资源简介

模块二三角恒等变换
重点知识回顾
一、和差角公式
I.sin(c )sin ccos B I cosasin B,sinta )=sin ccos B cosasin
2.cosla13)闭=o3ros月sin asin,cos(a阶=co5 a cos1 sinsin3:
3.ln(c:+6)-l8nG1au月
I-tan tan
lin(u-8)_lua ian B
|+tam2tan分
1,n.历角公式：simx+bcosx-=vcr2+2sinx+1,其Icos=
sin(=
va+6
F、tano、b
盼角公式中，若a>0,则(T牙)：若a<0,可先提负号到外面，H斩助作公式合并.
221
二、二倍角公式
k-份0外：sna-2 nc,cw20--na-2ma11-2ana,m0-202a
2.咚次公式：in产a-1ns2a,cs2a-11ens2a
2
2
sin ssin 2
3.升次公式：1-cos2a-2cos'a.1-cos2x-2sin'e,1⊥sin2x-sina⊥cosa),1-sin'a-cos2a.
三、万能公式
21an
1.sin0=2
,11am2
2(an
”+an):2.cs0=名：
:6：3.an0=z
1+tan
I-tan20
第1节和差角、辅助角、二倍角公式（★★）
内容提要
和养珀、消助角、二倍华公式足三角函数的核心公式，本节涉及些行关公式应月的些础邀.
典型例题
【例】L知sim子+小-写则2w-,
1
【变式】(2022·新片光川卷)若sim(a+p-cos&+们-2v2cosa+区simB,则()
(A〉anfa+B)-1(B冫unfa+闭--1(C)1arn(er-B)-1(TD>ania-0-1
【间2】右mu-子-名，则mu-一
【交式1】L为mu-2,aa+价-写，建u2B的值为
【变式2】知a:By锐角，1-3 tanaxl--5tan月-4、则a+B-〔)
a)号()答(@)号D)
【例31已0e32,且co2010s0=0,见in201sin0=（
〔A>0(B)5(C)-5(D)
【例4】c0s15°ws15-ws75sin15-.
【变式1】sin1l0sim20
c0s'155-5in'155°-·
【变式2】tan25"-tan35+3tan25"tan35"=.
【例5】歧f(x-sim,x3osr·则(x)的安人i为.
【变式】妆/)-mxc00<2,Mf)的最大值为
【些式2】门1)-sinx+2cus0张化训练
1.(2022·南充篌拟·★★)线角a足sina=0,uw2u+三)=.
10
61
2.(2022·交资发拟·★★)若a是第象以的0，上im:-o)-川an2a-
22北字模数·★★★有-a)=亚.么=他了：a办-期F可以从6浙个
港左条件的B)模块二三角恒等变换
重点知识回顾
一、和差角公式
I.sin(c )sin ccos B I cosasin B,sinta )=sin ccos B cosasin
2.cosla13)闭=o3ros月sin asin,cos(a阶=co5 a cos1 sinsin3:
3.ln(c:+6)-l8nG1au月
I-tan tan
lin(u-8)_lua ian B
|+tam2tan分
1,n.历角公式：simx+bcosx-=vcr2+2sinx+1,其Icos=
sin(=
va+6
F、tano、b
盼角公式中，若a>0,则(T牙)：若a<0,可先提负号到外面，H斩助作公式合并.
221
二、二倍角公式
k-份0外：sna-2 nc,cw20--na-2ma11-2ana,m0-202a
2.咚次公式：in产a-1ns2a,cs2a-11ens2a
2
2
sin ssin 2
3.升次公式：1-cos2a-2cos'a.1-cos2x-2sin'e,1⊥sin2x-sina⊥cosa),1-sin'a-cos2a.
