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1.4.2 充要条件
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解充要条件概念．(重点) 2.会判断、证明充要条件．(难点) 1、数学抽象 2、逻辑推理
【自主学习】
充要条件
一般地，如果既有p q，又有q p 就记作 .
此时，我们说，p是q的 ，简称 .显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p q，那么p与q .
从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件
若B A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
【小试牛刀】
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)
(2)符号“ ”具有传递性．(　　)
(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　)
2、若x，y∈R，则“x＝y”是“|x|＝|y|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【经典例题】
题型一充要条件的判断
例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
例2 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[跟踪训练] 1 a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
　
题型二 充要条件的证明
例3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
注意：从充分性、必要性两方面证明．
[跟踪训练] 2 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
题型三 求解充要条件
例4 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[跟踪训练] 3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【当堂达标】
1 .已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
3．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
【参考答案】
【自主学习】
p q 充分必要条件 充要条件 互为充要条件
【小试牛刀】
1、(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2、A [解析]　当x＝y时，|x|＝|y|显然成立；若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，所以“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件.
【经典例题】
例1 (1)因为a＋5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(2)因为a2＋b2＝0 a＝b＝0，并且a＝b＝0 a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(3)因为A∩B＝A A B UA UB，并且 UB UA B A A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
例2. A 解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
[跟踪训练] 1 D 解析　a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
例3 证明：　①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[跟踪训练] 2 证明：　
①必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

即
解得k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
例4 解　①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为
a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为
0综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
[跟踪训练] 3 解　方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：

k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
【当堂达标】
1. A [解析]　a＝3时，A＝{1，3}，A B，当A B时，a＝2或3.
2.D [解析]　由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
3．B [解析]　x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y
－2)2＝0不一定成立．
4. A [解析]　因为x<－1 |x|>1，而|x|>1 x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
5．a<0 [解析]　由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.

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