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【典例精析】2023年高考数学一轮题型全突破（新人教A版2019）
平面向量的基本概念
【考点梳理】
1、平面向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆；
2、准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：①a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；②向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；④对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；⑥只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
【典例精析】
典例1．下列各命题中假命题的个数为(　　)
①向量的长度与向量的长度相等．
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
A．2 B．3
C．4 D．5
典例2．下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与方向相反，则与是相反向量；④若，则.其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
典例3．下列说法正确的是
A．若，则的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与共线，则四点共线
典例4．如果两非零向量满足：，与反向，则（ ）
A． B．
C． D．
典例5．若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固训练】
一、单选题
6．下列命题正确的是（ ）
A．与共线，与共线，则与也共线
B．单位向量都相等
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．共线向量一定在同一直线上
7．已知、为非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．即非充分又非必要条件
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则存在实数k，使
9．下列命题中，正确的是(　　)
A．若，则 B．若，则或
C．若与是平行向量，则 D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫作相等向量
C．与任一向量都平行的向量是零向量
D．共线向量是在一条直线上的向量
11．下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若是两个单位向量，则
13．已知非零向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，为单位向量，则
C．若且与同向，则 D．
14．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．与的方向相反 D．若，则
15．已知点，，则与向量同向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
16．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　)
A． B．// C． D．
17．若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列命题中，
①若与互为相反向量，则；
②若为实数，且，则或；
③若，则或；
④若与为平行的向量，则；
⑤若，则．
其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
19．下列各命题中，正确的是
A．若向量，则或
B．若，，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
20．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形
B．零向量与单位向量的模相等
C．若 和 都是单位向量，则或
D．零向量与任何向量都共线
21．下列关于向量的结论：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中正确的序号为(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(4) D．(3)
二、多选题
22．下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与 是共线向量，则与是共线向量
C．，则⊥
D．若与单位向量，则
23．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
三、填空题
24．已知下列命题
①若，，则；
②向量与不共线，则与都是非零向量；
③已知，，是平面内任意三点，则；
④若为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形；
⑤若向量与同向，且，则>．
则其中正确命题的序号为__________．
25．四边形中，，且，是单位向量，则四边形是__________.
参考答案
1．C【详解】①向量的长度与向量的长度相等，真命题；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反，假命题，因为向量由可能为零向量．
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，，真命题；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量，假命题；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．假命题；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．假命题
故选C.
2．B【分析】根据零向量的定义可判断①；利用向量模的定义可判断②；根据相反向量的定义可判断③；根据向量数量积的运算律可判断④.
【详解】对于①，，则，故①正确；
对于②，，与的方向不确定，所以或不一定成立，故②不正确；
对于③，相反向量，方向相反且模相等，故③不正确；
对于④，向量的数量积不满足消去律，故④不正确；
综上所述，只有①正确.
故选：B
【点睛】本题考查了向量的基本概念，理解零向量、相等向量、相反向量以及数量积的运算律是解题的关键，属于基础题.
3．C【分析】由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；
若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．
4．A【分析】由题意可得，进而可得，即可得出结果.
【详解】因为反向，
所以，
又，
，
所以，
因为，
所以.
故选：A
5．B【分析】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【详解】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
6．C【分析】根据向量的基本概念和共线向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于中，当时，与不一定共线，故错误；
对于中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故错误；
对于中，由零向量与任意向量都共线，得到向量与不共线，则与都是非零向量，故正确；
对于中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故错误.
故选：C.
7．A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.
【详解】由题意知，
充分性：若，则、方向相同且，充分性成立；
必要性：若，但、的方向不一定相同，即、不一定相等，必要性不成立.
因此，“”是“”充分而不必要条件.
故选：A.
8．B【分析】利用向量数量积为零的性质和共线向量的性质一一判断即可得出答案.
【详解】A选项：若或，可得成立，但是若向量和向量均为非零向量时，当时成立，所以仅仅，则或是不正确的，还有可能，即A选项不正确；由共线向量定理可得，若，则当且仅当有唯一的实数，使得成立，此时必须满足，则D选项说法不正确；B选项中，若，有唯一实数，使得，则， ，即得成立，若，则，，即得成立，所以可得若，则正确，即B选项正确；化简可得，由A选项中分析可得有三种结果即、或、或，则可得C选项说话不正确，综上可得B选项正确.
故选：B.
【点睛】本题考查了向量数量积为零的性质和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.
9．D【分析】利用平行向量，相等向量或相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】A. 若，则 故 A错误；
B. 若 ，则 或 不正确，例如单位向量，故B错误；
C. 若 与 是平行向量，则与 的模不一定相等，故C错误；
D. 若 ，则 ，故D正确.
故选:D.
