置，通常把电荷在离场源电荷无限远处或大地表面的电势能规定为零。
三、电势
1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
2．定义式：φ＝。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V,1 V＝1 J/C。
4．特点
(1)相对性：电场中各点电势的大小，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远或大地为零电势位置。
(2)标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。
5．与电场线关系：沿电场线方向电势逐渐降低。
基础过关练
题组一　静电力做功的特点
1.如图所示是以电荷+Q为圆心的一组同心圆(虚线)，电场中有A、B、C、D四点。现将一带电荷量为q的正点电荷由A点沿不同的路径移动到D点，沿路径①做功为W1，沿路径②做功为W2，沿路径③做功为W3，则 (　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.W2B.W1=W2=W3
C.W2>W3>W1
D.因不知道q的具体数值，故无法进行判断
2.如图所示，电场强度为E的匀强电场中，带电荷量为+q的电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动，已知AB长为d，关于静电力做的功和大小关系，下列说法正确的是 (　　)
A.沿折线ACB运动时，静电力做功最多
B.沿直线AB运动时，静电力做功最少
C.沿直线AB运动时，静电力做功为qEd
D.沿直线AB运动时，静电力做功最多
3.如图所示，在场强为E的水平匀强电场中，一根长为l的绝缘杆，两端分别固定着带有电荷量+q和-q的小球(大小不计)。现让绝缘杆绕中点O逆时针转动α角，则转动中带电小球克服静电力做功为　　　　。
题组二　电势能
4.如图所示，真空中有一对平行金属板，分别接在电源的两极上，一个带正电荷的粒子，在静电力的作用下由静止开始从正极板附近向负极板运动，则该带电粒子在运动过程中 (　　)
A.静电力对它做正功，电势能增加
B.静电力对它做正功，电势能减少
C.静电力对它做负功，电势能增加
D.静电力对它做负功，电势能减少
5.a、b为电场中的两个点，如果把电荷量q=-3×10-8 C的负电荷从a点移动到b点，静电力对该电荷做了6×10-7 J的正功，则该电荷的电势能 (　　)
A.增加了3×10-7 J
B.增加了3×10-8 J
C.减少了6×10-7 J
D.减少了1.8×10-14 J
6.一个带正电的粒子沿曲线从a到b越过匀强电场，则以下说法正确的是 (　　)
A.静电力做正功，电势能增加
B.静电力做正功，电势能减少
C.静电力做负功，电势能增加
D.静电力做负功，电势能减少
7.(多选)如图所示，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个负的试探电荷在这个电场中仅在静电力作用下运动的轨迹。若电荷是从a处运动到b处，以下判断正确的是 (　　)
A.电荷的加速度减小 B.电荷的动能减小
C.电荷的电势能减小 D.电荷的电势能增大
8.将带电荷量为1×10-8 C的正电荷，从无限远处移到电场中的A点，要克服静电力做功1×10-6 J，(规定电荷在无限远处电势能为零)问：电荷的电势能是增加还是减少？电荷在A点的电势能是多少？
题组三　电势
9.关于公式φ=，可知 (　　)
A.电场中某点的电势，与放在该点的电荷具有的电势能成正比
B.电场中某点的电势，与放在该点的电荷的电荷量成反比
C.电场中某点的电势，与该点是否有电荷、电荷的正负及电荷量的大小有关
D.放入电场中某点的电荷不同，电势能也不同，但电势能与电荷量的比值保持不变
10.(多选)下列说法中正确的是 (　　)
A.沿电场线方向场强一定减小
B.沿电场线方向电势一定降低
C.电场线上每点的切线方向都和该点的场强方向一致
D.在静电力作用下，正电荷一定从高电势处向低电势处移动
11.某静电场中有一点P，关于P点的电场强度与电势，下列说法正确的是 (　　)
A.若放在P点的试探电荷的电荷量减半，则P点的场强减半
B.若放在P点的试探电荷的电荷量减半，则P点的电势减半
C.P点的场强、电势由电场本身决定，与试探电荷无关
D.P点的场强方向为试探电荷在该点的受力方向
12.在静电场中，让电子逆着电场线的方向由A点移到B点，如图所示，则(深度解析)
A.静电力做正功，A点电势高于B点
