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考 前 必 背
一、直线的倾斜角、斜率及其关系
　　1.在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
直线的倾斜角α∈[0,π).
2.当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角α和斜率k满足k=tan α.
3.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k=.
二、直线的方程
　　直线方程的五种形式及适用范围:
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0) 与x轴不垂直的直线
斜截式 在y轴上的 截距、斜率 y=kx+b
两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 在x轴,y轴上 的截距 =1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 所有直线
点法式 过一点、直线法 向量n=(A,B) A(x-x0)+ B(y-y0)=0 所有直线
三、直线间的位置关系与距离公式
　　1.两条直线平行和垂直的判定
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2.
位置关系 判定 特例
平行 l1∥l2 k1=k2 直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行
垂直 l1⊥l2 k1k2=-1 一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直
　　2.两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标就是方程组的解.
　　3.距离公式
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|=;
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=(A,B不全为0);
(3)两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A,B不全为0,且C1≠C2).
四、圆的方程
圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合
圆 的 方 程 标准式 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心坐标:(a,b)
半径为r
一般式 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心坐标:
半径r=
五、直线与圆、圆与圆的位置关系
　　1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;
(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.
位置关系 几何法 代数法
相交 d0
相切 d=r Δ=0
相离 d>r Δ<0
　　2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置关系 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
六、椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0)
图形
性 质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -a≤y≤a,-b≤x≤b
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长; 短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长
焦距 |F1F2|=2c
离心率 e=,e∈(0,1),其中c=
a,b,c的关系 a2=b2+c2
七、双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0)
图形
性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c=
轴 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长
a,b,c的关系 c2=a2+b2
八、抛物线的标准方程及其几何性质
图形
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
九、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
　　联立直线l与圆锥曲线C的方程,消去x(或y),得ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),设其判别式为Δ,则有:
(1)若a=0,则当b=0时,l与C相离(无交点);当b≠0时,l与C相交(1个交点).
(2)若a≠0,则当Δ>0时,l与C相交(2个交点);当Δ=0时,l与C相切(1个交点);当Δ<0时,l与C相离(无交点).
十、圆锥曲线的弦长公式
　　当直线的斜率存在时,不妨设直线y=kx+b与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则可得弦长公式:
|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=|y1-y2|=·(k≠0);
当直线的斜率不存在时,|AB|=|y2-y1|.
十一、空间向量运算的坐标表示
　　1.空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
运算 坐标表示
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
　　2.空间向量常用结论的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
结论 坐标表示
共线 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量长度 |a|=
向量夹 角公式 cos=
　　3.空间两点间的距离公式
设P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则|PQ|=.
十二、空间向量基本定理
　　如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
十三、空间向量
　　1.设直线l,m的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
线线平行 l∥m或l与m重合 μ∥v μ=λv,λ∈R
线面平行 l∥α或l α μ⊥n1 μ·n1=0
面面平行 α∥β或α与β重合 n1∥n2 n1=λn2,λ∈R
线线垂直 l⊥m μ⊥v μ·v=0
线面垂直 l⊥α μ∥n1 μ=λn1,λ∈R
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
线线角 l,m所成的角θ∈
线面角 l,α所成的角θ∈
二面角 二面角θ∈[0,π],cos θ=
　　2.点到平面的距离
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=|·n0|.
　　3.点到直线的距离
若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d=.
十四、计数原理
1.排列与排列数
(1)排列
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].
2.组合与组合数
(1)组合
一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数公式
===.
(3)组合数的性质
①=;②=+.
3.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn,简写成(a+b)n=an-kbk.
(2)二项式通项:Tk+1=an-kbk,通项为二项展开式的第(k+1)项.
4.二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即+++…+=2n.
十五、概率
　　1.条件概率
设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
2.乘法公式与事件的独立性
(1)乘法公式
P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0).
P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0).
(2)相互独立事件
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件就叫作相互独立事件.事件A与事件B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
3.全概率公式
设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对任意一个事件A有P(A)=P(Bi)P(A|Bi),称此公式为全概率公式.
4.离散型随机变量的分布列、期望与方差
名称 表现形式(或公式) 性质
分布列 Xx1x2…xnPp1p2…pn
pi>0,i=1,2,…,n,…; p1+p2+…+pn+…=1
期望 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn E(aX+b)=aEX+b
方差 DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi (1)D(aX+b)= a2DX; (2)DX=E(X2)-(EX)2
　　5.几种常见的概率分布
名称 概念(或公式) 数字特征
二项分布 P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.记作X~B(n,p) EX=np; DX=np(1-p)
超几何 分布 P(X=k)=,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+ EX=
正态分布 随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2) 若X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2; P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5
十六、统计案例
　　1.线性回归方程
方程=x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中,是待定参数,其最小二乘估计分别为
2.相关系数
r=.
3.2×2列联表
　　B A　　 B1 B2 总计
A1 a b a+b
A2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
　　4. 独立性检验:χ2=,其中n=a+b+c+d.

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