10．C【分析】根据平行（共线）向量的定义判断．
【详解】对于A：向量∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；
对于C：与任一向量都平行的向量只有零向量，故C正确；
对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确；
故选：C．
11．C【详解】试题分析：由题；A.，错误；向量的模长相等，但方向不同；B．，错误；向量是有方向的，不能比大小；D．，错误；向量相等，则模长相等，方向相同．而共线则方可相反．C．，正确；符合零向量的定义．
考点：向量的概念．
12．B【分析】根据零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念逐一分析即可得出答案.
【详解】解：若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；
若为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
零向量的方向是任意的，C错；
两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错.
故选：B.
13．A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，
对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，
对C，因为两向量不能比较大小，故C错，
对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，
故选：A
14．B【分析】利用平面向量的定义可判断AD选项；利用平面向量的线性运算可判断B选项；利用平面向量的加法可判断C选项.
【详解】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项，，故B对；
对于C选项，与的方向相同，故C错；
对于D选项，若，但、、的方向不确定，故D错.
故选：B.
15．A【分析】根据与向量同向的单位向量为得出结果.
【详解】由题意可得，，
因此，与向量同向的单位向量为.
故选：A.
【点睛】本题考查同向的单位向量的求解，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
16．D【详解】由得若,即,则向量共线且方向相反，
因此当向量共线且方向相反时,能使成立，
本题选择D选项.
17．D【分析】根据相等向量的概念可判断A选项，根据平面向量的数量积的定义可判断B选项，根据平行向量的概念可判断C选项，根据向量的模长的概念可判断D选项.
【详解】方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A错误；
，为的夹角，因为，所以，所以不一定等于1，故B错误；
方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；
因为都是单位向量，所以，所以，故D正确，
故选：D.
18．D【分析】由互为相反向量的概念，即可判断①；向量的数乘的定义，即可判断②；由向量的数量积的定义，即可判断③；由共线向量可为同向，也可为反向，结合数量积的定义，即可判断④；由单位向量的概念，即可判断⑤．
【详解】解：对于①，若与互为相反向量，则，故①正确；
对于②，若为实数，且，则或，故②正确；
对于③，若，即，则或或，故③错误；
对于④，若与为平行的向量，则，故④错误；
对于⑤，若，则为单位向量，故⑤错误．
则正确的个数为2，
故选：D．
19．C【详解】试题分析：若，则，，所以A错误；
若，显然，，但错误，所以B错误；
平行向量分同向和反向两种情况，故C正确；
由于向量不能比大小，所以D错误；综上故选C.
考点：1、向量的模；2、向量的平行；3、相等向量.
20．D【分析】根据共线向量,零向量,单位向量的概念逐一分析可得.
【详解】对于选项A，A，B，C，D四点可能共线，故A不正确；
对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确；
对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确；
对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确，
故选:D.
【点睛】本题考查了共线向量,零向量,单位向量的概念,属于基础题.
21．D【详解】（1）错误.向量的模相等，两个向量方向任意，未必相等或反向；（2）错误.零向量和任意向量都平行，零向量的方向是任意的；（3）正确.方向相同且模相等的向量是相等向量;(4)错误.向量的模可以比较大小，向量不可以比较大小.故选D
22．AB【分析】根据单位向量的意义可以判定AD的正误；零向量与任何向量都共线，取时可以判定B的正误；两边同时平方结合数量积的运算律可判断C.
【详解】长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误;
因为零向量与任何向量都共线，当，与可以为任意向量，故B错误;
因为，则，即，
所以，所以⊥，故C正确;
若与单位向量，则，故D正确.
∴错误的是AB.
故选：AB.
23．ABD【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；
对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；
对于D，当时，无意义，故D错误.
故选：ABD
24．②③④【分析】根据向量的概念以及向量的运算，进行对命题的真假判断即可.
【详解】①当时，若，，此时与不一定平行，因此不正确；
②零向量与任何向量平行，向量与不共线，所以与都是非零向量，故正确；
③根据向量加法的三角形法则，可判断是正确的；
④
,
即为等腰三角形，所以④是正确的；
⑤向量的模有大小，但向量本身是没有大小的，即向量不能比较大小，所以不正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查了向量的概念，向量的加法法则及向量的运算律，属于较易题.
25．菱形【分析】由知四边形是平行四边形，又，可知四边形是菱形.
【详解】由可知四边形是平行四边形，
又，是单位向量，所以，所以四边形是菱形.
故答案为：菱形
试卷第1页，共3页

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