B.静电力做正功，A点电势低于B点
C.静电力做负功，A点电势高于B点
D.静电力做负功，A点电势低于B点
13.如图所示，真空中A点固定一点电荷，B、C是该点电荷电场中的两点，下列关于这两点的场强E的大小和电势φ的高低关系的判断正确的是 (　　)
A.EB>EC B.EBC.φB>φC D.φB<φC
14.某静电场的电场线分布如图所示，P、Q为该电场中的两点，下列说法正确的是 (　　)
A.P点场强小于Q点场强
B.P点电势低于Q点电势
C.将电子从P点移动到Q点，静电力做正功
D.将电子从P点移动到Q点，其电势能增大
15.如果把电荷量为1.0×10-8 C的电荷从无穷远处移到电场中的A点，需要克服静电力做功W=1.2×10-4 J，那么：
(1)电荷在A点的电势能和A点的电势各是多少？
(2)在电荷移入电场前，A点的电势是多少？
能力提升练
题组一　静电力做功与电势能变化的关系
1.()(多选)如图所示的电场中有A、B两点，下列判断正确的是 (　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.电势φA>φB，场强EA>EB
B.电势φA>φB，场强EAC.将正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少
D.将负电荷分别放在A、B两点，电荷具有的电势能EpA>EpB
2.()(多选)某静电场的电场线分布如图所示，P、Q为该电场中的两点，下列说法正确的是 (　　)
A.P点场强大于Q点场强
B.P点电势高于Q点电势
C.将电子从P点移动到Q点，静电力做正功
D.将电子从P点移动到Q点，其电势能增大
3.()如图所示，A、B为两个固定的等量同种正电荷，在它们连线的中点处有一个可以自由运动的正电荷C，现给电荷C一个垂直于A、B连线的初速度v0，若不计C所受的重力，则在电荷C以后的运动过程中，下列说法中正确的是 (　　)
A.加速度始终增大 B.电势能先增大后减小
C.静电力先增大后减小 D.速度先增大后减小
题组二　电势、电势能高低的判断
4.()如图所示为某电场中的一条电场线，A、B、C是其上的三点。现用EA、EB、EC表示这三点的电场强度，φA、φB、φC表示这三点的电势，EpA、EpB、EpC表示某一点电荷-q在这三点具有的电势能，则必有 (　　)
A.EA>EB>EC B.φA>φB>φC
C.EpA>EpB>EpC D.EpC=EpB=EpA
5.()如图甲所示直线是电场中的一条电场线，A、B是该线上的两点。一负电荷以一定初速度沿电场线从A运动到B，运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，则下列说法中正确的是 (　　)
A.该电场是匀强电场
B.A、B两点的电势相比一定是φA<φB
C.A、B两点的场强大小相比一定是EA>EB
D.该电荷在两点的电势能大小相比一定是EpA6.()将一电荷量为+Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场的电场线分布如图所示，金属球表面的电势处处相等。a、b为电场中的两点，则下列判断中错误的是 (　　)
A.a点的电场强度比b点的大
B.a点的电势比b点的高
C.试探电荷+q在a点的电势能比在b点的大
D.将试探电荷+q从a点移到b点的过程中，静电力做负功
7.()(多选)如图所示，两个等量的正电荷分别置于P、Q两位置，在P、Q连线的垂直平分线上有M、N两点，另有一试探电荷q，则(深度解析)
A.M点的场强大于N点的场强
B.M点的电势低于N点的电势
C.无论q是正电荷还是负电荷，q在M、N两点的电势能一样大
D.若q是正电荷，则q在N点的电势能比在M点的电势能大
题组三　电势和电势能的计算
8.()把q1=4×10-9 C的试探电荷放在电场中的A点，具有6×10-8 J的电势能，若把q2=-2×10-10 C的试探电荷放在A点，则电荷所具有的电势能是 (　　)
A.6×10-8 J B.-6×10-8 J
C.3×10-9 J D.-3×10-9 J
9.()一个电子在电场中A点具有80 eV的电势能，当它由A运动到B时，克服静电力做功30 eV，则 (　　)
A.电子在B点的电势能是50 eV
B.电子的电势能减少了30 eV
C.B点的电势为110 V
D.B点的电势为-110 V
题组四　利用粒子运动轨迹分析电学量
10.()如图，一带电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在静电力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右端。不计重力，下列表述正确的是 (　　)