三、万能公式
21an
1.sin0=2
,11am2
2(an
”+an):2.cs0=名：
:6：3.an0=z
1+tan
I-tan20
第1节和差角、辅助角、二倍角公式（★★）
内容提要
和养珀、消助角、二倍华公式足三角函数的核心公式，本节涉及些行关公式应月的些础邀
典型例题
1
【问例1】L知si子+)-写’则n2w-
答案：号
解法1：将simT-x)些兀.会出现sina+cosa,水方划可求利sin2,
山西宝m子--n子osa-o子na-号ma+sn日所以owmu+m
1
3
+sina°=cos'a+sin'a+2 cosina=1+sin2a=号，格
9
解法2：竿苴求值门题、也可将知竹片换元：把求值的角楼换成山知币：
设1-子a,期a-1-子H1-月所以n2a-n2-骨-sm2--o2-2m1-1-号
【变式】(222·新的考Il卷)若sina+-cosa+m-22cosa+至simf,则()
(.A)Lania-B)-1 (B)lani+B)--1 (C)tan(cr-8)-1 D)Lania-B)--1
答案：D
解法：川尝试将题十所给等式左两恻都辰开，石能否注·变形，
tl题京.(n++((coscosp--5 sin sin)刀-2N5(2cnsa-2、
-cos
-sin a)sin
2
2
格坦付：(sinacos cosasin)1(cosacosB1 sinsin)-0:
此：恰好又凑成了正扳、余女的桌州公式，安再将其仑并，
i以sinieBcost(a月-0，i成ua&闭-分-1.
解法2：i忘夫测的si(仪+)-cs(+仍可以合i,技化将其合并，H能香迎一步，
sina+n+oou+-2sina+B+导，代入题十等式化i桶得：sna+B+孕-2osu+snB①.
注后到侧的两个中地心1江和p,所以测的1B1区阔这为(a1)B,再展开石有，
又sinte+牙-si如la+子11-sna+77snB,
所以代入式可得：sina1不cosP1 castr )sin=2cosa1不sin户，
整坦：ina+年cnP-coa+子sn小=0，故nr-年-m=0…第2节三大统一思想：角度、名称、次数（★★★）
内容提要
解决求、求在、化价等问题的三人核心出想：角度统·、名称统次数统，在山体的问塑巾，心们
排是值得尝试的方向，把好这：个统一，可以详决一系列问题
1.角发统：包二俯伯与单倍什之的统：要求的伯与已知的珀之的统；题十中涉及多个角，
向宋一个或儿个斤统一等
2.名称统：川题中洗及止弦、余弦、切多个数名的，若能将明数名统起米，往往冇利」分析叫
越.例下弦、众弦的齐该分式，可统一化为正划训算
3.次数统：三角代数式中竹项试发不统的，口试利刀降次公式戏次公式将沃数统.
典型例题
即想：角度统·
【例1】(2020·新诛标〡爸)知ae(0,x),H3c0s2a-8csa-5,侧sina-〔)
)话ac;D)S
3
3
【变术1】已7ae受，3s2a-sir昏w小，则si血2u-
【交式1Uue写语，Ama-总-则caa=,
36
【变式3】1ae0,Be后，sma+m-子，s咖B-片划csa-
【线式41ia:a多，Hca-5,m20-分
,期cos号-)=()
(A)5(B)2(C)D)0
5
10
10
【变式5】ana-子，snn-3m2a+m,则nz+角-（
(4
【变式6】2sin43”3sin13-
c0s13
【变式7】si(t0-75)+cus(0+4)-w305(0+15)-,
思想一：名称统一
【例2】L知n20--4an0+交)，则im20-()
1
0号
【变式1】tan20+4sin20"-.
【变式2】网效f0)-imx-3cos'x-花三x≤)的最人h为.
思想：次数统一
【例3】函数fx-sin产x+sin2xeR)倒最大为.
【变式1】(2021·新高考1卷)若an9-2,则血+sin2-()
sin(I cos()
A)g()号C)号D)日
【变式21(2022新高考]卷节选)id1BC的内角4，B,C的对边分别为、b,cL知cos1=si2片
【+sin11-cos2B’
若C-2、求B.
3
思想四：二大统·思椒综合应川
【例41<2021…全闲甲袋)若e0孕m2a-202,则a-)
COS7
(A)
(c(
13A)
3
3
【变式1】i0sin 2.x
【变式21已10<0c7,设a=m20,b-3n30:6-sm20,具ae的人小关系共()
(A)abc(B)bc≥日〔C)b2a3c〔LD)c2ab第2节三大统一思想：角度、名称、次数（★★★）
内容提要
解决求求在、化价等问题的三人核心出想：角度统·、名称统次数统，在山体的问塑巾，心们
都是值得尝试的方向、把好这：个统一，可以详决一系列问趣
1.角发统：包二俯伯与单倍什之的统：要求的伯与已知的珀之问的统；题十中涉及多个角，
向宋一个或儿个斤统一等
2.名称统：川题中洗及止弦、余弦、切多个数名的，若能将明数名统起米，往往冇利」分析叫
越.例下弦、众弦的齐该分式，可统一化为正划训算
3.次数统：三代数式中竹项试数不统的，口烂试利刀降次公式戏升次公式将次数统.
