资源简介

1.4　充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
【学习目标】
课程标准 学科素养
1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点) 2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点) 1、数学抽象 2、逻辑推理
【自主学习】
1．充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p是q的不充分条件 q是p的不必要条件
B A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q是p的不充分条件 p是q的不必要条件
【小试牛刀】
1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　 　)
（2）若q是p的必要条件，则p是q的充分条件(　 　)
（3）若q不是p的必要条件，则“p q”成立．(　 　)
2.“对角线相等的平行四边形是矩形”
(1)这个命题是真命题吗？ (2)将命题改写为“若p，则q”的形式．
(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．
【经典例题】
题型一 充分条件、必要条件的判定
例1 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．
[跟踪训练] 1 判断下列说法中，p是q的充分条件的是_______．
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
题型二　充分条件、必要条件求参数的范围
已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
例3 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p
的取值范围，否则，说明理由．
[跟踪训练] 2已知p：关于x的不等式【当堂达标】
1．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的 条件．(填必要、不必要)
已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a
的取值范围．
已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
已知M＝{x|a－1【参考答案】
【自主学习】
充分　必要
【小试牛刀】
1.× √ √
2.(1)是真命题　(2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形　(3)充分条件
【经典例题】
例1 (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．
[跟踪训练] 1 ① [解析]　对①，p q；②p q
例2 解　由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以解得－≤a<0，
所以实数a的取值范围是.
例3 解　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1 x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．
[跟踪训练] 2 [解]　记A＝，B＝{x|0若p是q的充分条件，则A B.
注意到B＝{x|0①若A＝ ，即≥，解得m≤0，此时A B，符合题意；
②若A≠ ，即<，解得m>0，
要使A B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
【当堂达标】
1.B [解析]　因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
2. A [解析]　因为x>2 x>1，所以选A.
3. A [解析]　当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
4.不必要
5.解　∵a<0，解不等式得q：x<1＋a或x>1－a，
∵p是q的必要条件，∴q p，
∴解得a≤－9.
故负实数a的取值范围是(－∞，－9].
6.由已知可得
A＝＝， B＝{x|x≥－2m}．
因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，
所以－2m≤－，所以m≥，即m的取值范围是7.(1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x由题意可得B A，即{x|x2或x<1}．
所以m≤1.故m的取值范围为{m|m≤1}．
7.因为N是M的必要条件，所以M N.
于是从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}．

展开更多......

收起↑