A.粒子在M点的速率最大
B.粒子所受静电力沿电场方向
C.粒子在电场中的加速度不变
D.粒子在电场中的电势能始终在增加
11.()如图，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个负试探电荷在这个电场中的运动轨迹，若电荷是从a处运动到b处，以下判断正确的是 (　　)
A.电荷从a到b加速度减小
B.电荷在b处电势能小
C.b处电势高
D.电荷在b处速度小
题组五　电场中的功能关系
12.()如图所示，虚线a、b、c为电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知 (　　)
A.带电粒子在P点时的动能小于在Q点时的动能
B.P点的电势高于Q点的电势
C.带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的大，比在P点时的小
D.带电粒子在P点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
13.()一质量为m的带电小球，在竖直方向的匀强电场中以水平速度抛出，小球的加速度大小为，方向竖直向下，不计空气阻力，小球在下落h的过程中，下列判断正确的是 (　　)
A.动能增加
B.重力势能减少
C.机械能增加
D.电势能增加
14.()一个带电小球在空中从a点运动到b点的过程中，重力做功5 J，静电力做功2 J，克服阻力做功1 J。由此可判断出 (　　)
A.重力势能增加5 J B.电势能增加2 J
C.动能增加6 J D.机械能减少3 J
15.()如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，已知电场强度大小为E。有一质量为m的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线与竖直方向的夹角为θ。重力加速度为g，不计空气阻力的作用。
(1)求小球所带的电荷量并判断所带电荷的性质；
(2)如果将细线剪断，从剪断细线开始经过时间t，求这一段时间内小球电势能的变化。
答案全解全析
第十章　静电场中的能量
1　电势能和电势
基础过关练
1.B　因为静电力做功只与电荷在电场中的初、末位置有关，而与电荷运动路径无关，故沿三条路径将点电荷由A移动到D的过程中，静电力做功相等，选项B正确，A、C、D错误。
2.C　静电力做功与电荷经过的路径无关，电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动，其初、末位置相同，静电力做功相同，均为W=qEd，选项A、B、D错误，C正确。
3.答案　qEl(1-cos α)
解析　每个带电小球的初、末位置沿电场线方向的距离均为d=(1-cos α)，每个带电小球克服静电力做功W=Fd=qE(1-cos α)，故两个带电小球克服静电力做功W'=2W=qEl(1-cos α)。
4.B　左边极板带正电荷，右边极板带负电荷，故电场强度方向向右，粒子带正电荷，故所受静电力向右，位移向右，故静电力做正功，静电力做功等于电势能的减少量，故电势能减少，转化为了动能，选项B正确，A、C、D错误。
方法技巧　判断静电力做功的正负及电势能的增减的方法
若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
5.C　静电力对电荷做多少功，该电荷的电势能就减少多少，选项C正确。
6.B　粒子带正电，由其运动轨迹和场强方向可知，从a到b静电力做正功，电势能减少，选项B正确，A、C、D错误。
7.ABD　由电场线的疏密程度可知，Ea>Eb，再由a==知，A项正确；静电力的方向指向曲线的内侧，即沿电场线指向左，电荷从a处运动到b处，静电力做负功，动能减小，电势能增大，所以B、D项正确，C项错误。
8.答案　增加　1×10-6 J
解析　把电荷从无限远处移到电场中的A点，要克服静电力做功，即静电力做负功，电荷的电势能增加。W∞A=Ep∞-EpA，Ep∞=0，解得EpA=-W∞A=1×10-6 J。
9.D　此公式采用了比值定义法，不能说电场中某点的电势与放在该点的电荷具有的电势能成正比，与放在该点的电荷的电荷量成反比，因为电势是由电场本身决定的，选项A、B错误；电场中某点的电势，与该点是否有电荷、电荷的正负及电荷量的大小无关，选项C错误；放入电场中某点的电荷不同，电势能也不同，但电势能与电荷量的比值保持不变，选项D正确。