典型例趣
即想：角度统
【例1】(2020·新课标1爸)己别xe0,),H3c0s2-8csa-5,侧sina-〔)
a)年BaD)g
3
3
答案：
解析：所给统式中斯有2r,又有双，结心吸求竹心sm“:月以"！一华角问单倍角统，
四为3os2-8wa-5,所以32wsu-1-8ausa-5,解得：esa-号或2（分，
叉&0，x,所以sina>0,岐sina-c0心g-5
【交式I】L为ue写，3us2u=sim好-w小，则sm2a-
曾案：品
解法1：所粉式边地2，边辰龙《，先对：边用密伯公式，将究·成6，新合之泣展的结
悔，一倍所公式：戏们选择cos28=cosg-sima,
因为3u2a-sin异a小，所以3usu-sno）-sn子cosa-wsna,
(cosin )(cosasin)
2
cos-sin),两侧可到片cos7-sina,尖究共是少可能为0.
因为ac写，所以70，从面osa-na0,收sa+sna=兰
1c0s2<01
6
j以tosu+sin)'=os2a+sinu+2-l+sin2u=及，收sim2u-
18
解法2：北老到2行-a-号-2a,所以也把完统一以子-“，为7化厂观泰，米行-0换元
设1-年-a.则u=骨-1代入3cas2a=sn子-a1可得3cos写-20=smt,所以3sn21=smt,
版6i血os1-sinf,两湍可织泸simt,元分析户：心否能第」0：
因为ue(写，所以1e(证，至，从而s1<0.改6ws1-1,舞得：wst-石
4-4
所以sm2w=im2-)=sim空-2=60os2=2ows1-l=
18
【线式21iae.川ma-爱-号则casa-
36
6
答案：343
10
解折：将求仙介a统一成的a+名，设1-a+。,则a-1一且n1-
防以m-a-后-君+nrn后-号or+mr0@
6
接下米linf求cos!、得北求出的范門，才能斫定csi的止负，
内为ae写爱，所以1=a-君e经.从io<0.枚1-m7=
4
机入式wa…学r号3的
2
【安式3】iac0孕，c导小、ima+价-号mB-专划easa-
答案：v23
15
解析：将火世的方统一吸.'知办、为了伙」观察，将a+换元，设a+B- ,则x-y-p,Hsny-
万以cma=omy-月=6 myco-sn7sm=6s7es+(3 co7om/产5①
按卜米求w7和wB,元先分折：的脑，因为a0孕，B写，所以号<7-+8<经
故co -i-siny-4,
2一、4，cosB--1-sim”p--,·代入1f：csx--5×(-；)--3w2-3
3515
【变式】1p:0号Ha-5.m2n-则c-m)
(A)5
(B)25(C)31心D)0
10
10
答案：C
解析：染i求什.可好要求的珀问间已中统一·为了简化已知珀，将2B元，
令7=2g,则B=子、Hum7-号c学-=o92之，强化训练
类型一：布度统一
L.(2021·北京卷·★★)已知函数x-心0sxc0s2x:则该蹈数也{)
〔A>奇函滋，最大值为2
(B)倘函数，最人为2
(C)奇函数，最大仙为？
(D》钙函盈，桌人优为9
2.202,须报·*)己a-2,a-(西，则5na-
4
3.【2022·兰州战拟·*女)已1cos 5〕-3’则im(0-,0)-.
251
1.(2022·北京茨拟·★★）in7+w15sim8
cos 7 -sin15"sin8
5.〔2022·太乐一模·★★)sin20+sin40°-()
(A)sim50"〔B》sini0f(c)sin70"4D)sim80
等拟·★★)心知a、B均为战角，osu=,os(u+B
7、22·E边一枝*大*y片n2-怎ma-a-西，且ae1nex.则a+月-0
(A)器R)C)经竣要D)2峨经
4
8.(202,簿城川考·★★★女)a,B为悦，sna+2办-片co-片Wsma+m-（0
(A)+8w3
(B)I±8v3
15
15
C)26+25D1-83
15
15
类型二：名称统
9.2022:张家门三枚·★★★)已划m9=52,则亿030=()
sinor-vs u
a)-号B)-片(C);D9
10.〔2021·18联·★★★)113tan20”-2c0s0"-3,则2)世.为()
(A)3{B)23iC)33{D)4
11.(2019·新课标1卷·★★★》两数-si2r-3西)-3c0sx的最小值为.
