资源简介

(共29张PPT)
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
24.1.4 圆周角
学习目标
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理；
2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题；（重点、难点）
3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
（难点）
24.1.4 圆周角
新课导入
问题1 什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角.
问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
.
O
B
C
复习引入
24.1.4 圆周角
讲授新课
圆周角的定义
如图，△ABC内接于⊙O，这时A、B、C三点都在圆上.
思考：∠ACB有什么特点？
A
B
O
C
像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
24.1.4 圆周角
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由.
顶点不在圆上
顶点A不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
24.1.4 圆周角
圆周角定理
探 究
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系
你能证明吗？
O
A
C
B
24.1.4 圆周角
讲授新课
　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
⌒
24.1.4 圆周角
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
B
C
O
A
∵　OA=OC，
∴　∠A=∠C．
又∵　∠BOC=∠A+∠C，
∴
证明：
24.1.4 圆周角
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D
∵OA=OB，
∴∠BAD=∠B．
又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
B
C
O
A
同理，
∴
∴
D
24.1.4 圆周角
= ∠BOC
∴∠BAC= ∠DOC- ∠DOB
∠DAB= ∠DOB
又∵∠DAC= ∠DOC
B
C
O
A
D
第三种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D
∵∠BAC=∠DAC-∠DAB
24.1.4 圆周角
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半
24.1.4 圆周角
例1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC,
所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，
∠A= ∠BOC= ×80°=40°.
A
24.1.4 圆周角
1．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于 (　　)
A．25° B．30°
C．35° D．50°
解析：∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°. 故选A.
A
练一练
24.1.4 圆周角
圆周角定理的推论
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是圆上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等.理由如下：
∵
24.1.4 圆周角
讲授新课
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么 成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
24.1.4 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论1：
O
A
C1
C2
C3
B
24.1.4 圆周角
练一练
∠1= .
∠2= .
∠3= .
∠5= .
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线， 完成下列填空：
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
24.1.4 圆周角
思考：如图，AC是⊙O的直径，
则∠ADC = ， ∠ABC= .
90°
90°
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
O
A
C
B
D
24.1.4 圆周角
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，
∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
. O
A
D
C
P
B
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD =
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC
=30°+70°=100°.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
24.1.4 圆周角
例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
(1) 求DC的长；
解：∵AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
. O
A
D
C
24.1.4 圆周角
(2) 若∠ADC的平分线交⊙O于B，求AB、BC的长．
B
.
O
A
D
C
解：∵ AC是⊙O的直径，∴ ∠ABC=90°.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ，∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴ AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴
方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，一般考虑构造直角三角形来求解.
24.1.4 圆周角
练一练
1．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝30°，则∠B的度数为(　　)
A．15°　　　
B．30°　　　
C．45°　　　
D．60°
D
24.1.4 圆周角
2．如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于(　　)
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
24.1.4 圆周角
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形
24.1.4 圆周角
讲授新课
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.
探究性质
猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为：
∠A +∠C = 180°，
∠B +∠D = 180°.
想一想：
如何证明你的猜想呢？
24.1.4 圆周角
∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
∴
同理，
证明猜想
归纳总结
性质：圆的内接四边形的对角互补.
连接 OB，OD．
α β
∴
24.1.4 圆周角
1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，
∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.
2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =
1∶2∶3，则∠D = °.
70
100
90
练一练
24.1.4 圆周角
例4 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，
∴ AB 垂直平分 CD.
∴ AC＝AD.
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
24.1.4 圆周角
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
课堂小结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补
24.1.4 圆周角

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