10.BC　沿电场线方向场强不一定减小，例如匀强电场，选项A错误；沿电场线方向电势一定降低，选项B正确；电场线上每点的切线方向都和该点的场强方向一致，选项C正确；若正电荷有一定的初速度，在静电力作用下，正电荷可以从低电势处向高电势处移动，选项D错误。
11.C　电场中某点的场强和电势是由电场本身决定的，与试探电荷无关，选项A、B错误，C正确；P点的场强方向为正的试探电荷在该点的受力方向，选项D错误。
12.B　让电子逆着电场线的方向由A点移动到B点，静电力方向由A指向B，则静电力做正功；沿电场线方向电势降低，可知A点电势低于B点，选项B正确，A、C、D错误。
方法技巧　比较电势高低的两个技巧
一看空间位置，沿电场线方向电势逐渐降低；二看由公式φ=计算出的结果的数值大小。
13.A　由点电荷电场强度公式E=k可知，离点电荷越远电场强度越小，所以EB>EC，选项A正确，B错误；如果点电荷为正电荷，根据沿电场线方向电势降低可知，φB>φC，同理，如果点电荷为负电荷，则φB<φC，选项C、D错误。
14.D　电场线越密集，场强越大，由题图可知P点处的电场线比Q点处的密集，所以P点场强比Q点大，选项A错误；沿电场线方向电势降低，所以P点的电势高于Q点的电势，选项B错误；将电子从P点移动到Q点，由于电子带负电，沿电场线方向运动静电力做负功，电子的电势能增大，选项C错误，D正确。
15.答案　(1)1.2×10-4 J　1.2×104 V　
(2)1.2×104 V
解析　(1)静电力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即φ∞=0，Ep∞=0。由W∞A=Ep∞-EpA得EpA=Ep∞-W∞A=1.2×10-4 J，φA== V=1.2×104 V。
(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷无关，所以在电荷移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V。
能力提升练
1.BC　电场线的疏密表示电场的强弱，故场强EAφB，选项A错误，B正确；将正电荷从A点移到B点，静电力做正功，电势能减少，选项C正确；负电荷在电势越高的地方电势能越小，则EpA2.BD　因为Q点处的电场线较P点处密集，可知P点场强小于Q点场强，选项A错误；沿电场线方向电势降低，可知P点电势高于Q点电势，选项B正确；将电子从P点移动到Q点，静电力做负功，电势能增大，选项C错误，D正确。
3.C　根据等量同种点电荷电场的特点，可知两个电荷连线的中点处的电场强度为零，从中点到无穷远，场强先增大后减小，所以电荷C受到的静电力先增大后减小，加速度先增大后减小，选项A错误，C正确；在全过程中静电力做正功，电势能一直减小，电荷C的速度一直增大，选项B、D错误。
4.B　电场线的疏密程度表示电场强度的大小，由于只有一条电场线，故无法判断电场强度的大小，选项A错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，所以必有φA>φB>φC，选项B正确；根据公式Ep=qφ，可知负电荷在电势高的点电势能小，故EpC>EpB>EpA，选项C、D错误。
5.D　速度-时间图线的斜率表示物体运动的加速度，由题图乙可知，电荷运动的加速度越来越大，也就是电场强度越来越大，即EA易错警示　电势能与电势不同，电势高的地方电势能不一定大，电势低的地方电势能不一定小，电势能不仅与电场有关，还与放入电场中的电荷有关。
6.D　电场线的疏密表示场强的大小，由题图知a点的电场强度比b点的大，选项A说法正确；a点所在的电场线从带电小球出发到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球表面的电势，而b点所在的电场线从金属球出发，终止于无穷远，所以金属球表面的电势高于b点的电势，选项B说法正确；正电荷在电势高处电势能大，所以试探电荷+q在a点的电势能比在b点的大，选项C说法正确；由于试探电荷+q在a点的电势能比在b点的大，试探电荷从a点移到b点的过程中，电势能减小，静电力做正功，选项D说法错误。
7.BD　根据电场的叠加原理可知M、N两点的场强方向相同(竖直向上)，但电场线疏密关系不能确定，所以场强大小关系不能判断，选项A错误；根据两个等量的正点电荷周围的电场线分布情况可知，两点的电场强度的方向为由N指向M，M点的电势低于N点的电势，选项B正确；若q是正电荷，根据Ep=qφ可知，q在N点的电势能比在M点的电势能大，选项C错误，D正确。