12.f2022·沏南榄拟·★★★)已知x为锐们，侧函数f=sinxsin2.x的成人为.
类型：次数统一
13.(2022·分州则木·★★)若2c0sa-牙+cos2a=1,则m2a=（)
(A)
B)9(c)-5w)5
14,(★★》若a
n9-2,则+sin8+cos_
11 sin0 cos
类型四：三人思想综合
15.(2022·h市模拟·★★)若ae.受，Be0.,几11os2a11sin刷-sin2csB.则下列陆论
止而的是〔)
(a》a+A-号(B)a+号-号)2a-A-号D》a-B-号
6.(★★★)设x(0,)、则晖数=2r+L的最小值为.
sin 2x
26in20°-sin10(,1
17.(2022·州模拟·★★★★)1os20
tan.sv-tan5")-强化训练
类型一：布度统一
1.2021·北京卷·★★}已知函数广，x-sxcs2x·则该教地{)
〔A>奇函滋，最大值为2
(B)倘函数，最人为2
(C)守两数，最大仙为？
(D》钙函盈，最人优为9
答案：D
解析：f1-x=cos-x1-cus2i-x)=cosx-os2x=fI:x)台f(x)为偶数，
为」研f(x的最汽.可月二侪州公式将白皮统，且为了使函数空业统·，逊择cus2r-2csx1,
()-cosx-cos2x-c0sx-(2cos)--2c0scsx+1--2(c0s-+9
8
所以当cr-时.f)安得境大i9
8
2.(2022·福州浅拟·★★)i知ima-马-25，
5，ac〔买.3x)、则sinx-.
4
24
答案：30
10
解析：给优水问道，光格求的ù统一成E知的小，为了便于》察，可浮口-年换元，
令1-u-子则a=1-子n-2空，m-m+孕-mo+am牙-是+
要求血u,需根岩s/_25求o4,元切究1的范通，次定f平方作还取负
因为ae写.i以1写孕.从而o>0.故ws-7-昏。
5
代入式：ina-克x己3,5-3而
2
)=
55
10
3.〔2022·兰州泼拟·★★)门c0s
答案：日
解析：公算求信们通，光老求债门角货皮如的分、可华号号文心政
号号-4，则0-2行Rw1-普.所权0品-位学后-号
枚n8-哥)-sin2+7)-cos27-2cs1-1-号
101
-3
4.(2022·北京浅拟·★★)n7产+cos15"sin8
cos 7-sin 15"sin8"
答案：2-v雨
解析：注底到？=15，文：穿白友统·为15和w,王化简，
原式_sim15”8")1cos1Ssin89_sim15"cos8cos15Psin831cos15sim8”sin15°cos89
-tn15°
cos(15"-8)-sin 15"sin 8 cos15"cos 8"sin 15"sin 8"-sin 15"sin 8"
cos15"cos8"
-tm(60°-451-n60-lam15-5--2-3.
I tan (i)tan 45 13
5.〔2022·太原·模·★★）in20"+sim40=()
〔A)sim50”〔B〉sim60"(C)sin70”(D)sin&0
答案：D
解析：本题涉及10和20°这两个华，应阁其统，有内个方问，0-2×20和10°+20-60，若斤二倍
角公式把i血0化，接卜米就不好推进了，收达0+20-60°，可将角统成20戏10°，
sim20°+sin40°=sin20°+sin(60°-20)=sin20°+sin60°0s20°-cs60°sim20
-sin 2+sin 6)cos 20sin 20-sin 60P cos0+sin 2
-sitn6(°eos20°1cns60°sirn20°-sinf60°2°-sirn80°.
6.(202·北城震极·★★)山如a、B均为航角，osa=片oa+到=片期cos月=
1
答案：月
解析：轮佰求值问耍，口将求值的角统成心知的你，为了使」※，先将仪+B拉T,
设7-a+B,则n-y-,且csy-‖，
141
听以cosB=cosg-a)=cosy cos+-smysm=,x(-14）+sinysina-1
-sin ysin a 1.
98
要求cos,北求sin Hsin,行分析y的象限，关定开方上义还是取负，
内为a.n均为航，所以n4-1-ma-5,且y-a+Ac0,放如？--e然y-S百
14
代入式0可行csB=-是+x4v3_1
981472
7.222·怎边模*★*)若sn2a=空，sm-四-8.Hae匠小：Bx受，划a+=)
10
(A〉7E
(B)97(C)5或7D)5成9
4
4
4
4
4
答案：A

展开更多......

收起↑