解题模板　电势能大小的四种判断方法
做功判断法 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增大
电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep=qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大，Ep的负值越小，电势能越小
能量守恒法 在电场中，只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小，反之电势能增大
8.D　A点电势为φ== V=15 V，把q2=-2×10-10 C的试探电荷放在电场中的A点，A点的电势不变，则该电荷的电势能为Ep2=q2φ=-2×10-10×15 J=-3×10-9 J，选项D正确，A、B、C错误。
9.D　“克服静电力做功”即静电力做负功，所以电势能增加，电子在A点具有80 eV的电势能，故电子在B点的电势能是(80+30) eV=110 eV，选项A错误；电子由A运动到B静电力做了-30 eV的功，电势能增加30 eV，选项B错误；根据电势的定义，由于带电粒子是电子，则B点的电势φB===-110 V，选项C错误，D正确。
10.C　根据做曲线运动的物体所受合力指向轨迹的凹侧，可知该粒子受到的静电力方向与电场方向相反，粒子带负电，选项B错误；粒子到达M点之前静电力做负功，粒子速度减小，电势能增加，粒子经过M点后静电力做正功，粒子速度增大，电势能减少，则粒子在M点速度最小，选项A、D错误；在整个过程中粒子只受静电力，根据牛顿第二定律可知粒子加速度不变，选项C正确。
11.D　电场线密的地方电场强度较大，电场线疏的地方电场强度较小，所以电荷从a到b加速度增大，选项A错误；由图可知，电荷受到的静电力方向向下，所以从a到b的过程中，静电力做负功，电势能增加，所以电荷在b处电势能大，选项B错误；电荷受到的静电力的方向向下，又知电荷带负电，所以电场线的方向向上，所以a点的电势高于b点的电势，选项C错误；静电力做负功，电荷的电势能增加，速度减小，所以电荷在b处速度小，选项D正确。
12.B　粒子做曲线运动，所受静电力指向曲线的凹侧，所以静电力方向向右，假设粒子从P到Q运动，静电力做负功，动能减小，即在P点时的动能大于在Q点时的动能，假设粒子从Q到P运动，静电力做正功，动能增大，即在P点时的动能大于在Q点时的动能，选项A错误；电场线的方向向左，沿电场线方向电势降低，所以P点的电势高于Q点的电势，选项B正确；粒子在运动过程中只有静电力做功，其电势能和动能之和不变，选项C错误；电场线越密的地方场强越大，粒子所受静电力越大，加速度越大，所以带电粒子在P点时的加速度大小大于在Q点时的加速度大小，选项D错误。
13.A　根据动能定理，小球动能的变化量等于合力做功，ΔEk=mah=mgh，选项A正确；小球重力势能减少量等于重力做的功，所以重力势能减少mgh，选项B错误；小球重力势能减少mgh，动能增加mgh，所以机械能减少了mgh，选项C错误；根据能量守恒定律可知，小球机械能减少了mgh，所以小球电势能增加了mgh，选项D错误。
14.C　重力做功等于重力势能的减少量，重力做功5 J，故重力势能减少5 J，选项A错误；静电力做功等于电势能的减少量，静电力做功2 J，故电势能减少2 J，选项B错误；合力做功等于动能的增加量，合力做功等于各个分力做功的代数和，总功为W总=WG+W电+W阻=5 J+2 J-1 J=6 J，故动能增加6 J，选项C正确；除重力外的各个力做的总功等于机械能的增加量，除重力外，静电力做功2 J，空气阻力做功-1 J，故机械能增加1 J，选项D错误。
15.答案　(1)　正电
(2)减少mg2t2 tan2θ
解析　(1)小球受到重力mg、静电力F和细线的拉力T的作用，由共点力平衡条件有：
F=qE=mg tan θ
解得：q=
小球所受静电力的方向与电场强度的方向相同，故小球所带电荷为正电荷。
(2)剪断细线后，小球做匀加速直线运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：
=ma
解得：a=
在t时间内，小球的位移为：l=at2=
小球运动过程中，静电力做的功为：W=qEl sin θ=mgl sin θ tan θ=mg2t2 tan2 θ
所以小球电势能的减少量为：ΔEp=mg2t2 tan2 θ

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